1.6. Равновесие по Нэшу

Определение 1.6.1. Набор стратегий s = (si,.. ., sn) образует равновесие по Нэшу (или ситуация s = (si,..

щ(.зг, s_i) > ut(s't, s_i) V s't e Si.

Иными словами, если игрок в одиночку решает отклониться от выбранной стратегии, то он разве лишь ухудшит свое положение.

В ситуации равновесия по Нэшу выбранная каждым игроком стратегия является лучшим ответом на стратегии, действительно «играемые» соперниками. В этом принципиальное отличие от рационализируемое™, которая следует из общего знания о рациональности друг друга и структуры игры и требует только, чтобы стратегия игроков была лучшим ответом на некоторую разумную гипотезу о том, что его противник будет играть, причем под разумностью понимается, что гипотетическая игра его противников может быть также оправдана. Равновесность по Нэшу добавляет к этому требование того, чтобы игроки были правы в своих гипотезах. (Далее мы для краткости будем писать р.И. для обозначения равновесия по Нэшу.)

Разумеется, полученные нами ситуации в рассмотренной ранее «Дилемме Заключенного» (во всех ее вариантах) являются равновесными по Нэшу.

Пример. «Семейный спор». Этот пример также относится к числу традиционных примеров, различные вариации которого встречаются в большинстве учебников. История примерно такова. Он и Она независимо (мы оставляем в стороне вопрос о разумности или неразумности подобной постановки вопроса) решают, куда пойти — на балет (Б) или футбол (Ф). Если они вместе пойдут на футбол, то Он получит больше удовольствия, чем Она; если они вместе пойдут на балет, то — наоборот. Наконец, если они окажутся в разных местах, то они не получат никакого удовольствия.

ОНА Ф Б Ф / (2,1) (0,0)

°Н Б V (0,0) (1,2)

Рис. 19.

Легко видеть, что здесь есть 2 равновесия по Нэшу в чистых стратегиях — (Ф,Ф) и (Б,Б). Мы увидим ниже, что в этой игре есть еще одно равновесие по Нэшу — в смешанных стратегиях.

Пример. Рассмотрим следующую игру (рис.20): 1 то г и ( (5,3) (1,4) (3,5) м (4,2) (5,5) (4,1) D V (3,5) (2,7) (5,3) Рис. 20.

Ясно, что здесь набор стратегий (М, то) образует равновесие по Нэшу. Если игрок 1 выбирает М , то у 2-го лучший ответ — той наоборот.

Пример. Вернемся к примеру, касавшемуся рациона- лизуемости (рис. 16). В нем существует единственная (даже если разрешены смешанные стратегии) ситуация равновесия по Нэшу — ( «2 , ).

Этот пример иллюстрирует общее взаимоотношение между р.Н. и рационализуемыми стратегиями. Каждая стратегия, являющаяся частью р.Н., рационализуема, поскольку каждая стратегия игрока в ситуации р.Н. может быть «оправдана» равновесными стратегиями других игроков. Таким образом, равновесие по Нэшу предсказывает как минимум не хуже, чем рационализуемость, впрочем, очень часто эти предсказания оказываются значительно более «четкими». Очень удобно следующее переопределение равновесия по Нэшу. Введем следующее многозначное отображение «лучших ответов» bi : S-i —> Si (в игре Г ):

= {s; G Si : щ(.зг1 s_8) > щ(.з'г1 s_8) V s' G Si}.

Тогда ситуация (si,..., sra) является равновесием по Нэшу в игре Г , если G V г = 1, . . ., п .

Что же можно сказать по поводу того, а почему собственно нам нужно заниматься р.Н.? На самом деле это один из проблемных вопросов теории игр, несмотря на очень широкое использование р.Н. (1)

Равновесие по Нэшу как последовательность рациональных выводов (умозаключений). Хотя это часто используется в качестве довода, тем не менее мы видим, что следствие общего знания — это необходимость играть рационализируемые стратегии. Рациональность не обязательно ведет к правильности предсказания. (2)

Равновесие по Нэшу как необходимое условие, если есть единственный предсказуемый исход игры.

Фокальные точки. Иногда случается так, что определенный исход является тем, что Шеллинг (1960) называет фокальным исходом (2-х человек просят независимо назвать какое-то место встречи, и если их выбор совпадет, то они получают выигрыш). Это, конечно, явный кандидат, но только если он р.Н. (4)

Равновесие по Нэшу как самофорсирующее соглашение. Если игроки перед игрой имеют возможность предварительных необязывающих переговоров, и если они соглашаются на какой-то исход, то это, конечно, очевидный кандидат. Чтобы он стал самофорсирующим, нужно, чтобы он был р.Н. Хотя даже, если они договорились играть р.Н., они все равно могут отклониться, если ожидают, что другие могут тоже уклониться. (5)

Рановесие по Нэшу как устойчивое социальное соглашение. Определенный способ играть в игру может возникнуть во времени, если игра разыгрывается повторно и появляется некоторое устойчивое социальное соглашение. Если это так, то для игроков может быть «очевидным», что это соглашение будет поддерживаться. Это соглашение становится, так сказать, фокальным.

Более подробное обсуждение этой проблематики можно найти, например, в учебнике Mas-Colell, Whinston, Green.

Пример. Аукцион второй цены. В п. 1.4 мы показали, что стратегия назначения своей цены (s8- = Vi) слабо доминирует все остальные стратегии. Оказывается (см., например, Moulin, 1986), что в этой игре много равновесий по Нэшу. Точнее, для любого игрока i и для любой заявки s такой, что 0 < s < Vi существует по крайней мере одно равновесие по Нэшу, при котором игрок i платит s и получает товар.

Действительно, выберем i ? I, зафиксируем s ? (0, uj и положим:

х* = max Vi + 1,

8 lх* = s V j ф i.

Тогда x* = ..., x*a) — равновесие по Нэшу.

В этом случае единственная возможность отклониться у игрока i — это уступить товар кому-либо другому, получая в этом случае нулевой выигрыш. Единственная возможность игрока j , j ф i — это получить товар, заплатив цену х* , превосходящую Vj , получая тем самым отрицательный выигрыш.