2.5. Повторяющиеся игры

L 2 i?2 и ( (1Д) (5,0) \ Кг \ (0,5) (4,4) )

Рис. 20.

Следуя той логике СПРН, которая у нас была ранее, посмотрим, что происходит на втором шаге игры. Ясно, что исход игры второго шага будет р.Н., т.е. (L\,L2) . А это значит, что игра на первом шаге сводится к тому, что к каждому элементу исходной матрицы нужно добавить выигрыши второго шага, т. е. (1,1).

Таким образом, матрица становится

/(2,2) (6,1) \ V (1,6) (5,5) J

а в ней р.Н. единственно — (L\,L2) , значит СПРН в этой двухшаговой «Дилемме Заключенного» — это (L\, Ь2) на первом шаге и (L\,L2) —на втором.

Теперь отвлечемся на время от двукратного повторения игры. Пусть G = (Ai,..., Ап; и\,..., ип) — статическая игра с полной информацией, в которой игроки одновременно выбирают ходы ai из своих пространств стратегий Ai и соответствующие выигрыши есть щ(а\,..., ап) . Будем называть G «базовой» игрой.

Определение 2.5.1. Конечной повторяющейся игрой G(T) базовой игры G называется игра, в которой G разыгрывается Т раз и перед началом каждого очередного розыгрыша игрокам известны исходы всех предыдущих розыгрышей, т. е. известны стратегии, избранные игроками, и полученные выигрыши. Выигрыши в игре G(T) определяются как сумма (или дисконтированная сумма) выигрышей на каждом шаге.

Рассмотренная выше ситуация на самом деле характерна и для общего случая. Предложение 2.5.1. Если базовая игра G имеет единственное равновесие по Нэшу, то для любого конечного Т повторяющаяся игра G(T) имеет единственное СПРН: на каждом шаге играется р.Н.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда базовая игра G имеет несколько равновесий (Gibbons): L2 M2 i?2 Li ((1,1) (5,0) (0,0) Mi (0,5) (4,4) (0,0) Ri V (o,o) (0,0) (3,3) Здесь 2 равновесия по Нэшу в чистых стратегиях (Li,L2)

и (RI,R2).

Предположим, что эта игра повторяется дважды, причем исход первой игры известен до того, как разыгрывается вторая.

Как и раньше, предполагаем (поскольку речь идет о СПРН), что игроки считают, что исход второго розыгрыша — это р.Н. базовой игры. Вообще говоря, можно предположить, что игроки могут ожидать, что различным исходам 1-го этапа будут соответствовать разные исходы 2-го этапа. Предположим, например, что игроки ожидают, что (Ri,R2) будет исходом, если первый исход был (Mi,M2), но (Li,L2), если один из 8 оставшихся был исходом 1-го этапа. В этом случае игра на 1-м шаге сводится к игре,

Е2 М2 R2 Ех / (2,2) (6,1) (1,1) \ Мг (1,6) (7,7) (1,1)

Ri V (1,1) (1,1) (4,4) У

Здесь (3,3) добавлено к выигрышам, соответствующим (МЬМ2) и (1,1) — к 8 остальным элементам исходной матрицы.

В этой игре уже 3 р.Н.: (Li,L2), (Mi,M2), (Ri,R2). Эти три р.Н. соответствуют СПРН в первоначальной повторяющейся игре. Обозначим ((w, х) (у, z)), — исходы в повторяющейся игре (w, х) — на 1-м шаге, (у, z) — на 2-м. Равновесие (Li,L2) соответствует «совершенному иод-игровому» исходу ((LI, L2), (Li, L2)) в повторяющейся игре. Аналогично р.Н. (i?i,i?2) соответствует «совершенному под-игровому» исходу ((-Ri, -R2), (Li, L2)) в повторяющейся игре. Эти два исхода просто «наследуют» р.Н. базовой игры. Но третий исход — качественно другой: (Mi,M2) — соответствует «совершенному под-игровому» (СП) исходу ((Mi, М2), (RI, -R2)) в повторяющейся игре, т.к. «предвидимый» исход 2-го шага — это (Ri,R2) вслед за (Mi,M2).

