2.4. Примеры

Эта ситуация — модификация дуополии по Курно, рассмотренной нами в гл. 1. Теперь мы считаем, что есть лидер, который делает ход первым. Затем, зная этот выбор, другой игрок делает свой ход.

Итак, игра протекает следующим образом: 1)

фирма 1 выбирает q\ > 0 ; 2)

фирме 2 становится известно это q\ , и после этого она выбирает q2 > 0 ; 3)

выигрыш фирмы i есть

Ki(qi,qj) = qi{P{Q) ~ с),

где P(Q) = а — Q', Q = qi + q2] с — постоянные предельные затраты.

Для нахождения равновесия здесь мы воспользуемся обратной индукцией.

max7г2(qi, q2) = maxq2[a - qi - q2 - с].

92 >0 92 >0

Легко видеть, что

а — qi — с

i?2(gi) =

2

То же самое было и в случае дуополии Курно. Разница, однако, в том, что это действительная, а не гипотетическая функция реагирования фирмы 2.

Фирма 1, естественно, также может вычислить эту функцию реагирования, а следовательно, задача фирмы 1 на первом шаге выглядит так:

max7Ti(gi, R2(qi)) = maxgi[a—q\— R2(q\)— с] = maxgi — ,

91 91 91 2

что дает

Ч* = и Ыч*г) =

Прибыль в случае дуополии по Штакельбергу: а — с

=

— (а — с)

4 '

(а - с)2 (а - сУ

—^—; =

16 Заметим, что прибыль в случае дуополии по Курно: i(a-c)2.

Этот пример показывает существенное различие между принятием единоличного решения и решения при нескольких участниках. Здесь «лишняя» информация для игрока и знание того, что другие имеют больше информации, могут ухудшить положение игрока.

2. Последовательный торг (Rubinstein, 1982). Рассмотрим следующую игру. Игроки 1 и 2 торгуются о разделе 1 доллара: 1-й предлагает некоторый способ деления, 2-й либо принимает это предложение, либо нет; если нет, то он

предлагает способ деления, а 1-й принимает, либо нет, и т./.д.

(1а) В начале 1-го периода игрок 1 предлагает «свою долю» si доллара, оставляя 1 — si игроку 2.

(lb) Игрок 2 принимает предложение, тогда игра заканчивается, либо отклоняет его. В этом случае игра переходит ко 2-му периоду.

(2а) В начале 2-го периода игрок 2 предлагает долю s2 , которую получает игрок 1, оставляя себе 1 — s2 ?

(2b) Игрок 1 либо принимает предложение, либо нет. В последнем случае игра переходит к 3-му периоду.

(3) Игроки в 3-м периоде получают доли (s, 1 — s), 0Мы будем решать задачу с помощью обратной индукции. Вначале вычисляем, что происходит, если дело доходит до 2- го периода. Игрок 1 может получить s , если отклонит s2 , но стоимость при этом будет 8s (в сравнении с предыдущим (вторым) периодом). Следовательно, игрок 1 примет s2 тогда и только тогда, когда s2 > 8s (считаем, что принимает, если равенство). Значит, задача игрока 2 состоит в выборе между получением 1 — 8s (предлагая первому игроку s2 = 8s ) и получением 1 — s в следующем периоде (предлагая s2 < 8s). Дисконтированная стоимость последнего «действия» есть 5(1 —s) , что меньше, чем 1 — 8s, а потому 2-й игрок во 2-м периоде предлагает s2 = 8s .

Таким образом, если игра доходит до 2-го периода, то 2-й игрок предложит s2, и 1-й игрок примет это предложение.

Однако 1-й игрок может предвидеть, что игрок 2 может получить 1 — s2 во втором периоде, отклоняя предложение si, но «стоить» это будет только 5(1 — s2) в следующем периоде. Значит 2-й игрок принимает 1 — si тогда и только тогда, когда 1 — si > 5(1 — s2), или si < 1 — 5(1 — s2) .

Поэтому задача 1-го игрока в периоде 1 состоит в выборе между получением 1 —5(1 —s2) в этом периоде (предлагая 1 — Si = 5(1 — s2) игроку 2) и получением s2 в следующем периоде (предлагая 1 — si < 5(1 — s2) игроку 2). Дисконтированная стоимость последнего есть 5s2 = 52s, что меньше, чем 1 — 5(1 — s2) = 1 — 5(1 — 5s).

Задача. Докажите, что если бы игра продолжалась бесконечно (здесь уже нет экзогенно заданного s), то игрок 1 на 1-м шаге предложил бы s* = 1/(1 + 5) , оставляя второму 1 — s* = 5/(1 + 5) , и второй игрок принял бы это предложение.

3. «Инвесторы и банк» (Diamond, Dybvig, 1983). Представим себе следующую ситуацию. Два инвестора вкладывают по D долларов в банк. Банк инвестировал эти депозиты в долгосрочный проект. Если «форс-мажорные» обстоятельства заставляют банк ликвидировать свои инвестиции до того, как проект «созревает», то он может покрыть сумму 2г , где D > г > D/2. Если банк позволяет проекту «созреть», то проект принесет 2R , где R > D .

Есть 2 даты, когда вкладчики могут забрать свой вклад: дата 1 — до «созревания», дата 2 — после. Для простоты считаем, что нет дисконтирования. Если оба вкладчика забирают вклады в момент 1, то оба получают по г и игра заканчивается. Если только один вкладчик забирает в момент 1, то он получает D , а второй — 2г — D . Наконец, если ни один вкладчик не заберет в момент 1, то проект созревает и оба вкладчика забирают в момент 2, при этом каждый получает по R. Если только один вкладчик забирает в момент 2, то он получает 2R — D , другой получает D . Если, наконец, ни один

не забирает в момент 2, то банк возвращает по R каждому.

Неформально для момента 1 игру можно попытаться изобразить следующим образом (см. рис. 16): забирать г, г

забирать

нет D,2r-D

(шаг 2)

нет \ 2г — D,D

Рис. 16.

Для момента 2 игра изображена на рис. 17: нет

забирать

нет 2R- D,D

R, R

забирать R, R

D, 2R — D

Рис. 17.

Дерево этой игры изображено на рис. 18.

Начнем с момента 2: так как R > D (и 2R — D > R), то «забирать» строго доминирует «нет». Значит, единственное р.Н. — это (забрать, забрать), давая выигрыши (R, R) . Поскольку нет дисконта, то можно просто подставить в «первую игру» (см. рис. 19): Н.

D,2r — D R, R

3. Н.

3.

г, г

2г-D,D Рис. 19. Так как г < D , то 2г — D < г, и мы имеем два р.Н., дающие выигрыши (г, г) и (R,R), а именно: 1) оба вкладчика «бегут» в банк в момент 1;

1

Рис. 18.

2) оба забирают в момент 2.

Первое можно интерпретировать как «бежать в банк»: если вкладчик верит в то, что другой побежит, то ему тоже надо бежать, хотя, конечно, обоим лучше подождать.