16.2.4 Равновесие по Нэшу

Кроме ситуаций, рассмотренных в предыдущем разделе, бывают ситуации , которые естественно моделировать, исходя из следующих предположений:

игроки при принятии решений ориентируются на предполагаемые действия партнеров;

ожидания являются равновесными (совпадают с фактически выбранными партнерами действиями).

Если считать, что все игроки рациональны, так что каждый выбирает стратегию, дающую ему наибольший выигрыш при данных ожиданиях, то эти предположения приводят к концепции решения, называемой равновесием Нэша.

Формально равновесие Нэша определяется следующим образом.

Определение 90:

Набор стратегий x * ? X является равновесием Нэша , если

1) стратегия x* каждого игрока является наилучшим для него откликом на ожидаемые им стратегии других игроков x^:

Uj(x*, xlj) = max "j(xj, xlj Vi = 1,..., n;

XiGXi

2) ожидания совпадают с фактически выбираемыми стратегиями:

x-j = x-j Vi = 1,..., n

Заметим, что при использовании равновесия Нэша для моделирования игровых ситуаций вопросы о том, знают ли игроки цели партнеров, знают ли они о рациональности партнеров, умеют ли их просчитывать, и т. д., отходят на второй план. Способ формирования ожиданий выносится за рамки анализа; здесь важно только то, что ожидания являются равновесными.

Но если при анализе равновесия Нэша не важно, знает ли игрок цели других игроков, то может возникнуть сомнение в правомерности рассмотрения концепции Нэша в контексте игр с полной информацией. Все дело в том, что термин "полная информация" в теории игр имеет довольно узкое значение. Он фактически подразумевает только полноту сведений о типах партнеров (термин "тип игрока", разъясняется в параграфе, посвященном байесовским играм).

Как легко видеть, приведенное определение равновесия Нэша эквивалентно следующему свойству, которое обычно и используется в качестве определения:

Набор стратегий x* ? X является равновесием Нэша, если стратегия x* каждого игрока является наилучшим для него откликом на стратегии других игроков x j:

uj(x*, x*j) = max uj(xj, x*j) Vi = 1,..., n

XiGXi

Это свойство можно также записать в терминах так называемых функций (отображений) отклика.

Определение 91:

Отображение отклика i-го игрока,

Rj : X-j м- Xj

сопоставляет каждому набору стратегий других игроков, x- ? X- , множество стратегий i-го игрока, каждая из которых является наилучшим откликом на x-j.

Uj (y, x-j) = max Uj (xj, x-j) Vx-j ? X-j, Vyj ? Rj (x-j)

XiGXi

Введение отображений отклика позволяет записать определение равновесия Нэша более компактно: набор стратегий x ? X является равновесием Нэша, если

x* ? Rj(x-j) Vi = 1,... ,n

Если отклик каждого игрока однозначен (является функцией), то множество равновесий Нэша совпадает с множеством решений системы уравнений:

X* = Rj(x-j) Vi = 1,..., n.

В Таблице 16.8 отображения отклика игроков изображены подчеркиванием выигрышей, соответствующих оптимальным действиям. Равновесие Нэша в данной игре - клетка (B, Y), поскольку выигрыши обоих игроков в ней подчеркнуты.

Проиллюстрируем использование функций отклика на примере игры, в которой игроки имеют континуум стратегий.

. Объем торговли между

Игра 5. "Международная торговля" Две страны одновременно выбирают уровень таможенных пошлин, Tj странами , x, зависит от установленных пошлин как

x = 1 - Ti - т2

Цель каждой страны - максимизировать доходы

uj - Tjx.

М

Максимизируем выигрыш 1-й страны,

Ti(1 - Ti - T2)

по Ti считая фиксированным уровень пошлины, установленный 2-й страной. Условие первого порядка имеет вид

1 - 2TI - T2 = 0

Поскольку максимизируемая функция строго вогнута, то условие первого порядка соответствует глобальному максимуму.

Условие первого порядка для задачи максимизации выигрыша 2-й страны находится аналогично:

1 - Ti - 2т2 = 0

Решив систему из двух линейных уравнений, найдем равновесие Нэша:

Ti* = T2* = 1/3

Оптимальный отклик 1-й страны на уровень таможенной пошлины, установленной 2-й страной описывается функцией

1 - T2 Ti (т2) = -2~

Аналогично, функция отклика 2-й страны имеет вид

T2(T1) = 1-2Ti

Чтобы найти равновесие Нэша, требуется решить систему уравнений

Ti(T2* )= Ti*, T2(Ti* )= T2*.

Графически поиск равновесия Нэша показан не Рис. 16.3. Точки, лежащие на кривых оптимального отклика Ti(T2) и T2(Ti), характеризуются тем, что в них касательные к кривым безразличия игроков параллельны соответствующей оси координат.

Преимущество использования концепции равновесия Нэша состоит в том, что можно найти решение и в тех играх, в которых отбрасывание доминируемых стратегий не позволяет этого сделать. Однако сама концепция может показаться более спорной, поскольку опирается на сильные предположения о поведении игроков.

Связь между введенными концепциями решений описывается следующими утверждениями.

МТ2

1 3

1 2

1

1 3

1 2

1

Рис. 16.3. Равновесие Нэша в игре "Международная торговля"

Теорема 151:

Если x * = (ж|,... - равновесие Нэша в некоторой игре, то ни одна из составляю

щих его стратегий не может быть отброшена в результате применения процедуры последо- J

вательного отбрасывания строго доминируемых стратегий. Обратная теорема верна в случае единственности. Теорема 152:

Если в результате последовательного отбрасывания строго доминируемых стратегий у каждого игрока остается единственная стратегия, x*, то x * = (ж1,...,ж^) - равновесие J

Нэша в этой игре. Доказательства этих двух утверждений даны в Приложении B (с. 641). Нам важно здесь, что концепция Нэша не входит в противоречие с идеями рациональности, заложенной в процедуре отбрасывания строго доминируемых стратегий.

По-видимому, естественно считать, что разумно определенное равновесие, не может быть отброшено при последовательном отбрасывании строго доминируемых стратегий. Первую из теорем можно рассматривать как подтверждение того, что концепция Нэша достаточно разумна. Отметим, что данный результат относится только к строгому доминированию. Можно привести пример равновесия Нэша с одной или несколькими слабо доминируемыми стратегиями (см. напр. Таблицу 16.11 на с. 652).