Иными словами, кооперацию можно достичь на 1-м шаге СП- исхода повторяющейся игры. А это уже дает пример более общей природы: если G — статическая игра с полной информацией и множественными р.Н., то может существовать СП исход в игре G(T) , в которой на любом шаге t < Т исход шага t — не является р.Н.

Основной вывод здесь такой: угрозы или обещания, которым можно верить в будущем, могут влиять на текущее поведение.

Прежде чем перейти к бесконечным повторяющимся играм, вернемся к нашему определению и введем коэффициент дисконтирования. Считаем, что игроки дисконтируют будущие выигрыши с общим дисконтом S . Иногда бывает удобно рассматривать не просто суммарный выигрыш

т

t=1

а нормировать его для того, чтобы рассматривать среднюю полезность за период, т.е.

t=1

средний дисконтированный выигрыш (за период). Он показывает, сколько нужно платить игроку i в каждом периоде, чтобы он получил тот же суммарный выигрыш.

Если «Дилемма Заключенного» разыгрывается один раз, то нужно «сознаваться». Если разыгрывается конечное число раз, то «иод-игровое совершенство» требует в последний раз «сознаться», а обратная индукция говорит, что единственное СПРН — это «сознаваться» всегда. Если игра разыгрывается бесконечное число раз, то «сознаться» остается СПРН. Более того — это единственное равновесие такое, что игра на каждом шаге не меняется в зависимости от того, что игралось на предыдущих шагах.

Пример. L м R и ( (о,о) (3,4) (6,0) м (4,3) (0,0) (0,0) D V (0,6) (0,0) (5,5) Считаем, что эта игра разыгрывается дважды и что выигрыши — дисконтированная сумма выигрышей.

Если эта игра разыгрывается один раз, то здесь 3 равновесия: (М, L), (U, М) и jM^j , jM^j с выигрышами (4,3), (3,4) и соответственно. Здесь запись

у С/, jM^j означает, что с вероятностью | играется « С/» и

с вероятностью | — играется «М». Эффективный набор выигрышей (5, 5) не достижим. Однако в двухшаговой игре с 5 > 7/9 следующий набор стратегий является СПРН: «Играть (D, R) на первом шаге. Если исход первого шага (D, R) , то играть (М, L) во втором шаге; если исход первого шага — не (Д Д), то играть ((3/7?/, 4/7М), (3/7L, 4/7М)) на втором шаге».

По построению эти стратегии используют р.Н. на 2-м шаге. Отклонение этой стратегии на 1-м шаге увеличивает текущий выигрыш на 1 и уменьшает следующие выигрыши игроков 1 и 2 соответственно с 4 или 3, до 12/7. Поэтому игрок 1 не будет

отклоняться, если 1 < ^4 — y^j 5 или 5 > 7/16, а второй не будет отклоняться, если 1 < I 3 — 4г 15 или 5 > 7/9. Итак, как мы отмечали, имеет место следующее уточнение: если в базовой игре G есть несколько равновесий по Нэшу, то может существовать СПРН в повторяющейся игре G(T) такое, что для любого t < Т исход шага t не является равновесием по Нэшу. В бесконечно повторяющихся играх справедлив более сильный результат: даже если в базовой игре G есть единственное равновесие по Нэшу, то может существовать СПРН бесконечно повторяющейся игры, в которой никакой «по-шаговый» исход не будет равновесием по Нэшу.

Итак, рассмотрим вариант «Дилеммы Заключенного», повторяющейся бесконечно, причем для любого t исходы t — 1 предыдущего шага игры известны до начала разыгрывания шага t:

L2 R2 Li MM) (5,0) \ Кг \ (0,5) (4,4) У

Разумеется, в бесконечном случае уже без дисконтирующего множителя не обойтись.

