3.3. Замечание о коррелированном равновесии

Например, предположим, что вероятности реализации ж2 и ж3 есть /32 и /З3 , а стратегия игрока 2 состоит в выборе а2 , если он знает, что реализация есть элемент {ж1, ж2}, и а2 — если ж3 . Тогда, если игрок 1 информирован о том, что реализуется либо ж2 , либо ж3 , он выбирает действие, оптимальное

в2

при условии, что игрок 2 выбирает а2 с вероятностью р2+рз

(вероятность ж2 при условии {ж2, ж3}) и а'2 с вероятностью

Р3

Определение 3.3.1. Коррелированным равновесием в игре {/, {Л}, {иг}} называется набор {(0,7г), {Рг}г?/, {стг}ге/} , состоящий из конечного вероятностного пространства О, (пространства состояний) и вероятностной меры ТГ на Q, информационного разбиения Vi для каждого игрока i = 1,...,п пространства О,, и функций ai : Q —> Ai, i = 1,..., га, обладающих свойством (Ji(w) = (Ji(w') для w,w' ? Pi для некоторого Pi ? Vi (<7; — стратегия игрока i) таким, что для любого i ? I и любой функции Ti : Q —> Ai, для которой Ti(w) = Ti(w') для w,w ? Pi из некоторого Pi ? Vi (т.е.

> ^ к(т)щ(тг(т), Следующий результат принадлежит Р.Ауману (Aumann, 1974).

Предложение 3.3.1. Для любого равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях а конечной бескоалиционной игры {/, {Ai}, {и^} существует коррелированное равновесие {(Q,ir){Vi}, {di}}, в котором для каждого игрока i ? I распределение на Ai, индуцированное ai, есть oii .

Иными словами, множество коррелированных равновесий содержит множество равновесий по Нэшу в смешанных стратегиях.

В игре «Семейный спор» три равновесия по Нэшу в смешанных стратегиях дают выигрыши (2,1), (1,2) и Кроме того, одно из коррелированных равновесий дает выигрыши . Действительно, пусть = {ж1, ж2} , ^(ж1) =

тг(ж2) = Vi = V2{{x1},{x2}}, Oi{ж1) = Ф, стг(ж2) = Б , i = 1,2. Это равновесие можно интерпретировать следующим образом: игроки наблюдают за подбрасыванием монеты и в зависимости от того, что выпадет, выбирают, какое из двух «чистых» равновесий по Нэшу играть.

Заметим также, что множество всех коррелированных равновесий в игре выпукло.