3.4. Примеры

Представим себе, что есть 2 покупателя i = 1,2. Покупатель оценивает некоторый неделимый товар в (единиц), т. е. если он получает товар, заплатив Ьг-, то его выигрыш есть — Ьг-.

Сформулируем это как Байесову игру, т.е. определим пространства ходов, пространства типов, представления и функции выигрышей. Действия игрока— заявить цену Ьг- (р оставляем для представлений), а тип есть Vi . Поскольку оценки независимы, то игрок i считает, что Vj распределено равномерно на [0,1] вне зависимости от Vi. Выигрыши игрока i есть:

11: — h: h: % h:

щ{Ъ\, ь2; vXl v2)

0, bi < bj.

Определим пространство стратегий. По определению, стратегия игрока i — это функция &;(•) , ставящая в соответствие каждому Vi цену bi(vi) , которую готов заплатить игрок i, если он оценивает товар в Vi. В равновесии по Байесу-Нэшу bi(-) — это лучший ответ на стратегию 2-го ЬгО) и наоборот. Формально пара (bi(-), ^г(')) — равновесие по Байесу-Нэшу, если для любого Vi в [0,1] bi(vi) является решением задачи

Мы будем искать линейное равновесие, то есть равновесие, образуемое линейными стратегиями bi(-) и b2(-) :

bi(vi) = ai + C1V1 и b2(v2) = а2 + c2v2.

(Заметим, что мы не ограничиваем пространство стратегий линейными стратегиями. Мы допускаем любые, но ищем равновесие, которое будет линейным. В действительности в силу равномерности распределения оценок окажется, что равновесие не только существует, но и единственно (в смысле, который станет понятным ниже).) Мы получим, что (и;) = у •

Предположим, что j использует стратегию bj(vj) = aj + CjVj .

max(vj — bi)P{bi > aj + CjVj}

i>i

(поскольку P{bi = bj(vj)} = 0 , так как bj(vj) = {bi > dj+CjVj} и Vj равномерно распределено, а значит и bj распределено равномерно).

Поскольку для игрока i бессмысленно назначать цену ниже минимального назначения j и глупо — выше максимального, то cij < bi < cij + Cj, и, следовательно,

^r, „ Г bi — а^ 1 bi — ai

P{bl>aJ+cJvJ} = P\vJ<^—^-

I cj

следовательно, лучший ответ игрока i есть

гфл = i-г1. если

[ a,j, если Vi < aj.

Если 0 < aj < 1, то существуют некоторые Vi такие, что Vi < aj , а тогда (и;) — не линейна (она равна aj вначале, а потом возрастает). Значит, поскольку мы ищем линейное равновесие, мы должны теперь считать, что либо aj > 1, либо aj < 0 . Однако первое неравенство в равновесии невозможно: поскольку для более высокого типа оптимально назначать по крайней мере столько же, сколько оптимально для более низкого типа, то Cj > 0 , но тогда aj > 1 давало бы bj(vj) > Vj , что не может быть оптимальным. Следовательно, если мы хотим, чтобы bi(-) была линейной, то должно быть aj < 0, следовательно,

а это значит, что

aj

cii — 2 > ^ — /

Повторив то же для j , предполагая, что i использует стратегию

bi(vi) = аг + CiVi,

получаем, что аг- <0, aj = у, Cj = 1/2, и, следовательно, (ц = aj = 0, Ci = Cj = 1/2. Таким образом, (и;) = иг-/2.

Теперь мы обратимся к поиску симметричного равновесия, т.е. равновесия, в котором оба игрока играют одинаковые стратегии35. Предположим теперь, что оба игрока j используют стратегию &(•) , причем &(•) — строго возрастающая и дифференцируемая функция. Следовательно, для данного Vi оптимальная заявка игрока i решает задачу

таx(vj — bi)P{bi > b(vj)}.