Определение 2.5.2. Если 8 — коэффициент дисконтирования, то приведенная стоимость бесконечной последовательности выигрышей 7Ti, ТГ2, ? ? ? есть

оо t=1

Мы покажем, что в нашем варианте «Дилеммы Заключенного» «кооперация» (Ri,R2) на каждом шаге может быть СПРН бесконечно повторяющейся игры (хотя единственный равновесный исход в базовой игре — это (Li, L2)). А именно, если игроки кооперируются сегодня, то они кооперируются и завтра, и т.д., а в противном случае они играют «плохое» равновесие.

Предположим, что игрок г начинает игру, кооперируясь, и продолжает так только и если только оба игрока кооперировались на любом предыдущем шаге. Формально его стратегия описывается следующим образом:

Играть Ri на 1-м шаге. На шаге t, если все предыдущие t—1 исхода были (R\, R?) , играть Ri; в противном случае играть Li .

Это так называемая триггерная стратегия (стратегия переключения). Если игроки придерживаются этой стратегии, то в бесконечно повторяющейся игре равновесным исходом будет (Ri, R2) на каждом шаге30.

Мы вначале покажем, что если S достаточно близко к 1, то это есть равновесие по Нэшу в бесконечно повторяющейся игре для обоих игроков, придерживающихся этой стратегии. А затем покажем, что это СПРН.

Чтобы показать, что это есть равновесие по Нэшу в бесконечно повторяющейся игре, предположим, что г-й игрок использует триггерную стратегию, и покажем, что если 5 достаточно близко к 1, то для j-го игрока лучшим ответом будет тоже применять такую стратегию. Так как игрок i будет играть Li всегда, как только на каком-то шаге исход отличается от (i?i,i?2), то лучшим ответом j-ro будет тоже играть Lj всегда после нарушения (i?i,i?2)- Т.е. осталось определить лучший ответ j-ro игрока на 1-м шаге и на всех шагах таких, что все предыдущие были (Ri, R2) ? Игра Lj даст 5 на этом шаге, но переключит на «некооперативное поведение» игрока i (а значит и j) навсегда. Следовательно, на любом будущем шаге выигрыш будет 1; так как 1 + 5 +52+ •••+••• = 1/(1 — 5) , то приведенная стоимость последовательности выигрышей есть 5 + 5 + 52 + -- - = 5 + уз^ .

С другой стороны, ответ Rj дает выигрыши 4 и аналогичный выбор между Lj и Rj на следующем шаге. Пусть V — приведенная стоимость выигрыша j -го игрока, если он играет оптимально. Если игра Rj оптимальна, то V = 4 + 5V . Следовательно,

" = тЬ-

Если Lj оптимальна, то V = 5 + у^ , следовательно, Rj оптимальна в том и только в том случае, если

4 ^ г 5 с ^ 1

> 5 Н или о >

1-5 ~ 1-5 ~ 4

Пусть теперь G — игра с полной информацией, в которой игроки одновременно выбирают ходы. Если дана базовая игра G, то G(оо, 5) — это бесконечно повторяющаяся игра, в которой G повторяется всегда и у игроков общий коэффициент дисконтирования 5 . Для любого t исходы предыдущих t—1 шагов наблюдаются до начала шага t. Выигрыш каждого игрока — приведенная стоимость его выигрышей.

Как хорошо известно, в любой игре стратегия — полный план действия. В статической игре с полной информацией — это просто ходы. В динамике, разумеется, все сложнее. Скажем, в двухшаговой «Дилемме Заключенного» стратегию можно записать как пятерку (v, w, х, у, z): v — на 1-м шаге;

w — ходить w , если исход был (L\, L2) ; х — ходить х , если — (L\, R2) ; у — ходить у , если — (Ri, L2) ; z — ходить z , если — (Ri, R2) ?

