1.5.4. Математическая модель экономической системы страны с учетом влияния доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам на экономический рост

1.5.21)

1.5.22)

1.5.23) Rl = min {Rd, Rs}, (1.5.24) 1.5.25) 1.5.26)

dP = LJ/3r2JLG, (1.5.27)

я = — | 1 - ( ^ ) | , (1.5.28) (1.5.29)

(1.5.30)

Ф° = rjopMf, (1.5.31)

Фс = тгрМ/, (1.5.32)

Фь = (1 -nL)sRd, (1.5.33)

ф/ = е + (і{(! " " [no(dB + dP) +

- [nL - (1 - nL)np]sRL} + (р* + rG)LP, (1.5.34)

Ф = Ф° + ФС + Ф1' + Ф/, (1.5.35)

Rs = рА exp (Apt)—-—, Ш = —(1.5.36) 0 v к p ' 1 + VU3 pRo exp (Apt) У '

Здесь M — суммарная производственная мощность;

Q — общий запас товаров на рынке относительно некоторого состояния равновесия;

LG — общий объем государственного долга;

р — уровень цен;

s — ставка заработной платы;

LP — объем задолженности производства;

dp и dB — предпринимательские и банковские дивиденды соответственно;

II'1 и Rs — спрос и предложение рабочей силы соответственно; S, V — параметры функции /(ж); ж — решение уравнения /'(ж) = s/p;

Фь и Ф° — потребительские расходы трудящихся и собственников соответственно;

Ф^ — поток инвестиций;

Фс — потребительские расходы государства; ? — норма резервирования;

(3 — отношение средней нормы прибыли от коммерческой деятельности к норме прибыли рантье; г2 — ставка процента по депозитам;

tq — ставка процента по облигациям государственных займов; т]о — коэффициент склонности собственников к потреблению; 7Г — доля потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта;

пр, по, пь — ставки налогов на поток платежей, дивиденды и доход трудящихся соответственно;

b — норма фондоемкости единицы мощности; р — коэффициент выбытия единицы мощности вследствие деградации;

р* — норма амортизации; a — постоянная времени;

А — постоянная времени, задающая характерный временной масштаб процесса релаксации заработной платы;

Р0, Ро4 — начальные значения численности трудящихся и общей численности трудоспособных соответственно; Хр > 0 — заданный темп демографического роста; lo — душевое потребление в группе трудящихся.

Параметры модели и начальные условия для дифференциальных уравнений (1.5.20)—(1.5.36) были получены на основе данных экономики Республики Казахстан за 1996-2000 гг. [37] = 0,12, tq = 0,12, (3 = 2, rip = 0,08, пь = 0,12, а = 0,1, п0 = 0,5, р, = р* = 0,012, А = 1) или оценены решением задачи параметрической идентификации (? = 0,1136, 7г = 0,1348, <5 = 0,3, v = 34, г]0 = 0,05, b = 3,08, а = 0,008, Q(0) = -125 000).

Относительная величина среднеквадратического отклонения расчетных значений переменных от соответствующих наблюдаемых составила менее 5%, что иллюстрируется на части охваченных параметрической идентификацией наблюдений в табл. 1.5.2.

Таблица 1.5.2. Результаты параметрической идентификации Год М* М" Р* 1998 144 438 158 576 1,071 1,09 1999 168 037 183162 1,16 1,20 2000 216 658 212190 1,31 1,29

В табл. 1.5.2 М*, М**, р*, р** соответственно значения суммарной производственной мощности и цены продукта, наблюдаемых и модельных (расчетных).

Исследование структурной устойчивости математической модели страны с учетом влияния доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам без параметрического регулирования. Исследуем грубость (структурную устойчивость) модели (1.5.20)—(1.5.36), основываясь и теореме о достаточных условиях слабой структурной устойчивости [67] в компактной области фазового пространства.

Утверждение 1.5.1.

В качестве N можно выбрать, например, параллелепипед с границами М = Mmin, М = Mmax, Q = Qmin, Q = Qmax, Р = Ртт, Р = Ртах, LG = LG min, LG = LG max. Здесь 0 < Mmin < < -Мщах? Qmin ^ Qmax ^ 0 или 0 < Qmm ^ Qmaxj 0 < Pmin ^ ^ Ртах? Lq m;n < LQ max-

Доказательство утверждения приведено в приложении А.

