7.2. Модель с переменной отдачей
Решение задачи распределения затрат (/, С, х) — это вектор у = (уг')г'?/ , описывающий затраты уг- > 0 каждого агента iei, при этом Y,ieiVi = С(Еге/жг) .
Задача распределения излишка представляет собой тот же математический объект, что и задача распределения затрат, хотя ее интерпретация несколько иная: заданную функцию обозначим через F, и теперь она — производственная функция; если суммарный вклад есть z , то суммарный выпуск есть
F(z); далее жг- — это вклад агента i, а уг- — доля агента i в суммарном выпуске F(xj) .
Метод распределения затрат (соответственно метод распределения излишка) — это отображение ip , ставящее в соответствие каждой задаче распределения затрат (соответственно распределения излишка) решение у = (р(1, С, х).
Обозначим через М множество методов распределения затрат.Мы будем далее, как правило, считать множество I фиксированным, поэтому если это не вызовет недоразумений, мы будем опускать I, т.е. у = (р(С, х), или у = <~р{С) (ж).
Рассмотрим следующую аксиому.
Аксиома постоянной отдачи: если C(z) = Аг для любого z > 0 , то ?>(/, С, х) = Хх для любых I, А > 0 , С и х .
Простой пример задачи распределения затрат с возрастающей отдачей (убывающими средними затратами) дает дисконтное ценообразование. Агенты в I могут купить некий продукт по цене р\ в магазине розничной продажи либо в отдаленном оптовом магазине по более низкой цене р2 , правда, в этом случае появляются дополнительные фиксированные транспортные затраты со . Поэтому функция затрат имеет вид:
C{z) = min{pi2:, c0+p2z}.
Если суммарный спрос ж/ говорит о целесообразности покупки в оптовом магазине (если ж/ > р1°°р2 ), то естественно встает вопрос о том, каким образом следует распределить суммарные затраты между покупателями?
Следующий пример — это случай возрастающих средних затрат (убывающая отдача).
Предположим, что I — это все потребители некоторого товара (I — монопсонист этого товара), предлагаемого конкурентными фирмами. Таким образом, z покупается по цене S*-1^) , где предложение р —> S(p) — возрастающая функция; получающаяся функция затрат C(z) = z ? S~1(z) соответствует убывающей отдаче.В контексте распределения излишка можно указать аналогичные примеры технологий с возрастающей и убывающей от- дачей. Например, агент из I может монополизировать предложение определенного товара, спрос на который конкурентен. Рынок забирает z единиц выпуска при цене D(z) , где D — убывающая функция; следовательно, функция выручки F(z) = zD(z) имеет убывающую отдачу.
Пример с возрастающей отдачей включает фиксированные затраты. Агенты могут использовать технологию с постоянной отдачей г\ без фиксированных затрат либо они могут платить фиксированные затраты со , а выгода от более высокой отдачи г2 , поэтому
F(z) = тах{г!,г, r2(z — со)}.
2. Метод средних затрат. Простейший метод распределения затрат — метод средних затрат ас — распределяет суммарные затраты пропорционально индивидуальному спросу:
(п \ С(Ж/) у = ас(С, ж) = ж
XI
(конечно, если ж/ = 0, должно быть у = 0).
Первый способ аксиоматической характеризации этого метода повторяет аксиоматизацию метода рационирования: аксиомы NAR, IR и IMS дословно переносятся на рассматриваемый случай методов распределения затрат с помощью простой замены ресурсов t на функцию затрат С.
Теорема 7.2.1. Предположим |/| > 3 . Метод средних затрат удовлетворяет аксиомам NAR, IR и IMS, а также обладает следующим свойством:
если Xi = 0, то yi = <~pi(I, С, х) = 0 для любых С, ж и г,
т.е. за нулевой спрос не платят.
(2.1)
Обратно, метод средних затрат является единственным методом распределения затрат, обладающим свойством (2.1) и удовлетворяющим одной (любой) из аксиом NAR, IR или IMS.
Свойство (2.1) иногда называют «отсутствием рога изобилия» (No Free Lunch): вы не получаете ничего из выпуска, если вы не участвуете в производственном процессе, вкладывая в него либо деньги, либо труд.
Рассмотрим теперь еще один способ характеризации метода средних затрат — это некий аналог (правда, значительно более сильный) ресурсной монотонности для методов рационирования.
А именно, рассмотрим следующую аксиому монотонности по затратам: из С1 < С2 следует ср(С2,х) < ср(С2,х) для любых С1, С2 и любых х.
Предложение 7.2.1. (Moulin, Shenker, 1994).