Это можно представить себе, как набор команд агентам: 1-й ходит на первом шаге, 2-й — на втором и т. д. В повторяющейся игре G(T) или G(00, 5) история игры до шага t — это «запись» ходов игроков до шага t. В конечно повторяющейся игре G(T) или бесконечно повторяющейся игре G(00, 5) стратегия игрока описывает действие игрока, которые он предпринимает на каждом шаге, для любой возможной истории. (В этом смысле история соответствует информационному множеству: каждая история приводит к вполне определенному информационному множеству (одноточечному), а каждому информационному множеству (одноточечному) соответствует вполне определенный путь (история), который приводит именно к этому информационному множеству.)

Для конечно повторяющейся игры G(T) под-игра, начинающаяся на шаге t-\-1, — это конечно повторяющаяся игра, в которой G разыгрывается Т — t раз и которая обозначается G(T — t) .

В G(oo,S) каждая под-игра, начиная с шага t + 1, идентична G(oo,S). Игр, начинающихся с ?+1, столько же, сколько историй. Разумеется, каждая под-игра осмысленна вместе с предысторией.

Таким образом, здесь, как и ранее, равновесие по Нэшу является СПРН, если соответствующие стратегии игроков образуют равновесие по Нэшу в любой под-игре.

СПРН является уточнением равновесия по Нэшу в том смысле, что стратегии игроков должны, во-первых, образовывать равновесие по Нэшу, а кроме того, «выдерживать» дополнительный тест — в под-играх.

Вернемся к «Дилемме Заключенного» и к триггерной стратегии, рассмотренной выше. Здесь все под-игры можно разбить на 2 группы: (1)

под-игры, в которых все исходы предыдущих шагов были (RI,R2), И (2)

под-игры, в которых хотя бы один из предыдущих исходов был не (R\, R2) ?

Если игроки используют триггерную стратегию во всей игре, то 1) стратегии игроков в под-игре первой группы тоже оказываются триггерными стратегиями, которые формируют равновесие по Нэшу во всей игре; 2) стратегии игроков в под- игре второй группы просто «навечно» повторяют «пошаговое» равновесие (?1,^2)> которое также является равновесием во всей игре. Поэтому равновесие по Нэшу в триггерных стратегиях является СПРН.

5

4

1 1 4 5

Рис. 21.

Набор выигрышей ..., хп) называется достижимым в базовой игре G, если он является выпуклой комбинацией выигрышей в ситуациях в чистых стратегиях игры G . На рис. 21 изображено множество достижимых выигрышей в «Дилемме Заключенного» — это параллелограмм.

Средний выигрыш (за период) бесконечной последовательности выигрышей 7Ti, 7Г2,7Гз,... при данном коэффициенте дисконтирования S есть

оо

(1-5)^-4

t=1

Преимущество среднего выигрыша по сравнению с приведенной стоимостью в том, что средний выигрыш непосредственно можно сравнивать с пошаговыми выигрышами. В рассмотренном нами варианте «Дилеммы Заключенного» оба игрока могут получать выигрыш 4 в каждом периоде. Такая последовательность выигрышей дает средний выигрыш 4, а приведенную стоимость 4/(1 — S) . С другой стороны, средний выигрыш — это просто приведенная стоимость с некоторым множителем; максимизация среднего выигрыша эквивалентна максимизации приведенной стоимости.

Мы можем сформулировать теперь знаменитую теорему, которая носит название народной (фольклорной) — Folk Theorem, которая столь хорошо известна специалистам, что ее авторство считается «народным», хотя, по-видимому, первым ее для СПРН доказал Джеймс Фридман.

Теорема 2.5.1. (Friedman, 1971). Пусть G конечная, статическая игра с полной информацией. Пусть (ei,..., еп), выигрыши в состоянии равновесия по Нэшу, и пусть (xi,..., хп) — любой достижимый вектор выигрышей в G . Если Xi > ei для любого i и 8 достаточно близко к 1, то существует СПРН в игре G(oo, S), дающее (xi,...,xn) в качестве среднего выигрыша.