Выбор оптимальных законов параметрического регулирования развития рыночной экономики на базе математической модели страны с учетом влияния доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам. Теперь рассмотрим возможность осуществления эффективной государственной политики через выбор оптимальных законов регулирования на примере следующих экономических параметров: доля потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта 7Г, ставка процента по облигациям государственных займов tq И норма резервирования

Оценим возможность выбора оптимальных законов параметрического регулирования в следующей последовательности: —

выбор оптимального закона регулирования на уровне одного из экономических параметров (?, 7г, г с)] —

выбор оптимальной пары законов параметрического регулирования на множестве сочетаний из трех экономических параметров по два; —

выбор оптимальной тройки законов параметрического регулирования для трех экономических параметров.

(1.5.37)

Здесь Uij — г-й закон регулирования j-ro параметра; случай і = = 1,6, j = 1,3, j = 1 соответствует параметру j = 2 — параметру 7г; j = 3 — параметру гс] кц — неотрицательный настраиваемый коэффициент г-го закона регулирования j-ro параметра; constj — постоянная, равная оценке значений j-ro параметра по результатам параметрической идентификации.

Задачу выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне одного из экономических параметров (?, 7г, г о) можно сформулировать в следующем виде.

В работе выбор оптимальных законов параметрического регулирования осуществляется в среде набора следующих зависимостей: матической модели (1.5.20)—(1.5.36) оптимальный закон параметрического регулирования Uij в среде набора алгоритмов (1.5.37), который обеспечил бы минимум критерия

t0+T

К = ^ j p(t) dt min (1.5.38)

J {Uij i^ij}

to

при ограничениях

(1.5.39)

IM(t) - M**(t)I ^ 0,09M"(t), (M(t),Q(t),LG(t),p(t),s(t))?X, 0 ^Uij^aj, i = M, І = ТД t?[t0,t0 + T\,

где M**(t) — значение суммарной производственной мощности без параметрического регулирования, aj —наибольшее возможное значение j-ro параметра, X — компактное множество возможных значений переменных системы.

Сформулированная задача решалась в два этапа: —

на первом этапе определяются оптимальные значения коэффициентов kij для каждого закона Uij путем перебора значений коэффициентов в промежутках вида [0, к^), квантованных с шагом 0,01, обеспечивающих минимум К при ограничениях (1.5.39). Здесь k^j — первое значение коэффициента, при котором нарушается (1.5.39). —

на втором этапе выбирается закон оптимального регулирования конкретного параметра (из трех) на основе результатов первого этапа по минимальному значению критерия К (1.5.38).

Результаты численного решения первого этапа поставленной задачи для {Uij} представлены в табл. 1.5.3.

Анализ табл. 1.5.3, согласно требованиям второго этапа решения поставленной задачи, позволяет предложить на уровне одно- параметрического регулирования механизма рыночной экономики закон для параметра тг следующего вида:

7г = -0,84^ + 0,1348,

который обеспечивает наименьшее значение К = 1,023 среди всех законов Uij.

Задачу выбора оптимальной пары законов для одновременного регулирования двух параметров можно сформулировать в следу- ющем виде. Найти оптимальную пару законов параметрического регулирования (Uij,UUfl) на множестве сочетаний из трех экономических параметров по два на базе набора алгоритмов (1.5.37), которая обеспечила бы минимум критерия

t.0+T

1 г

К = — / p(t) dt -г- min ,

Т J {(Uij,kij),(U^,k^)} (1.5.40)

to

= 1,6, = 1,3, J < P, при ограничениях (1.5.39).

