2.3. Совершенное под-игровое равновесие по Нэшу

Рис.

Нормальная форма игры с одновременными ходами (после входа Е) есть (рис.10):

I

Война Нет

(-3,-1) (1,-2)

воина

нет

(-2,-1) (3,1)

Рис. 10.

Е

В ней равновесие по Нэшу — это (НЕТ, НЕТ). Нетрудно проверить, что в исходной игре есть 3 равновесия по Нэшу в чистых стратегиях ( ае, )'?

((нет; принять если вход), (война, если Е входит)); ((нет; война, если вход), (война, если Е входит)); ((вход; принять если вход), (принять, если Е входит)). Первые две стратегии для Е не кажутся очень разумными, но стратегии — это, по определению, полный план.

Заметим, что (принять, принять) — единственное р.Н. в игре с одновременными ходами. Поэтому естественно ожидать, что обе фирмы сыграют «принять», следуя за входом Е . Но если это так, то фирма Е должна входить. Поэтому логика последовательной рациональности говорит, что только последнее равновесие должно быть разумным предсказанием. Итак, перейдем к формальным определениям.

Определение 2.3.1. Под-игрой27 игры Г^; в позиционной форме называется такое поддерево дерева исходной игры, что: (1)

его начальная вершина — одноточечное информационное множество и оно содержит все последующие (непосредственно и далее) за ней вершины и только их; (2)

если вершина х лежит в под-игре, то все вершины х' ? Н(х) тоже лежат в этой под-игре, где Н(х) — информационное множество, содержащее х .

На рис. 11 две под-игры — сама игра и игра с одновременными ходами. Обведенная пунктиром часть дерева не является под- игрой.

Заметим, что в игре с совершенной информацией каждая вершина (кроме терминальной) инициирует иод-игру.

Легко видеть, что в соответствии с определением стратегий в позиционной игре любая стратегия игрока в позиционной игре индуцирует его стратегию в под-игре.

является сужением исходной стратегии на информационные множества игрока, оказывающиеся в под-игре.

Определение 2.3.2. Ситуация (набор стратегий) а = (<7i,.. ., ап) в игре в позиционной форме Г^; называется совершенным (под-игровым) равновесием по Нэшу, если она индуцирует равновесие по Нэшу в каждой под-игре.

Нетрудно заметить, что в приведенном примере первые два набора стратегий не являются СПРН, так как не индуцируют р.Н. в пост-входной игре.

Далее мы для краткости будем писать СПРН вместо «совершенное под-игровое равновесие по Нэшу»28. Ясно, что СПРН является р.Н., но не каждое р.Н. является СПРН29.

В конечных играх с совершенной информацией множество СПРН совпадает с множеством р.Н., которые могут быть получены с помощью обратной индукции.

Предложение 2.3.1. В любой конечной игре с совершенной информацией Г^; существует СПРН в чистых стратегиях.

Если все выигрыши всех игроков различны в любых двух терминальных вершинах, то оно единственно.

Для определения множества СПРН в общей (конечной) динамической игре Г^ процедура обратной индукции может быть обобщена следующим образом: 1.

Начинаем с конца дерева игры и определяем равновесия по Нэшу для каждой из «концевых» под-игр, т. е. под-игр, не имеющих собственных под-игр. 2.

Выбираем одно из равновесий по Нэшу в каждой из этих «концевых» под-игр и рассматриваем редуцированную игру, в которой эти «концевые» под-игры заменяются выигрышами, получающимися в этих под-играх, когда игроки используют эти равновесные стратегии. 3.

Повторяем шаги 1 и 2 для редуцированных игр. Продолжаем эту процедуру до тех пор, пока не будут определены все ходы в игре Г^;. Набор ходов в каждом из информационных множеств игры Г^; образует СПРН. 4.

Если ни на одном из шагов процесса не возникала множественность равновесий по Нэшу, то полученное СПРН единственно. Если же множественность равновесий имела место, то множество всех СПРН получается с помощью повторения этой процедуры для каждого возможного равновесия, возникающего в рассматриваемых иод- играх.

Предложение 2.3.2.

если а — СПРН в YE , то набор а, приписывающий ходы в соответствии с as в информационных множествах из S и ходы в соответствии с а в информационных множествах вне S, является СПРН в Г^; .

Доказательства этих предложений можно найти, например, в учебнике Mas-Colell, Whinston, Green.

Рассмотрим модификацию нашего примера. Предположим, что есть две части рынка, две ниши — малая ниша (м.н.) и большая ниша (б.н.) (см. рис. 12).

Рис. 12.

Чтобы найти СПРН, рассмотрим вначале «пост-входную» под-игру. Здесь два равновесия по Нэшу в чистых стратегиях (б.н., м.н.) и (м.н., б.н.).

В любом СПРН в этой иод-игре должно индуцироваться одно из этих равновесий по Нэшу. Предположим сначала, что фирмы играют (б.н., м.н.), а следовательно, редуцированная игра будет иметь вид, изображенный на рис. 13. В этом случае Е выбирает входить, следовательно, СПРН — это ( ое , и/) = ((вход, б.н.), (м.н., если Е вошла)).

Во втором случае редуцированная игра представлена на рис. 14: Е

не вх

вх.

1 -1

Рис. 13.

Е

-1 1

Рис. 14. Следовательно, СПРН (ад , ст/ )= ((не вх., м.н.), (б.и., если Е вошла).

Разумеется, как всегда, не все так просто и с СПРН. Рассмотрим следующую игру (Rabin, 1988) (рис.15).

Рис. 15.

В «координационной игре» с одновременными ходами между 1 и 3 игроками три равновесия по Нэшу: два в чистых стратегиях, приводящих к выигрышам (7,10,7), и равновесие в сме-

шанных стратегиях, дающее выигрыши (3.5, 5, 3.5). Если мы выбираем равновесие, в котором игроки 1 и 3 успешно координируются, то игрок 2 играет L , а игрок 1 — R, ожидая выигрыш 7. Если же мы выбираем неэффективное равновесие в смешанных стратегиях, то игрок 2 сыграет R , а 1 — снова L , ожидая выигрыш 8. Поэтому во всех СПРН игрок 1 играет R.

Но, ... тем не менее игроку 1 будет осмысленно сыграть L , если он не увидел возможности координации на 3-м шаге, а поэтому ожидает выигрыш 3^ , но опасается того, что игрок 2 может верить, что при игре на 3-м шаге будет достигнуто эффективное равновесие.

Суть здесь в том, что «иод-игровое совершенство» предполагает не только, что игроки ожидают р.Н. во всех под-играх, но также и что все игроки ожидают одно и то же равновесие.