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в учебнике Gibbons (1992). На рис. 19 множество возможных СПРН заштриховано.

Пример. Сговор Курно-дуополистов.

Вспомним статическую дуополию по Курно. Спрос на рынке P(Q) = а — Q , где Q = qi + , Q < а, у фирм постоянные предельные затраты с, и нет фиксированных затрат. В единственном равновесии по Нэшу каждая фирма производит qc = (а — с)/3 . Поскольку суммарный объем в равновесии 2 (а — с)/3 превышает монопольный объем qm = (а — с)/2, обеим фирмам было бы лучше, если бы каждый производил половину монопольного выпуска qi = qmj2 .

Рассмотрим бесконечно повторяющуюся игру, в которой базовая игра — это рассматриваемая дуополия по Курно, причем у обеих фирм общий коэффициент дисконтирования Ь . Мы сейчас вычислим значение Ь , для которых в совершенном «под-игровом» равновесии по Нэшу этой бесконечно повторяющейся игры играется (обеими фирмами) следующая стратегия:

Производить половину монопольного объема, qmj2 , в первом периоде. В периоде t играть qmj2 , если обе фирмы про- изводили qmj2 в каждом из предыдущих t — 1 периодов; в противном случае производить qc.

Прибыль фирмы, когда обе фирмы производят qmj2 , есть (а — с)2/8 , которую мы обозначим через 7гт/2 . Прибыль фирмы, когда обе производят qc, есть (а — с)2/9 , которую мы обозначим 7ГС. Далее, если фирма i собирается производить qmj2 в этом периоде, то объем, максимизирующий прибыль фирмы j , решает задачу 1

яз к ±J 2

max(a - q3 - -qm - c)qy Решением этой задачи является qj = 3^ag ^ с соответствующей прибылью тт^ = ? Таким образом, ситуации, в которых фирмы играют триггерную стратегию, приведенную выше, являются равновесием по Нэшу, если

1 1 5

Km > Kd + -7ГС.

_9_ 17 '

Подставляя тгт , тгс, тг^ , получаем S >

2.6. Задачи

1. Предположим, что родитель и ребенок играют в следующую игру. Сначала ребенок выбирает действие А , которое приносит ему доход 1С(А) и доход для родителя 1р(А) . Далее, родитель наблюдает доходы /с и 1р и затем выбирает награду В для ребенка. Функция выигрыша ребенка U{Ic-\-B) , родителя— V(Ip — B)-\-kU(Ic-\-B) , где к > 0 отражает «родительское участие в благополучии ребенка». Допустим, что действие ребенка — это выбор неотрицательного числа А > 0 ; функции доходов строго вогнуты 1С(А) и 1р(А) и достигают максимумов при Ас > 0 и Ар > 0 соответственно. Награда В может быть положительной или отрицательной; функции

1 — 52 " 1-5"с

полезности U и V возрастающие и строго вогнуты. Докажите, что обратная индукция дает следующий исход: ребенок выбирает действие, которое максимизирует семейный совокупный доход, 1С(А) + 1р(А) . 2.

Допустим теперь, что родитель и ребенок играют в другую игру. Пусть доходы /с и 1р фиксированы экзогенно. Во-первых, ребенок решает, сколько из дохода /с сохранить для будущего (S), потребляя остаток (Ic — S) сегодня. Во-вторых, родитель наблюдает выбор ребенка S и выбирает награду В . Выигрыш ребенка — это сумма текущей и будущей полезности: Ui(Ic — S) + U2(S + В) . Выигрыш родителя: V(1р - В) + k[U1(Ic - S) + U2 (S + В)] . Допустим, что функции полезности U\ , U2 , V возрастающие и строго вогнутые. Показать, что исход обратной индукции следующий: ребенок сохраняет слишком мало, чтобы побудить родителя оставить большую награду (т.е. обе функции выигрыша родителя и ребенка могут быть увеличены, если S будет выбрано больше, а В выбрано меньше). 3.