Метод средних затрат характеризуется комбинацией аксиомы постоянной отдачи и монотонности по затратам.Доказательство этого предложения мы приведем, поскольку оно очень короткое и достаточно простое. Зафиксируем С и х . Построим две функции затрат: функцию с постоянной отдачей C(z) = z и функцию D(z) = max{C(z),C(z)} . Применяя аксиому постоянной отдачи, аксиому монотонности по затратам (и бюджетный баланс), последовательно получаем:
С{Х1)
из у <у* = 3. Серийное распределение затрат. Метод средних затрат полностью игнорирует изменение отдачи между 0 и ж/ .
Рассмотрим функцию затрат (с убывающей отдачей):
C{z) = (z- 10) + .
Первые 10 единиц бесплатны, а дополнительный спрос стоит 1 за каждую единицу. Пусть I = {1, 2, 3} и х = (3, 5, 7). Метод
средних затрат дает „ = (l,l§,2|) . Справедливо л., что
агент 1 платит что-то, если он считает, что его справедливая доля из 10 бесплатных единиц есть и что он не потребляет столь много?
Посмотрим теперь на функцию затрат (с возрастающей отдачей):
C'(z) = min< z, 9 Н
v 7 \ ' 10
с х = (3,5,7). Метод средних затрат дает у = (2.1,3.5,4.9), поэтому агент 1 платит меньше, чем его «самостоятельные затраты»5 С(хi) = 3 . Заметим, что первые 10 единиц стоят 1 каждая, а затем цена падает до 0.1 за каждую дополнительную единицу. Здесь уже агенты 2 и 3 могут протестовать против того, что они должны нести ответственность за «достижение» низких предельных затрат, поскольку Зх\ < 10 , и агент 1 не должен получать выгоду от этого. Его справедливая доля была бы 3, потому что отдача постоянна до уровня 3ж1 .
Пусть I фиксировано и |/| = п . В свете предыдущих примеров введем две следующих аксиомы:
Ограничения возрастающих предельных затрат (IMC bounds):
если С выпукла, то С(жг) < у/ = <~Pi(C, х) < для
любых г, х .
Ограничения убывающих предельных затрат (DMC bounds):
Stand Alone Cost.
С (г
если С вогнута, то любых i, х .
~ < Уг = ^ C(nxt)
непосредственно неравенствами уг- < v ' для выпуклой функции затрат и уг- > дЛя вогнутой функции С.
Зафиксируем С и вектор спроса х . с(пх 1 )
затем мы поровну делим затраты на дополнительные единицы между остальными агентами {2,3,..., га}. Теперь агент 2 обслужен, и т.д. (Напомним пример 7 с взлетно-посадочной полосой из п. 6.1.)
Формально определим последовательность хг, i = 1,..., га следующим образом:
Л
хг = (n-i+l)xi + Y^j=1Xj-,
ЖП А". ^
tLJ j •
Заметим, что эта последовательность неубывающая. Доли, соответствующие серийному распределению затрат — это:
С(х64) — С(х1)
_ Cjx1) У1 п '
п-1 '
У2 = Уг +
У
_ ... • С(х')-С(х'-1) — Уг-1 Т „_г'+1
или эквивалентно
С{х1) У1 = га >
= Cfr1)
га —1 га(га — 1) :
n-i+1 = 1 (n-j + l)(n-j) '
В случае га = 2 и га = 3 общие формулы дают га = 2, Ж1 < ж2 : yi = у2 = С(хi + ж2) -
п = 3, xi < х2 < х3 \ yi = \c(3xi), у2 = \c{XI+2X2)-\C{3XI),
3 2 6
Уз = С(ж/) - + 2Ж2) - ^С(3ж1).
2 6
В частности, в приведенных выше численных примерах получаем:
если C(z) = (z — 10), х = (3, 5, 7), то у = (0,1.5, 3.5); если C{z) = min|z, 9 + х = (3, 5, 7), то у = (3, 3.65, 3.85). Предложение 7.2.2. Зафиксируем х так, что х\ = min; Х{
U Хл —— mcLX^ Х^ .
Обозначим метод средних затрат через ас и метод серийных затрат через ser. Тогда:
если С выпукла, то seri(C,x) < aci(C, х) и sern(C,x) > асп(С) х);
если С вогнута, то seri(C,x) > aci(C, х) и sern(C,x) < (.iCji (С*\ x^j.
Предложение 7.2.3. Метод серийных затрат удовлетворяет аксиомам IMC bounds и DMC bounds. Более того, для любой неубывающей функции затрат С (С(0) = 0) он удовлетворяет следующему условию универсальных ограничений:
?^C(xi) = уг = cpi(C, х) < С(пхг).
В заключение этого раздела приведем метод распределения затрат Шепли-Шубнка, введенный М. Шубиком в работе Shubik, 1962. Этот метод определяется следующим образом:
Нетрудно видеть, что этот метод удовлетворяет аксиоме аддитивности: (р{С1 + С2,ж) = ip(Cl,x) + (р(С2,х) для любых функций затрат С1, С2, представимых в виде разности двух выпуклых функций.