1.3.3. Исследование условий существования решения задач вариационного исчисления по синтезу и выбору оптимальных законов параметрического регулирования на базе дискретной стохастической динамической системы

x(t + 1) = f(x{t),u(t),a) + ?(i), i = 0, l,...,n-l, (1.3.27) (1.3.28)

ж(0) = Xq. Здесь x = x(t) Є Rm — функция состояния системы (1.3.27), (1.3.28), случайная вектор-функция дискретного аргумента (векторный случайный процесс); Жо — начальное состояние системы, детерминированный вектор; и = u(t) Є Rq — вектор управляемых параметров, вектор-функция дискретного аргумента; А Є Rs — вектор неуправляемых параметров, А Є Л, Л с Rs — заданное множество; ? = ?(t) = (?*(?), • •?,m(t)) — известный векторный случайный процесс, выражающий помехи (в качестве такового может выступать, например, гауссовский шум); / — известная вектор-функция своих аргументов.

Задается критерий оптимальности, подлежащий максимизации, который для данной задачи имеет вид (1.3.29) Здесь Ft — известные функции, Е — математическое ожидание.

Имеются фазовые ограничения на систему:

Е[ж (t)]GX(t), i = l,...,n, (1.3.30)

где X(t) заданное множество.

В рассматриваемых далее задачах сохраняются определенные ранее ограничения на управление:

u(t)?U(t), t = 0,l,...,n-l, (1.3.31)

где U(t) С Rq — заданное множество.

Сформулируем следующую вариационную задачу, называемую задачей вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы.

Задача 1.3.5.

Во второй задаче параметрического регулирования дискретной динамической системы вновь рассматривается управляемая дискретная динамическая система с заданным аддитивным шумом, описываемая уравнениями (1.3.27), (1.3.28) при наличии фазовых ограничений (1.3.30).

1.3.32

Uj(t) = Gj{v,x{t)), t = 0,1,.. .,n - 1, j = 1,..., г,

где Gj — известная вектор-функция своих аргументов, v = = (w1,.. ,,vl) — вектор параметров закона регулирования Gj. На настраиваемые коэффициенты налагаются ограничения

v Є V, (1.3.33)

где V — компактное пространства R1. Кроме того, предполагается, что параметры закона управления должны быть такими, чтобы соответствующий закон регулирования (1.3.37) удовлетворял условию (1.3.36), т.е. выполнялось бы включение

E[Gj(v,xVj(t))]eU(t), t = 0, l,...,n-l. (1.3.34)

Здесь xVj — решение задачи (1.3.32), (1.3.33) при выбранных значениях коэффициента v, неуправляемого параметра А и j-м законе параметрического регулирования.

Рассматриваются критерии оптимальности (1.3.35) Сформулируем следующую вариационную задачу, называемую задачей вариационного исчисления по выбору оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы.

Задача 1.3.6. При известном векторе неуправляемых параметров А Є Л найти для каждого из г законов регулирования такой вектор настраиваемых коэффициентов v, чтобы соответствующее ему решение х = Xj задачи (1.3.27), (1.3.28) с законом регулирования u = Uj, определяемого по формуле (1.3.32), удовлетворяло условиям (1.3.33), (1.3.34) и доставляло максимум функционалу (1.3.35) с последующим выбором наилучшего из найденных оптимальных законов регулирования, т. е. такого, которому соответствует наибольшее значение критерия оптимальности.

Условия существования решения задачи вариационного исчисления по синтезу оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы. Вернемся к исследованию разрешимости задачи 1.3.5. Определим множество допустимых управлений Uad для исследуемой системы в виде совокупности таких законов регулирования u(t), удовлетворяющих ограничению (1.3.31), для которых математическое ожидание Е[ж(?)] соответствующего решения стохастической системы удовлетворяет включению (1.3.30).

Теорема 1.3.5.

Доказательство приведено в приложении А.

Условия существовании решения задачи вариационного исчисления по выбору оптимального закона параметрического регулирования дискретной стохастической динамической системы. Рассмотрим теперь сформулированную выше задачу 1.3.6.

Обозначим через хJ решение системы (1.3.27), (1.3.28) для выбранного j-то закона параметрического регулирования (1.3.19), его настраиваемого коэффициента v и параметра а:

xvj(t + 1) = f(x](t), Gj(v, x](t)), A) + at), t = 0,1,..., n - 1,

(1.3.36)

х]{0)=х0. (1.3.37)

Для рассматриваемой задачи определим множество допустимых значений настраиваемых коэффициентов как множество, состоящее из таких значений и Є V, удовлетворяющих условию (1.3.33), для которых соответствующее решение задачи (1.3.27), (1.3.28) удовлетворяет включениям

E[Gj(v,x](t))] Є U(t), t = 0,l,...,n-l, (1.3.38)

Е[ж ]{t)]eX(t), t = l,...n. (1.3.39)

Задачу 1.3.6 будем называть нетривиальной, если соответствующее ей множество Vgd не пусто и содержит некоторое открытое множество для каждого j = 1,..., г.

Теорема 1.3.6. Пусть в задаче 1.3.6 Л Є Л, множества U(t), X(t), V компактны, функции /, Gf, Ft удовлетворяют условию Липшица. Эти функции удовлетворяют также следующим ограничениям нарост: функции \ f(x,Gj(v,x),X)\, \Ft(x)\ не превосходят линейных относительно \х\ функций равномерно по v Є V. Случайная величина ?(і) является абсолютно непрерывной и имеет нулевое математическое ожидание. Тогда в случае непустоты множеств задача 1.3.6 имеет решение.

Доказательство приведено в приложении А.