Допустим, что игроки в бесконечной игре торга по Рубинштейну имеют различные дисконтирующие множители и 82 для первого и второго игрока соответственно. Показать, что обратная индукция дает следующий результат: игрок 1 предлагает соглашение

1-й S2(l-

1*2 )

игроку 2 , и тот принимает его.

4. Рассмотрим олигополию по Курно с 3 участниками и обратной функцией спроса P(Q) = а — Q , где Q = Ч\ + Ч2 + <7з и 4i — объем продукции, произведенной фирмой i. Каждая фирма имеет постоянные предельные затраты с и не имеет фиксированных затрат. Фирмы выбирают объем производства следующим образом:

(1) фирма 1 выбирает q\ > 0 ; (2) фирмы 2 и 3 наблюдают qi и затем одновременно выбирают q2 и дз соответственно. Что является совершенным под-игровым исходом в этой игре?

5. Допустим, что профсоюз является единственным поставщиком труда во все фирмы в олигополии (например, Объединенные рабочие автомобильной промышленности имеются в General Motors, Ford, Chrysler и т.п.). Пусть последовательность ходов будет следующей: (1)

профсоюз устанавливает единую ставку заработной платы w, которую предлагает всем фирмам; (2)

фирмы наблюдают (и принимают) w и затем одновременно выбирают уровень занятости Li для фирмы i; (3)

выигрыши (w — wa)L для профсоюза, где wa — зарплата, которую члены профсоюза могут заработать на альтернативной работе, и L = L\ + L2 + • • -\-Ln — общая занятость в объединенной фирме, и ir(w,Li) — прибыль для фирмы i, которая устанавливается исходя из следующего предположения: все фирмы имеют производственную функцию дг- = Li . Рыночная цена P(Q) = a — Q , где Q = q\ + • • • + qn . Для простоты будем предполагать, что фирмы не имеют никаких других затрат, кроме заработной платы рабочим.

Что является совершенным под-игровым исходом в этой игре? Как (и почему) количество фирм влияет на функцию полезности профсоюза в совершенном под-игровом исходе?

6. Рассмотрим две страны и будем считать, что возможны две ситуации.

В ситуации 1 обе страны устанавливают такие высокие тарифные ставки, что никакой торговли между ними не происходит. В каждой стране зарплата и занятость определяются, как в задаче 5. В ситуации 2 тарифных ставок нет. Каждый профсоюз устанавливает зарплату в своей стране, но каждая фирма производит продукцию для обоих рынков.

Допустим, что в каждой стране обратная функция спроса P(Q) = А — Q . Пусть производственная функция для каждой фирмы будет q = L , поэтому выплаты зарплаты — единственные затраты фирмы, и пусть функция полезности профсоюза будет U(w,L) = (w — WQ)L , где wo — альтернативная заработная плата рабочих.

Найти исход с помощью обратной индукции в ситуации 1.

Теперь рассмотрим следующую игру в ситуации 2. Сначала два профсоюза одновременно выбирают зарплаты, w 1 и W2 . Затем фирмы наблюдают зарплаты и выбирают продукции для домашнего и иностранного рынков, обозначенных hi и ег- для фирмы в стране i. Вся продукция i-й фирмы производится дома, поэтому общие затраты есть гиД/г;+ег-) . Найти совершенное под-игровое равновесие этой игры. Показать, что зарплаты, занятость и прибыль (и поэтому также полезность профсоюза и потребительский излишек) увеличиваются, по мере исчезновения тарифных ставок.