Таблица 1.5.3. Численное решение первого этапа поставленной задачи по выбору оптимального закона параметрического регулирования Обозначения законов параметрического регулирования Оптимальные значения коэффициентов законов Значения критерия К Ua 0,22 1,098 U21 0 1,1734 Ihl 0,156 1,037 Ua 0 1,1734 U51 0,16 1,09 Uei 0 1,1734 Ul2 0 1,1734 U22 0,11 1,09 U32 0 1,1734 U42 0,84 1,023 U52 0 1,1734 u62 0,08 1,084 Uіз 0 1,1734 U23 0,29 1,17 U33 0 1,1734 Ui3 0,39 1,1701 с/53 0 1,1734 и63 0,23 1,1702

Задача выбора оптимальной пары решается в два этапа: —

на первом этапе для каждой выбранной пары законов регулирования (JJij,UVfi) путем перебора определяются оптимальные значения коэффициентов этой пары (kij, к^ц) из соответствующих областей, квантованных с шагом 0,01 для каждого коэффициента, обеспечивающего минимальное значение критерия К при ограничениях (1.5.39); —

на втором этапе выбирается оптимальная пара законов параметрического регулирования на основе результатов первого этапа по минимальному значению критерия К.

Результаты численного решения первого этапа поставленной задачи по выбору оптимальной пары законов параметрического регулирования представлены в 18 таблицах вида табл. 1.5.4, отличающихся друг от друга выражением закона регулирования хотя бы по одному параметру.

Таблица 1.5.4. Результаты численного решения первого этапа поставленной задачи по выбору оптимальной пары законов Пары законов параметрического регулирования Значение критерия К Первый закон пары Второй закон пары Обозначение закона Оптимальное

значение коэффициента Обозначение закона Оптимальное

значение коэффициента С/21 0 С/12 0 1,1734 С/21 0,185 С/22 0,123 0,981 С/21 0 С/32 0 1,1734 С/21 0 С/42 0,84 1,023 С/21 0 С/52 0 1,1734 С/21 0,167 С/62 0,167 0,982

Выбор оптимальной пары законов параметрического регулирования, согласно требованиям второго этапа, на основе анализа данных 18 таблиц позволяет рекомендовать для использования законы регулирования параметров (тг,?) для случая двухпараметри- ческого регулирования рыночного механизма экономики следующего вида:

AM(t) AM(t)

которые обеспечивают наименьшее значение К = 0,981 среди всех пар {Uij,Uvll).

Задачу выбора оптимальной тройки законов для одновременного регулирования трех параметров можно сформулировать так. Найти оптимальную тройку законов параметрического регулирования на уровне трех параметров на базе набора алгоритмов (1.5.37), которая обеспечила бы минимум критерия

t0+T 1 [

К = — / p(t) dt —> min ,

Т J {{UiUkii),(uV2,K2),(u7зЛуз)} (1.5.41)

to

7 = 1,6,

при ограничениях (1.5.39).

Сформулированная задача решалась в два этапа: —

на первом этапе для каждой выбранной тройки законов регулирования (Un, Ui/2) путем перебора определяются оптимальные значения коэффициентов ЭТОЙ тройки &J/2) &73) из соответствующих областей, квантованных с шагом 0,01 для каждого коэффициента, обеспечивающего минимальное значение критерия К при ограничениях (1.5.39); —

на втором этапе выбирается оптимальная тройка законов регулирования всех параметров на основе результатов первого этапа по минимальному значению критерия К.

Результаты численного решения первого этапа задачи представлены в 36 таблицах вида табл. 1.5.5, содержащих все возможные тройки законов регулирования и отличающихся друг от друга выражением закона регулирования хотя бы по одному параметру.

Выбор оптимальной тройки законов, в соответствии с требованиями второго этапа, дает возможность рекомендовать для использования следующие законы регулирования экономических параметров 7Г, Го-

АМН)

'r(f) = "°'ml39M5+0'1348'

обеспечивающих наименьшее значение К = 0,980 среди всех троек (Un, Uu2, Ul3).

Таблица 1.5.5. Результаты численного решения первого этапа поставленной задачи по выбору оптимальной тройки законов Пары законов параметрического регулирования Значение критерия К Первый закон тройки Второй закон тройки Третий закон тройки Обозначение закона Оптимал. значение коэффиц. Обозначение закона Оптимал. значение коэффиц. Обозначение закона Оптимал. значение коэффиц. U-21 0,185 С/22 0,123 Uіз 0 0,981 С/21 0,185 С/22 0,123 С/23 0,03 0,980 С/21 0,185 С/22 0,123 С/зз 0 0,981 С/21 0,185 С/22 0,123 С/43 0 0,981 С/21 0,185 С/22 0,123 С/53 0 0,981 С/21 0,185 С/22 0,123 С/вз 0 0,981 Таким образом, в данной работе показан один из возможных путей выбора эффективных законов параметрического регулирования рыночной экономики.

