Схемы начисления процентов
Основным институтом, обслуживающим финансовые рынки, являются банки. Одной из основных банковских операций является обслуживание банковских счетов: в определенные моменты времени банк обязуется добавлять к денежной сумме, лежащей на банковском счете, некоторый процент.
Проценты могут быть простыми или сложными и начисляться n раз в год либо непрерывно.Пусть в начальный момент времени на банковском счете лежит сумма B0, и на эту сумму в конце каждого года начисляется процент i (т. е. доля от первоначальной суммы B0), тогда в конце первого года сумма на счете составит
в конце второго года —
в конце t-го года (t — целое) —
Такая схема называется схемой простых процентов.
Исторически такая схема была самой первой, но она допускает простую возможность для владельца банковского счета заработать
этого нужно в конце каждого года снимать со счета всю сумму, включая только что начисленные проценты, и тут же открывать новый счет и класть на него всю эту сумму!
Банки, конкурирующие между собой, естественно, предоставили вкладчикам возможность проводить такую операцию «переот- крытия счета» автоматически; такая схема называется схемой сложных процентов и предполагает начисление процента не на первоначальную сумму B0, а на сумму, лежащую на счете после последнего начисления процентов, таким образом, через (целое число) t лет при использовании схемы сложных процентов на счете будет лежать сумма
В конкурентной борьбе за вкладчиков банки предлагали все новые и новые возможности, например, начисление процентов не один раз (в конце года), а m раз в год.
При этом, прежде всего, необходимо как-то сравнивать условия, предлагаемые различными банками, и для этого договорились всегда называть клиентам проценты годовых — процентную ставку i, выплачиваемую за год. Если за год выплачивается процент i, то за m-ю часть года в случае простых процентов, очевидно, будет выплачиваться процент
и через t лет (т. е. через [mt] начислений процентов) на счете будет лежать сумма
(здесь число t может быть уже как целым, так и дробным; квадратными скобками [x] обозначена целая часть числа x — наименьшее целое число, не превосходящее x).
Рассчитаем процентную ставку
выплачиваемую за m-ю часть года в случае сложных процентов. За год сумма B0 увеличивается до
с другой стороны, если m раз за этот год начислял
ся процент
по схеме сложных процентов, то к концу года сумма B0 должна превратиться в
Таким образом, заключаем, что
или
откуда
Отсюда следует, что если за год выплачивается процент i, а в год осуществляется m процентных выплат, то в случае сложных процентов через t лет (т. е. через
начислений процен
тов) на счете будет лежать сумма
48
(здесь, как и ранее, число t может быть как целым, так и дробным; квадратными скобками [x] обозначена целая часть числа х, а фигурными скобками {х} — дробная часть,
Итак, в случае сложных процентов, начисляемых m раз в год,
Дальнейшая конкуренция банков за вклады привела к схеме непрерывных процентов.
Пусть сложные проценты начисляются m раз в год, а t = k/m — рациональное число (к — целое, m — натуральное), тогда
Поскольку любое вещественное число t может быть сколь угодно точно приближено рациональным числом k/m, и предполагая зависимость
от i и t непрерывной, получим формулу начисления непрерывных процентов:
для любого t > 0.
При этом интенсивностью процентов 5 называется мгновенная относительная скорость накопления средств на банковском счете при непрерывном начислении процентов:
вспомнив второй замечательный предел 
заключаем, что
Из формул (4.1.5)—(4.1.6) следует, что
49
Рис. 4.1.1, на котором представлены графики функций у(прсют.) _ (1 + ti) и у(непр) = (1 + if, дает возможность убедиться в том, что при t < 1 простые проценты растут быстрее, чем сложные и непрерывные, а при t > 1 — медленнее.
Рис. 4.1.1. Сравнение силы роста простых процентов (тонкая линия) и непрерывных процентов (жирная линия)
При расчетах за неполное число лет иногда применяется комбинированная схема сложных и простых процентов, когда за целое число лет начисляются сложные проценты, а за остаток года — простые:
Если сумма B,, лежащая на банковском счете в момент времени t, отрицательна (при этом говорят, что на счете образовалась короткая позиция), подразумевается, что банк кредитует вкладчика на сумму |Bt|, взимая за это тот же самый процент i, который начисляется на счета с положительной суммой (с длинной позицией).
Очевидно, модели (4.1.1), (4.1.4), (4.1.5) и (4.1.7) описывают и случай короткой, и случай длинной позиции на банковском счете.Пример 4.1.1. Через сколько лет удвоится сумма, положенная в банк под i = 10% годовых, если начисления на банковский счет производятся по схеме: а) простых процентов; б) сложных процентов?
Решение. Через t лет исходная сумма В0 в случае простых процентов превратится в
а в случае сложных процентов — в
Чтобы ответить на вопрос, необходимо решить неравенства:
или
Таким образом, в случае простых процентов сумма удвоится через 10 лет, а в случае сложных процентов — через 8 лет.
Заметим, что в случае непрерывных процентов сумма удвоится за 7,29 лет, т. е. приблизительно за 7 лет и 3,5 мес. ?
Пример 4.1.2. В день рождения сына родители положили на его банковский счет 50 000 руб. Какая сумма будет на счете к восемнадцатилетию сына, если банк начисляет сложные проценты по ставке i = 10%?
Решение. По формуле (4.1.4) получаем:
Многие банки в современной России привлекают заемщиков, пользуясь их недостаточной финансовой грамотностью. Это иллюстрирует следующий пример.
Пример 4.1.3. Потребитель взял в кредит 1 000 000 руб. и должен вернуть через полгода эту сумму и 20% от нее (за пользование кредитом). Какую ставку сложных годовых процентов взимает данный банк?
Решение. По формуле (4.1.2) имеем:
где i — годовая про
центная ставка, а i2 = 20% =0,2 — ставка, выплачиваемая за полгода. Отсюда
Таким образом, если заемщик выбирает между банком, который взимает 16% годовых и требует гарантий поручителей или оставления залога, и данным банком, то плата за отсутствие гарантий составит 44% - 16% = 28% годовых (от 1 000 000 руб. это составит 280 000 руб. — значительную сумму)! ?
4.2.