7. Статическая игра с одновременными ходами (см. рис. 22) разыгрывается дважды, причем исход первого шага наблюдается перед началом второго шага. Предположим, что нет дисконтирования. Переменная х > 4, поэтому (4,4) не является равновесным выигрышем в «базовой» игре. Для каких значений х следующая стратегия (сыгранная обоими игроками) будет СПРН? Сыграть Qi на первом шаге. Если исход первого шага {QH Q2) 5 играть Pi на втором шаге. Если на первом шаге исход (у, Q2) , где у ф Q\ , играть Ri на втором шаге. Если на первом шаге исход (Qi, z) , где z ф Q2 , играть Si на втором шаге. Если на первом шаге исход (у, z) , где у ф Qi , z ф Q2 , играть Pi на втором шаге. Р2 Q2 R2 Pi ( (2,2) (ж,0) (-1,0) (0,0) \ Q1 (0,ж) (4,4) (-1,0) (0,0) Ri (0,0) (0,0) (0,2) (0,0) Si V (0,-1) (0,-1) (-1,-1) (2,0) J Рис. 22. 8.

Напомним статическую модель дуополии по Бертрану (с однородными продуктами): фирмы называют цены одновременно; спрос на продукцию i-й фирмы есть a—pi , если pi < pj ; 0 , если pi > pj и (a—pi)/2 , если pi = pj ; предельные затраты с < а . Рассмотрим бесконечную игру, основанную на этой первоначальной статической игре. Покажите, что фирмы могут использовать триггерные стратегии, чтобы поддержать монопольный уровень цен в совершенном под-игровом равновесии по Нэшу тогда и только тогда, когда 5 > ^ . 9.

Игра «Верю-не верю»

Имеется две карты, скажем, «туз» и «шестерка». Играют два игрока. Сначала игрок 1 наугад выбирает одну карту и не показывает ее игроку 2. Если игрок 1 вынул «туза», то он говорит об этом игроку 2 и требует выигрыш 1$. Если игрок 1 вынул «шестерку», то у него имеется две возможности: обмануть игрока 2, сказав, что у него «туз», и потребовать 1$ или признаться, что у него шестерка, и тогда уплатить 1 $ игроку 2.

Если игроку 2 предлагают 1$, то он принимает его. Если же у игрока 2 требуют 1$ , то он либо верит, что у противника «туз» и отдает 1$ , либо не верит и просит показать карту. В этом случае, если у игрока 1 действительно был «туз», игрок 2 выплачивает 2$ игроку 1 (за то, что зря сомневался). Если же у игрока 1 оказалась «шестерка», то наказанием за обман является выплата им 2$ игроку 2.

Представьте позиционную и нормальную формы этой игры и найдите равновесие по Нэшу. 10.

Игра «Четное-нечетное»

Первый ход: игрок 1 выбирает одно из чисел {1,2}. Второй ход (случайный): бросают монету, если выпал «Орел», то второму игроку сообщают, что выбрал игрок 1. Третий ход: игрок 2 выбирает одно из чисел {3,4}. Четвертый ход (случайный): выбирается случайным образом одно из чисел {1,2,3} с заданными вероятностями 0,4; 0,2; 0,4 соответственно. В результате игры числа, выбранные на первом, третьем и четвертом ходах, складываются и игрок 2 выплачивает полученную сумму игроку 1, если она четная; если же сумма оказалась нечетной, тогда игрок 1 выплачивает ее игроку 2.

Представьте позиционную и нормальную формы игры. Найдите равновесие по Нэшу в смешанных стратегиях. 11.

Найдите совершенное под-игровое равновесие в следующей игре, известной под названием «Сороконожка». 12.

Следующая игра с одновременными ходами разыгрывается дважды, причем исход первого розыгрыша известен до начала второго розыгрыша:

L С R

Т / (3.5,2.5) (1,1) (3,2)

М (3,2) (5,5) (2,6)

В V (2,3) (6,2) (4,4)

Могут ли выигрыши (5,5) достигаться на первом шаге в совершенном равновесии по Нэшу в чистых стратегиях? Ответ поясните.