Кроме того, задача выбора оптимального набора законов решалась и в другой постановке.

Выбор оптимальных законов параметрического регулирования на базе модели (1.5.20)—(1.5.36) уровне одного из двух параметров ? (І = 1) и 77 (j = 2), осуществляется в среде набора следующих зависимостей:

М - М0 1)

U\j(t) = kij—— Ь const j,

1V1 о

M - M0 2)

U2j(t) = -k2j—— 1-const j,

(1.5.42)

Mo 3)

U3i(t) = k3j-—— + const,-,

Po 4)

Uijit) = -kij-—— + const7-.

po

Здесь Uij — і-й закон регулирования j-го параметра (і = 1,4, j = 1,2); случай j = 1 соответствует параметру j = 2 — параметру 7г; kjj — настраиваемый коэффициент г-го закона регулирования j-ro параметра, кц ^ 0; constj — постоянная, равная оценке значения j-ro параметра по результатам параметрической идентификации; Mq, ро — начальные значения соответствующих переменных (1.5.20)—(1.5.36) означают подстановку функций Uij из (1.5.42) в уравнения (1.5.20)—(1.5.36) вместо параметра ?

ИЛИ 7Г.

Задачу выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне одного из двух экономических параметров (?, 7г) можно сформулировать в следующем виде. Найти на основе математической модели (1.5.20)—(1.5.36) оптимальный закон параметрического регулирования на уровне одного из двух экономических параметров (?, 7г) в среде набора алгоритмов (1.5.42), т.е. найти оптимальный закон из множества {Uj} и его настраиваемый коэффициент, который обеспечил бы максимум критерия

to+T

К = 1 J Y(t)dt, (1.5.43)

to

где Y = Mf — валовой внутренний продукт при ограничениях

\pij(t)-p**(t)\^0,09p**(t), (M(t), Q(t), LG(t),p(t), s(t)) Є X, (1.5.44)

0 < Uj < aj, і = M, j = Т72, і є [t0,t0 + Т].

Здесь cij — наибольшее значение j-ro параметра, p**(t) — модельные (расчетные) значения уровня цен без параметрического регулирования, Pij(t) — величина уровня цен при 17ц-м законе регулирования, X — компактное множество допустимых значений указанных переменных.

Сформулированная задача решается в два этапа: —

на первом этапе определяются оптимальные значения коэффициентов кц для каждого закона Uij путем перебора значений коэффициентов в промежутках вида [0,кц), квантованных с достаточно малым шагом, обеспечивающих максимум К при ограничениях (1.5.44). Здесь кц — первое значение коэффициента, при котором нарушается (1.5.44). —

на втором этапе выбирается закон оптимального регулирования конкретного параметра (из трех) на основе результатов первого этапа по максимальному значению критерия К.

Результаты численного решения задачи выбора оптимального закона параметрического регулирования экономической системы государства на уровне одного экономического параметра показывают, что наилучший результат К = 177 662 может быть получен при использовании следующего закона регулирования:

М — М0 ,

? = -0,095—- + 0,1136. (1.5.45)

Заметим, что величина критерия без использования параметрического регулирования равна К = 170 784.

Параметрическое регулирование развития рыночной экономики с изменяющимися целями на базе математической модели страны с учетом влияния доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам. Возможность параметрического регулирования процессов инфляции в рыночной экономике рассмотрим на базе математической модели (1.5.20)—(1.5.36). В качестве возможной характеристики развития экономических процессов можно принять уровень цен, учитывая то, что в охваченный для исследования период — 1996-2000 гг. — экономика Казахстана находилась на подъеме и уровень цен может служить некоторой мерой эффективности производства товаров и услуг, а также может характеризовать наличие процессов инфляции или дефляции.

