1.9. Примеры

Предположим, что две фирмы i = 1,2 производят однородный продукт и qi,q2 — объемы производства этого продукта. Обратная функция спроса имеет вид (для простоты) Р(Q) = a-Q , где Q = qi+q2 , (P(Q) = a-Q , при Q < а , и P(Q) = 0 , при Q > а).

Фирмы выбирают qi одновременно и независимо. Здесь два игрока, стратегии Si = [0, +оо) . (В действительности ни одна фирма не будет производить дг- > а.) Фирмы максимизируют свои прибыли:

Ki{qi, qj) = qt{P{qt + q3) - с) = qt[a - (qt + qj) - с].

Если пара (qi,q2) — Р-Н., то q* решает задачу

max 7Гг(дг, q*).

тельно так), тогда условие 1 порядка14 дает нам qi = i(a —

Предположим q* < а — с (можно доказать, что это действи-

q* - с) . Тогда

4t = \{q-4l-c)

q* = l(a-ql-c) 3 (<« с).

Заметим, что монопольный выпуск был бы (а — с)/2 .

При исследовании дуополии по Курно важную роль играют функции лучших ответов (кривые реагирования) — это функции вида

R2{qi) = \{a-qi-c), -Ri(fti) = \{a-q2-c). Таким образом, Ri(qj) — это объем выпуска г-й фирмы, максимизирующий ее прибыль, при условии, что j-я фирма производит q,j . Кривые реагирования изображены на рис. 25.

Рис. 25.

Точка пересечения кривых реагирования определяет равновесие по Курно, т. е. равновесие по Нэшу в модели дуополии по Курно.

1.9.2. Равновесие по Нэшу в дуополии по Курно как результат обучения

Мы будем предполагать сейчас, что игроки пытаются предсказывать игру своих оппонентов, «используя свой предыдущий опыт». Эта идея восходит еще к Курно, который рассматривал своеобразный динамический вариант нахождения равновесия. При этом игроки выбирали объем выпуска по очереди как лучший ответ, исходя из выбора оппонента на предыдущем шаге, предполагая («гипотеза Курно»), что он (оппонент) оставит свой объем выпуска без изменения.

Точнее, если игрок 1 делает ход в период 0 и выбирает , то выпуск игрока 2 в период 1 есть q\ = Г2(д°) , где г2(-) —

функция реагирования второго игрока.

4i = ri{q\) = ri{r2{ql))-

Если этот процесс сходится к (qi,q2), то = r2(qi) и qi = r\{q2) , т.е. (ql,q2) — Р-Н- Если процесс сходится к некоторому состоянию (qi,q2) Для любого начального состояния, достаточно близкого к нему, то говорят, что состояние {Я11Ч2) — асимптотически устойчиво, а сам процесс называется процессом нащупывания (см. рис.26)15. qi

Я2

qi=ri(q2)

Рис. 26. В общем случае картина может быть более сложной (см. рис.27):

С , Е , G — неустойчивы (к ним процесс не сходится, если только не начинается в них самих), В , D и F — устойчивы.

Вообще говоря, достаточное условие устойчивости выглядит следующим образом: < 1. dr 1 dr2 dq2 dqi

Рис. 27.

Заметим, что если функции выигрышей дважды непрерывно дифференцируемы, то наклон функции реагирования i-й фирмы есть

1.9.3. Дуополия по Бертрану

1. Парадокс Бертрана. Рассмотрим ситуацию, когда две фирмы (как в дуополии по Курно) производят однородный продукт, но теперь мы предположим, что фирмы одновременно и независимо объявляют цену, по которой они готовы продавать свою продукцию. Тогда спрос, с которым сталкивается каждая фирма, определяется следующим образом: Di(Pi,Pj)

D(pi), если рг<р31 D(pi)/2, если pi = р3 О, если pi > pj. Иными словами, фирма, назначившая меньшую цену, «получает» весь спрос, а если цены одинаковы, то потребители покупают продукцию фирм равновероятно.