Пусть b~1(bj) обозначает оценку, которую должен иметь j , чтобы заявить bj . Т.е. b~l(bj) = vj (если b(vj) = bj ). Т.к. Vj равномерно распределено на отрезке [0,1], то

p{bi > b(Vj)} = Pib-^bi) >Vj} = ь-1^).

Условие 1-го порядка для задачи первого игрока есть -b-1(bi) + (vl-bi)^b-1(bi) = 0. Далее, не слишком вдаваясь в детали, мы имеем: поскольку мы ищем симметричное (в указанном выше смысле) равновесие, то bi = b(vi) , следовательно, d

или b'(vi)vi + b(vi) = Vi .

Для исключения к нам нужны граничные условия. Ясно, однако, что никто заявлять цену выше своей оценки не будет, следовательно, b(vi) < Vi для любых Vi. В частности, 6(0) < 0 , а в силу неотрицательности b имеем 6(0) = 0 , а тогда Уг 2 '

к = 0 и b(vi) 2. «Производство публичного продукта в условиях неполной информации». (Fudenberg, Tirole). Два игрока i = 1,2 одновременно решают вопрос о том, вкладывать или нет в производство публичного продукта, причем решение — это 0—1 решение, т.е. 0, если не вкладывать, и 1, если вкладывать. Выгода каждого игрока есть 1, если хотя бы один решил вкладывать, и 0, если никто не вкладывает. Затраты г-го игрока на вложение есть сг-. Выигрыши изображены на рис. 4. вКЛ

нет, вкл

нет

(1-С1,1-С2) (1 - С2,1) (1,1-с2) (0,0)

Рис. 4. Выгода от наличия публичного продукта — 1 каждому — общеизвестна, но затраты каждого игрока известны только ему. В то же время оба игрока считают общеизвестным, что сг- выбираются независимо, в соответствии с непрерывной, строго возрастающей кумулятивной функцией распределения Р(-) на [с, с], где с < 1 < с (поэтому -Р(с) = 0 и Р(с) = 1). Затраты сг- — это тип игрока i.

Чистая стратегия в этой игре — это функция 5г (сг) , ставящая в соответствие каждому возможному типу сг- G [с, с] решение вкладывать (1) или нет (0). Выигрыш г-го игрока есть

? Sj, Ci) — max(st, Sj) Сг8г.

Байесово равновесие — это пара стратегий (s^(-), «^(О) та~ кая, что для каждого игрока i и каждого возможного типа Ci стратегия s*(c8) максимизирует ожидаемый выигрыш ECjUi(si, s*(cj), с^ . Пусть Zj = Prob(s*(cj) = 1) —равновесная вероятность того, что игрок j вкладывает. Для максимизации своей ожидаемой полезности игрок i будет вкладывать, если его затраты сг- меньше, чем 1 • (1 — Zj) , что представляет собой выгоду от наличия публичного продукта, умноженную на вероятность того, что j не будет вкладывать. Тогда 5*(сг) = 1, если Ci < 1 — Zj , и, обратно, s*(c8) = 0 , если Ci > 1 — Zj .

Поскольку Zj = Prob(c < Cj < с*) = Р(с*) , то с* = 1 — Р(с*) . Таким образом, с\ и должны удовлетворять уравнению с* = 1 — Р( 1 — Р(с*)) . Если существует единственное решение этого уравнения с* , то необходимо должно быть с* = С* = 1 — Р(с*) . Например, если Р равномерно на [0,2] (Р(с) = с/2), то с* единственно и равно 2/3. Игрок не вкла- дывает, если его затраты лежат в промежутке (§, l] , даже если его затраты меньше, чем его выгода, и даже если 2/3 — это вероятность того, что публичный продукт не будет «предложен» другим игроком.

Если же вместо с = 0 предположить с > 1 — Р(1) , то в игре будет два асимметричных равновесия. В них один игрок никогда не вкладывает, а другой вкладывает при всех с < 1. Например, равновесие, в котором игрок 1 не вкладывает, есть с* = 1 - Р( 1) < с и с* = 1.