В рамках изменения уровня цен можно условно выделить две области: допустимую и недопустимую области изменения уровня цен. Недопустимую область (В) изменения уровня цен можно определить С ПОМОЩЬЮ неравенств p(t) ^ Pn(t) ИЛИ p(t) ^ Pi}{t), где ps(t) — нижняя допустимая граница изменения уровня цен, а Pv(t) — верхняя допустимая граница изменения уровня цен {Pn{t) < Рв{ї)? 0 < t < Т). Выполнение неравенства p(t) ^ Pn(t) показывает наличие процесса некоторой дефляции, а выполнение p(t) ^ Pn{t) показывает наличие некоторой излишней инфляции. Допустимую область (А) изменения уровня цен можно задать с помощью неравенства pu(t) < p(t) < pB(t), 0 < t < Т.

В зависимости от области А или В нахождения значений уровня цен постановка задач выбора оптимальных законов параметрического регулирования (воздействия) сводится к следующим задачам:

— в области А параметрическое регулирование не производится;

— в области В необходимо найти и реализовать такие законы параметрического регулирования в среде некоторого заданного набора алгоритмов, которые обеспечивают минимум критерия, характеризующего качество переходных процессов при наложенных ограничениях на возможные значения соответствующих показателей состояния экономики и параметров регулирования (блок В).

Предлагаемый подход реализуется следующим образом. В начале по результатам решения задачи параметрической идентификации запускается процесс моделирования экономической системы. Предварительно, по результатам моделирования определяются области А и В для значений уровня цен. В алгоритме вычислительного эксперимента имеется логическое условие, определяющее нахождение значения уровня цен в той или иной области допустимости. Если в процессе этой оценки окажется, что значение p(t) находится в области В, то включается блок В решения задачи вывода объекта из недопустимой области В в допустимую область А. Если же значение p(t) оказывается в области А, параметрическое регулирование отключается.

Рассмотрим теперь возможность осуществления эффективной государственной политики в рамках блока В через выбор оптимальных законов регулирования на примере следующих экономических параметров: доля потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта тг, ставка процента по облигациям государственных займов г с и норма резервирования Эти параметры приняты для исследования с учетом [42] и анализа матрицы чувствительности показателей: суммарной производственной мощности М, объема государственного долга и уровня цен р.

Алгоритм многоцелевого регулирования апробировался на модели экономики Республики Казахстан для границ изменения уровня цен pH(t) = 0,9 и pB(t) = 1,1.

Пусть 0,

Sp(t) = p{t) -pH{t) >p{t)~p*{t)

если pH(t) dt + const

p(to)

(1.5.46)

2) ^=/ Здесь случай j = 1 соответствует параметру j = 2 — параметру 7Г, j = 3 — параметру r^; kij — настраиваемый коэффициент г-го закона регулирования j-ro параметра, кц ^ 0; constj — постоянная, равная оценке значения j-ro параметра по результатам параметрической идентификации. Выбор оптимальных законов параметрического регулирования осуществляется на уровне двух экономических параметров из тройки (?, 7Г, ГО)-

Задачу выбора оптимальной пары законов параметрического регулирования на уровне двух экономических параметров из тройки 7г, го) можно сформулировать в следующем виде. Найти оптимальную пару законов параметрического регулирования (Vfj, VUfl) на множестве сочетаний из трех экономических параметров по два на базе набора алгоритмов (1.5.46), которая обеспечила бы минимум критерия

to+T (1.5.47) при ограничениях (1.5.48)

IM(t) -M**(t)I s; 0,09М**(і), t Є [to,to + T] і = 1,3, p = 1,3. Здесь M(t), p(t) — значения производственной мощности и уровня цен соответственно при использовании параметрического регулирования; M**(t), p**(t) — значения производственной мощности и уровня цен соответственно без параметрического регулирования; a,j, ац — наибольшие возможные значения соответствующих регулирующих параметров.

Эта задача решается в два этапа: —

на первом этапе определяются оптимальные значения коэффициентов kij для каждой пары законов (Vij, V^), путем перебора определяются оптимальные значения коэффициентов этой пары (kij,kUjI) из соответствующих областей, квантованных с достаточно малым шагом для каждого коэффициента, обеспечивающего минимальное значение критерия К\ при ограничениях (1.5.48). —

на втором этапе выбирается оптимальная пара законов параметрического регулирования на основе анализа результатов первого этапа по минимальному значению критерия К\.

