3.2. Альтернативный взгляд на смешанные стратегии
Основная черта равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях — это даже не то, что игрок j выбирает стратегию случайно, а то, что игрок i сталкивается с некоторой неопределенностью относительно выбора игрока j , причем эта неопределенность может возникнуть или в силу наличия рандомизации, или в силу «некоторой неполноты» информации, как в следующем примере.
Вернемся к хорошо знакомой нам игре «Семейный спор» (см. рис. 2).
ОНА Ф Б
Ф
ОН
/(2,1) (0,0) \
Б
1(0,0) (1,2)/
Рис. 2.
Здесь есть два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях — (Ф,Ф) и (Б,Б), и одно в смешанных стратегиях, при котором:
Он играет «Ф» с вероятностью 2/3 и «Б» с вероятностью 1/3;
Она играет «Ф» с вероятностью 1/3 и «Б» с вероятностью 2/3.
Теперь представим себе, что, хотя они знают друг друга достаточное время, они не вполне уверены относительно точного значения выигрышей друг друга. В частности, предположим, что Его (ему будет далее соответствовать индекс с) выигрыш, когда оба идут на футбол, есть 2 + tc, причем tc приватно известно ему; Ее выигрыш (ей соответствует индекс р), если оба идут на балет, есть 2 + tp , что известно приватно ей. Будем считать, что tc и tp равномерно распределены на [0, х]. (В действительности равномерность не по существу, но главное то, что tc и tp слегка «возмущают» выигрыши.) Все остальные выигрыши — те же. В терминах абстрактной Байесовой статической игры в нормальной форме имеем:
G — { Ас, Ар, Тс, Trp, рс, Рр, ис, Up }, где
АС = АР = {Ф,Б}; Тс = Тр = [0, ж]; представления есть
Pc{tp) = pP{tc) = 1/ж
для любых tc и tp , а выигрыши определены так, как это представлено на рис.
3.ОНА Ф Б
С
Ф / (2 + tc, 1) (0,0)
Б V (0,0) (1,2 +tp)
Рис. 3.
Наша цель — построить БН-равновесие в чистых стратегиях этой игры с неполной информацией, в которой Он играет Ф, если tc превосходит некоторое критическое значение с и играет Б в противном случае, а Она играет Б, если tp превосходит критическое значение р, и Ф в противном случае. В таком равновесии Он играет Ф с вероятностью , а Она играет Б с вероятностью . Заметим, что —
вероятность того, что tc > с. (Это те самые вероятности, которые стоят в p(t_i\ti) в соответствующем определении БН- равновесия). Оказывается, что по мере того, как неполнота информации исчезает, т.е. х —> 0 , поведение игроков в этом БН-равновесии в чистых стратегиях «приближается» к их поведению в первоначальной игре с полной информацией, т.е. X
х — с
х — р 2 х 3
2
)> — И
с^О 3
Представим себе, что оба игрока играют описанные стратегии. Для данного х мы определим значения сир такие, что описанные стратегии будут образовывать равновесие по Байесу-Нэшу. Если Она играет такую стратегию, то Его ожидаемый выигрыш от игры Ф есть Р
Р
(2 +У +
1 -
О = — (2 + У,
X
X
х а Его ожидаемый выигрыш от игры Б есть Р
р
Р
0 +
1 -
•1 = 1- X
X
X Поэтому играть Ф оптимально тогда и только тогда, когда tc > ^ — 3 . Следовательно, с = ^ — 3 .
Аналогично, если Он играет указанную стратегию, то Ее ожидаемый выигрыш от игры Б и игры Ф — это соответственно с
1 -
X
0+ ^[2 +У = ^(2 +У с
1 - -
X
с с
1+ - • о = 1 - -. Таким образом, играть Б оптимально в том и только том случае, если
х
t„ > — — 3, с
т.е. р = ^ — 3 . Следовательно, мы имеем систему из 2 уравнений с двумя неизвестными
с=?- 3,
р '
Р = f-з,
, это дает р = с и р2 + Зр — ж = 0 .
Решая относительно р, получаем, р = ~3+Л^9+4— — вероятность того, что Он играет Ф, а Она играет Б, т. е. соответ-
х—р 1 —3+л/9+4ж о /о
—равны 1 —1— , что стремится к 2/3
_ix
2х
при х —у 0 . Действительно, рассмотрим . Домножив
числитель и знаменатель на 3 + у/9 + 4х , получаем
9 + 4ж — 9 _ 2 1
2s(V9 + 4s + 3) ~ V9 + 4ж + 3 3'
Следовательно,
V9 + 4х - 3 2
2х хч-о 3
Таким образом, по мере «сокращения» неполноты информации, поведение игроков в этом равновесии по Байесу-Нэшу в чистых стратегиях «стремится» к поведению в равновесии по Нэшу в смешанных стратегиях в исходной игре с полной информацией.