Предположим, что цены (pi,p2) образуют равновесие по Нэшу. Во-первых, очевидно, что р* > с, так как назначение цены ниже предельных затрат приведет к отрицательной прибыли, чего не может быть в равновесии, т. к. цена, равная предельным затратам, обеспечивает нулевую прибыль. Далее, ни одна из цен р* не может быть выше с. Действительно, предположим для определенности, что р\> с, тогда, если р2 > р\ , то фирма 2, сталкивающаяся в этом варианте в лучшем случае с половинным спросом, может «перехватить» весь спрос, назначив цену р'2 = р\— ? для достаточно малого е > 0 и тем самым улучшив свое положение.

Таким образом, в равновесии по Бертрану (или в равновесии по Нэшу в дуополии по Бертрану) р\ = р2 = с и фирмы получают нулевую прибыль. Это и есть парадокс Бертрана.

Как можно избежать этой парадоксальной ситуации? Во- первых, можно ввести условие ограничения мощности фирм, то есть считать, что есть цены, при которых фирмы не могут обеспечить весь спрос. Во-вторых, можно снять условие однократности этой игры, и это, как мы увидим позднее в гл.2, существенно меняет ситуацию. Наконец, можно избавиться от предположения об однородности продукции.

2. Рассмотрим ситуацию с дифференцированной продукцией. Фирмы 1 и 2 выбирают цены р\ и р2 одновременно и независимо. Спрос, с которым сталкивается фирма i, qi(pi,pj) = а — Pi + bpj , где b > 0 отражает степень заменяемости г-го продукта j- м. (Мы не обсуждаем здесь реалистичность такой функции спроса.) Предельные затраты есть с, с < а. Пространство стратегий — это Si = [0, оо) — фирмы выбирают цены. Тогда прибыль г-й фирмы определяется равенством

Кг{Рг,Р]) = Чг{Рг,Р])\Рг ~ с] = [а - рг + bpj]\pi ~ с]. Пара (PijPz) образует р.Н., если Vi р* решает задачу max 7Гi(pi,p*j) = maх[а - рг + Ър*]\рг - с].

0<рг<сх> J J

Решение задачи для i-й фирмы есть

Pi = \{а + Ър* + с),

то есть

Pi = ^(a + bp2 + с), р*2 = + Ьр*1 + с).

Следовательно, р\ = р?, = (а + с)/(2 — Ъ)

1.9.4. «Проблема общего»

Рассмотрим следующую очень стилизованную модель (Hardin, 1968). Представим себе, что есть п фермеров. Летом их козы (коровы) пасутся на зеленом поле. Обозначим через д; число коз у г-го фермера, тогда численность всего стада G = + • • • + дп ? Затраты на покупку и содержание козы равны с (независимо от числа коз у фермера). Ценность (стоимость) одной козы при общем числе коз G есть v (G) .

Предполагая, что козе необходим определенный уровень минимального пропитания (для выживания), считаем, что есть некоторое максимальное число коз, которое может прокормиться, Gmax: v(G) > 0 для G < Gmах, но v(G) = О для G > Gmax • Можно предположить, что если есть одна коза, то она спокойно прокормится; можно добавить еще одну и т.д., но с ростом числа коз естественно считать, что ценность падает, т.е.

Весной фермеры выбирают (одновременно и независимо), сколько заводить коз (д; для г-го фермера). Выигрыш фермера i есть

9iv(gi-\ b 9п) ~ сдг. (*)

Следовательно, если (д*[,...,д*) —р.Н., то д* должно максимизировать (*) при (<7^,..., g*_t, д*+1,..., д*) . Условие I порядка есть

v{gt + GU) + gtv'{gt + G* ,?) - с = О,

где

= y^gfc-

k^i

Подставим в это равенство д* и, просуммировав по i, получаем (разделив на п)

v(G*) + -GV(G*) - с = 0.

п

Рассмотрим теперь, что произойдет, если «социальный плановик» будет искать социальный оптимум, то есть решать задачу нахождения

max Gv(G) — Gc.

0Здесь условие I порядка есть

u(G**) + G*V(G**) - с = 0.

Нетрудно проверить, что G* > G** , т.е. коз слишком много! Иными словами, общие ресурсы используются слишком интенсивно.