Результаты численного решения первого и второго этапов позволяют рекомендовать для использования законы регулирования параметров (7г, ?) для случая двухпараметрического регулирования рыночного механизма экономики следующего вида:

? = -киЦЩ + 0.1136, 7г = -kJ-Щ + 0,1348. p(to) P(t о)

При этом оптимальное значение критерия К\ оказалось равным 0,0086.

Анализ результатов вычислительных экспериментов показывает, что выбранные и реализованные законы параметрического регулирования по норме резервирования ? и доли потребительских расходов государства от внутреннего валового продукта тт обеспечивают вывод значений уровня цен из недопустимой области в допустимую.

Результаты вычислительного эксперимента по параметрическому регулированию механизмов рыночной экономики с помощью одного закона и пары законов параметрического регулирования представлены в табл. 1.5.6 и на рис. 1.5.8.

Таблица 1.5.6. Значения уровня цен p(t) при регулировании экономических параметров Месяцы Значения уровня цен p(t) без регулирования Значения уровня цен p(t) при регулировании параметра тт Значения уровня цен p(t) при регулировании параметра ? Значения уровня цен p(t) при регулировании пары параметров (тт, 1 1Д 1,1 1,1 1Д 2 1,11 1,11 1,11 1,11 3 1,12 1,12 1,12 1,12 4 1,12 1,12 1,12 1,12 5 1,13 1,13 1,13 1,13 6 1,14 1,14 1,14 1,14 7 1,15 1,15 1,15 1,15 8 1,16 1,15 1,16 1,15 9 1,16 1,16 1,16 1,16 10 1,17 1,17 1,17 1,17 И 1,18 1,17 1,18 1,17 12 1,19 1,18 1,18 1,18 13 1,19 1,19 1,19 1,18 14 1,2 1,19 1,2 1,18 15 1,21 1,19 1,2 1,18 16 1,22 1,2 1,21 1,19

Таблица 1.5.6 (окончание)

Месяцы Значения уровня цен p(t) без регулирования Значения уровня цен p(t) при регулировании параметра тт Значения уровня цен p(t) при регулировании параметра ? Значения уровня цен p(t) при регулировании пары параметров (ж, 17 1,22 1,2 1,21 1,18 18 1,23 1,2 1,21 1,18 19 1,24 1,2 1,22 1,18 20 1,24 1,2 1,22 1,18 21 1,25 1,19 1,22 1,17 22 1,26 1,19 1,22 1,16 23 1,26 1,19 1,22 1,15 24 1,27 1,18 1,22 1,14 25 1,27 1,17 1,22 1,13 26 1,28 1,16 1,22 1,12 27 1,28 1,15 1,21 1Д 28 1,29 1,14 1,21 1,09 29 1,29 1,13 1,2 1,07 30 1,3 1,12 1,2 1,05 31 1,3 1,1 1,19 1,03 32 1,31 1,08 1,18 1,01 33 1,31 1,07 1,18 0,99 34 1,31 1,05 1,17 0,97 35 1,31 1,03 1,16 0,94 36 1,32 1,01 1,15 0,92

Исследование структурной устойчивости математической модели страны с учетом влияния доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам с параметрическим регулированием. Проверим грубость системы (1.5.20)—(1.5.36), где параметры 7Г и tq определяются в соответствии с решением задач параметрического регулирования в виде следующих выра- жении:

, M(t)-M( 0) !) Uij = fcij + const,,

„w, , M(t)-M( 0)

2) U2j = ~k2j >M{Q) + const j,

p(t)-p( 0)

3) U3j = hj — + const,,

(1.5.49)

rr , p(t)-p(0) 4)

U^ = -fc4j- ^^ + const,, 5)

^ = ^ ( %}U + J + const,,

, /мт-м(о) p(*)-p(o)\

6> = -k« ( M(0) + J + const-

при любых значениях настраиваемых коэффициентов кц ^ 0. Здесь const,- — постоянная, равная оценке значений j-ro параметра по результатам параметрической идентификации.

