1.10. Равновесие «дрожащей руки»

L R U ( (2,2) (0,-2) \ D \ (-2,0) (0,0) )

Рис.

Мы остановимся сейчас на понятии совершенного равновесия (по Нэшу) «дрожащей» руки игры в нормальной форме16, определение которого восходит к работе Рейнхарда Зельтена17 (Selten, 1975). Такое равновесие «выдерживает» возможность того, что с некоторой очень небольшой вероятностью игроки делают ошибки (грубо говоря, «дрожащей рукой» не попадая на нужные кнопки).

Для произвольной игры в нормальной форме Г = {/, (?«•), (Ui)} можно определить «возмущенную» игру Ге = {/,(??), (иг-)}, выбирая для каждого игрока i и каждой чистой стратегии G Si числа G (0,1)

так, что eS Ei(si) < 1, и затем, определяя множество «возмущенных» стратегий как

= {(Ti G : (Ti(si) > ?i(si) для всех st G Si и

Y^ = ii-

s.es,

Иными словами, в игре Ге каждый игрок i играет каждую свою стратегию с вероятностью не меньшей, чем некоторая минимальная вероятность , которая интерпретируется

как неизбежная вероятность сыграть по ошибке.

Определение 1.10.1. Равновесие по Нэшу а в игре (в нормальной форме) Г = {/, (S8), (ui)} называется равновесием «дрожащей руки», если существует такая последовательность возмущенных игр {Гед.}^1 , сходящихся к Г (в том смысле, что lime^(s8) = 0 для любых i G I и Si G Si), что существует последовательность равновесий (в соответствующих играх Гед. ) {(Tk}k11 , сходящаяся к а, т. е. lim ak = а .

Таким образом, рассматриваемые равновесия — это те равновесия по Нэшу, которые «выживают» при возможных ошибках.

Заметим, что в определении требуется лишь существование возмущенных игр18, имеющих равновесия, близкие к о .

Предложение 1.10.1. (Selten, 1975). В смешанном расширении любой игры Г = {/, {Si}, (иг)} с конечными множествами стратегий S\,..., Sn существует равновесие «дрожащей руки».

Предложение 1.10.2. (Selten, 1975). Равновесие по Нэшу а в игре в нормальной форме Г = {/, (?г-), (иг)} является совершенным равновесием «дрожащей руки» (в игре в нормальной

форме) тогда и только тогда, когда существует последо-

h /

вательность таких вполне смешанных стратегии а (т.е. стратегий, в которых все чистые стратегии играются с положительными вероятностями), что ак —> а и Oi являет-

х—>0

ся лучшим ответом на любой элемент последовательности {(Тк_г}^=1 для любого i = 1,... ,п .

Предложение 1.10.3. (Selten, 1975). Если а = (<7г-,.. .,сгп) —

совершенное равновесие «дрожащей руки» (в игре в нормальной форме), mo Ui не является слабо доминируемой ни для какого i = 1,... ,п .

Легко видеть, что набор стратегий (D, R) в приведенном в начале этого раздела примере, не является совершенным равновесием «дрожащей руки».