1.12. Задачи

Рассмотрим модель олигополии по Курно с п фирмами. Пусть qi — объем произведенной продукции фирмой i и пусть Q = qi + • • • + qn — общий объем продукции на рынке. Предположим, что функция обратного спроса имеет вид P(Q) = а — Q (для Q < а, иначе Р = 0). Полные затраты фирмы i на производство продукции в размере дг- есть С(дг) = с-дг- , то есть постоянных затрат нет, а предельные затраты постоянны и равны с, причем с < а . Фирмы выбирают свои объемы производства одновременно. Найдите равновесие по Нэшу. Что будет происходить, если п стремится к бесконечности? 4.

Рассмотрим следующий конечный вариант модели дуополии по Курно. Допустим, что каждая из фирм должна выбрать, производить ли половину монопольного объема продукции, qmj2 = (а —с)/4, либо равновесный по Курно объем, qc = (а — с)/3 . Другие объемы производства в такой модели невозможны. Показать, что эта игра с двумя ходами эквивалентна «Дилемме Заключенного»: каждая фирма имеет строго доминируемую стратегию, и в равновесии обе фирмы оказываются в менее выгодном положении, нежели в ситуации, когда бы они выбрали сотрудничество (кооперацию). 5.

Рассмотрим модель дуополии по Курно с функцией обратного спроса P(Q) = а — Q . Будем считать, что фирмы имеют асимметричные предельные затраты: с\ для 1-й фирмы и с2 Н-й фирмы. Что будет являться равновесием по Нэшу, если 0 < сг- < а/2 для каждой фирмы? Что, если с\ < с2 < а, но 2с2 > а + с\ ? 6.

Рассмотрим совокупность избирателей, равномерно распределенных вдоль «идеологического спектра» слева (ж = 0) направо (х = 1) . Одновременно каждый из кандидатов на одну должность (пост) выбирает платформу компании (т.е. точку на линии между х = 0 и х = 1). Избиратели наблюдают выборы кандидатов и затем каждый избиратель голосует за того кандидата, чья платформа является ближайшей к позиции избирателя на спектре. Если имеется два избирателя и они выбрали, например, платформы х\ = 0,3 и х2 = 0,6, то все избиратели, расположенные левее х = 0, 45 , голосуют за кандидата 1, а все избиратели правее этой точки голосуют за кандидата 2, и кандидат 2 выигрывает выборы с 55 процентами голосов. Предположим, что кандидаты хотят только быть выбранными — в действительности они не интересуются платформами совсем! Если имеется два кандидата, то каково равновесие по Нэшу в чистых стратегиях? Если имеется три кандидата, то каково равновесие по Нэшу в чистых стратегиях? Считаем, что любые кандидаты, которые выбрали одну и ту же платформу, поровну делят голоса, отданные за эту платформу, и что ничьи среди лидирующих кандидатов разрешаются с помощью подбрасывания монеты.

7. Показать, что в «Дилемме Заключенного» и в играх на рис. 47 и 48 нет равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях. и d

Т

м в

R

(5,3) (5,3) (6,6)

L

(0,4) (4,0) (3,5)

R

(ОД) (2,0)

м

(1.2) (0,1)

L

(1.0)

(0,3)

С

(4,0) (0,4) (3,5)

Рис. 48.

Рис. 47. 8. Найти равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях для следующей игры, представленной в нормальной форме:

L R Т / (2,1) (0,2) В \ (1,2) (3,0) 9.

В каждой из двух фирм имеется по одной вакансии. Допустим, что фирмы предлагают различные зарплаты: фирма i предлагает зарплату Wj , причем

< < 2wi . Предположим, что есть два работника, каждый из которых может обратиться только в одну фирму. Работники одновременно решают обратиться в фирму 1 или фирму 2. Если в фирму обращается только один работник, то он получает работу; если оба работника обращаются в одну и ту же фирму, фирма нанимает одного работника случайным образом

и другой работник остается безработным (имеет нулевой выигрыш).

Обратиться Обратиться в фирму 1 в фирму 2

Обратиться в фирму 1 Обратиться в фирму 2 10. Показать, что для равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях верно следующее утверждение: стратегии, сыгранные с положительной вероятностью в равновесии по Нэшу в смешанных стратегиях выживают в процессе последовательного исключения строго доминируемых стратегий. 11.

Аукцион первой цены. Оценки игроков объекта аукциона упорядочены: v\ > > • • • > vn > 0 . Участники одновременно делают заявки, назначая цену, которую они готовы заплатить за объект. Выигрывает назначивший наибольшую цену, которую он и платит (в случае, если несколько участников называют одну наивысшую цену, объект получает тот из участников, у которого наименьшая оценка). Найдите равновесие по Нэшу. 12.

Армия А обладает единственным самолетом, который она может направить для атаки одной из трех целей. У армии В есть единственное зенитное орудие, которое она может установить для защиты одной из целей. Ценность цели к есть Vk , так что v\ > v2 > > 0 . Армия А разрушает цель только, если она атакует незащищенную цель. Армия А стремится максимизировать ожидаемый ущерб от нападения, а В стремится его минимизировать. Найдите равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях соответствующей игры.