Применение законов параметрического регулирования Uij, і = = 1,6, j = 1,3, означает подстановку соответствующих функций вместо параметров ? (j = 1), тт (j = 2) и г с (j = 3) в уравнения модели (1.5.20)—(1.5.36). В результате применения этих законов получается следующая система:

dM Ф1

- = --„М, (1.5.50)

§ = MS - 2, (1.5.51)

at р

atG

— = UaLG + Фс - прФ - nLsRL - n0{dp + dB), (1.5.52)

dP Q n , „ч

ft = I max , i?L = шіп{Лй,Л5}, (1.5.54)

^ = (1.5.55)

Un 1 Ull-(3 r2LG, (1.5.56)

Щ і

lB Q„ г G

dtt = (3r2Lu, (1.5.57)

ж = т^ 1 - (~) * , (1-5.58)

1 -S \ i-(1.5.59)

/ = !_(!_ ) - 7 (1.5.60) Ф° = rjopMf, (1.5.61)

фс = Ui2pMf, (1.5.62)

Фь = (1 - nL)sRd, (1.5.63)

ф/ = иЛ + ^Хо))пР <(1" " [no{dB + dP) +

~[nL - (1 - nL)np]sRL} + {p* + Ul2)Lp, (1.5.64) Ф = Ф° + ФС? + ФІ' + Ф/, (1.5.65)

Rs = P0Aexp(A„t)-^—, w= „ Ф ,л .. (1.5.66) 0 F v p ' 1 + VUJ pPo exp (Apt) v ;

Доказательство слабой структурной устойчивости математической модели (1.5.20)—(1.5.36) (проведенное выше и опирающееся на уравнение (1.5.23)) позволяет установить сохранение слабой структурной устойчивости рассматриваемой модели при применении каждого из законов параметрического регулирования Uij(t) в виде следующего утверждения.

Утверждение 1.5.2. Пусть N — компактное множество, лежащее в области (М >0, Q < 0, р > 0) или (М > 0, Q > 0, р > 0) фазового пространства системы дифференциальных уравнений, полученных из (1.5.20)—(1.5.36), т. е. четырехмерного пространства переменных (М, Q, р, Lq)\ замыкание внутренности N совпадает с N. Тогда поток /, определяемый (1.5.50)—(1.5.66) слабо структурно устойчив на N.

Нахождение точек бифуркации экстремалей задачи вариационного исчисления на базе математической модели страны с учетом влияния доли государственных расходов и ставки процента по государственным займам. Рассмотрим возможность нахождения точки бифуркации для экстремалей задачи вариационного исчисления по выбору закона параметрического регулирования механизма рыночной экономики на уровне одного экономического параметра в среде конечного фиксированного набора алгоритмов на базе математической модели экономической системы страны (1.5.20)—(1.5.36).

, M -Mo

= «і,- 1- const,,

3 M0 3

M -M0

= jj^- + COnSt j,

, P-Po . , = Ь const j,

Po

= —— + const j.

Возможность выбора оптимального закона параметрического регулирования на уровне одного из двух параметров ? (j = 1) и тт (j = 2) и на промежутке времени [to, to +Т] исследовалась в среде следующих алгоритмов (1.5.42): 1)

ицЮ 2)

U2j(t) 3)

U3j(t) 4)

В рассматриваемой задаче использовался критерий (1.5.43) (среднее значение ВВП за 1997-99 гг.)

to+T

К= \ j Y{t)dt'

to

где У = М/.

Замкнутое множество в пространстве непрерывных вектор- функций выходных переменных системы (1.5.20)—(1.5.36) и регулирующих параметрических воздействий определяется следующими соотношениями (1.5.44):

<0,09p**(t),

(M(t),Q(t),LG(t),P(t),s(t)) Є X, 0 sC щ ^ aj, і = ї~4, j = ЇД t Є [to, to + T].

Исследовались следующие постановки задач для нахождения точек бифуркации экстремалей рассматриваемой задачи вариационного исчисления.

Задача 1.5.1. В этой задаче вариационного исчисления рассматривалась ее зависимость от коэффициента А = г 2 математической модели, возможные значения которого принадлежат некоторому отрезку [а, Ь].

В результате вычислительного эксперимента получены графики зависимостей оптимальных значений критерия К от ставки процента по депозитам (в процентах) для заданного набора алгоритмов (рис. 1.5.9). Как видно из рис. 1.5.9, условия теоремы 1.4.1 180000

176000

172000

168000

164000

О 5 10 15 20 25

выполнены, например, для промежутка [15,6; 21,6], поскольку при Г2 = 15,6 достигается оптимальное значение критерия 175 467 при использовании закона U12, а при Г2 = 21,6 — оптимальное значение критерия 171 309 при использовании закона U21- Применение предложенного выше численного метода позволяет с погрешностью до 0,001 определить точку бифуркации экстремали рассматриваемой задачи: г| = 18,0. Для этого значения параметра два закона — U21 и U12 — являются оптимальными, и соответствующее значение критерия К для них равно 173 381 (млн тенге/мес.).

Задача 1.5.2. Рассмотрим возможность нахождения точек бифуркации экстремалей задачи вариационного исчисления по выбору оптимального набора законов параметрического регулирова-

ния механизмов рыночной экономики с учетом влияния государственных расходов на уровне двух экономических параметров при однопараметрическом возмущении.

В данной задаче вариационного исчисления рассматривалась ее зависимость от коэффициента А = Г2 математической модели, возможные значения которого принадлежат некоторому отрезку [а; Ь].

В результате вычислительного эксперимента получены графики зависимостей оптимальных значений критерия К от ставки процента по депозитам для всех наборов алгоритмов с ненулевыми оптимальными значениями коэффициентов kij (рис. 1.5.10). Как 188000

183000

178000

173000

168000 2

видно из рис. 1.5.10, условия теоремы 1.3.11 выполнены, например, для промежутка [6; 9,6], поскольку при Г2 = 6 достигается оптимальное значение критерия 188 803 при использовании двумерного закона {С^ъ^зг}) а при Г2 = 9,6 — оптимальное значение критерия 190 831 при использовании закона {С^ъ^Лг}- Применение предложенного выше численного метода позволяет с погрешностью до 0,001 определить точку бифуркации экстремали рассматриваемой задачи: г\ = 0,075. Для этого значения параметра два двумерных закона — {^21? ^32} и {U21, ^12} — являются оптимальными, и соответствующее значение критерия К для них равно 187487 (млн тенге/мес.).

Задача 1.5.3. Рассмотрим возможность нахождение точек бифуркации экстремалей задачи вариационного исчисления по вы-

бору оптимального закона параметрического регулирования механизмов рыночной экономики на уровне одного экономического параметра при двухпараметрическом возмущении.

В данной задаче вариационного исчисления рассматривалась ее зависимость от двумерного коэффициента Л = (г2,по) математической модели, возможные значения которого принадлежат некоторой области (прямоугольнику) Л на плоскости.

В результате вычислительного эксперимента были получены графики зависимостей оптимального значения критерия К от значений параметров (г2,по) для каждого из 12 возможных законов Uij, і = 1,6, j = 1,2. На рис. 1.5.11 представлены указанные л к л 4

(3 5

S Е< К

о

0,050

0,020 п0

0,025 0,048

графики для двух законов U2\ и С/41, дающих наибольшее значение критерия в области Л, линия пересечения соответствующих поверхностей и проекция этой линии пересечения на плоскость значений Л, состоящая из точек бифуркации этого двумерного параметра. Эта проекция делит прямоугольник Л на две части, в одной из которых оптимальным является закон управления U2\, а в другой — С/41, на самой проекции линии оба указанных закона являются оптимальными.

Задача 1.5.4. В результате вычислительного эксперимента также были получены графики зависимостей оптимального значения критерия (1.5.47) К\ от значений нерегулируемых параметров (г27по) Ддя каждого из 9 возможных законов (1.5.46) Уц, і = 1,3, j = 1,3. На рис. 1.5.12 представлены указанные графики для четырех законов (Vn, V12, V21, V22), дающих наименьшие значения

критерия К\ в области Л, линии пересечения соответствующих поверхностей и проекция этих линий пересечения на плоскость значений А. Указанные проекции линий состоят из точек бифуркации этого двумерного параметра А, которые делят прямоугольник Л на части, внутри каждой из которых оптимальным является только один закон управления, на самой проекции линий два или три различных закона являются оптимальными.