7.1. Рационирование

Xi > 0 для любого i ? I О iei

Решением задачи рационирования является вектор у = (yi)iel, описывающий доли агентов уг-, г ? / такие,что

О <уг<хг V г ? / и Е у» =t.

Напомним, в связи с приведенным определением, задачу банкротства, упомянутую нами в разделе 6.1 (пример 6).

Заметим, что задачу рационирования можно естественно интерпретировать как арбитражную схему (см. п. 6.2) с транс- ферабельной полезностью, в которой точка status quo определяется вектором х , а множество допустимых векторов выигрышей представляет собой множество

{z ? IR1 : ^

Метод рационирования г ставит в соответствие каждой задаче рационирования (I,t,x) решение у = r(I,t,x). Мы считаем, что переменные t, ж;, уг- ? и соответствуют делимым ресурсам, требованиям, спросу (неделимость ресурсов и т. д. мы в данной главе не рассматриваем, хотя соответствующие задачи представляют также важный класс задач распределения). Будем обозначать через множество методов рационирования с заданной популяциеи потенциальных агентов, т.е.

Все обсуждаемые ниже методы рационирования обладают следующим свойством ресурсной монотонности (RM — Resource Monotonicity): если t < t , то r(I,t,x) < r(I,t ,x) для любых I, t, t и x . Иными словами, если объем ресурсов увеличивается, то доля ни одного из агентов не должна уменьшиться. В большинстве случаев ресурсная монотонность следует из других аксиом, поэтому она не всегда входит в число аксиом, определяющих тот или иной метод рационирования. Если г — метод рационирования, то полезным оказывается двойственный метод г* , преобразующий выигрыши в проигрыши:

r*(I,t, х) = х — г(/, xj — t, х) для любых I,t,x,

где61 xi = хг ? Для данного х , метод г* распределяет

t единиц «выигрышей» точно таким же способом, каким г распределяет потери xj — t :

y*(t, х) = хг - уг(ж/ -t,x).

2. Пропорциональное рационирование. Метод пропорционального рационирования (proportional rationing) определяется следующим образом:

t

у = pr(I, t,x) = • X ДЛЯ XI У О

XI

(если xi = 0 , то у = 0 ).

Таким образом, пропорциональный метод приписывает равные доли агентам с равным спросом. Помимо этого, он безразличен к именам агентов, а исходит лишь из размера относительного спроса агентов. Формально эти два свойства описываются следующим образом:

Равным агентам — поровну: (ЕТЕ — Equal Treatment of Equals):

из Xi = Xj следует уг- = yj для любых I, t, х и любых

i,j ei.

Симметричность:

у = r(I,t,x) является симметричной функцией переменных Xi, i G / .

Необходимо отметить, что из симметричности следует свойство «равным агентам — поровну».

Возможны различные способы характеризации метода пропорционального рационирования, причем эти способы исходят либо из возможности «слияния» подмножества агентов в одного агента с комбинированным спросом, либо из возможности «разбиения» одного агента на нескольких более мелких агентов. Важным здесь является то, что пропорциональное рационирование «дисконтирует» каждую единицу спроса/требования с помощью одного и того же множителя.

Для произвольного множества агентов I и подмножества S С I через I^ будет обозначаться множество с (|/| — + 1) агентами (здесь и далее 15621 — число агентов в множестве S ), где все агенты из S объединены в единого агента, обозначаемого S* . Например, если I = {1, 2, 3,4, 5} , S = {2, 3, 4} , то /И = {1,5*, 5}, где = {2, 3,4}.

Для любого х G IR+ будем далее обозначать: •

XS = Xi ' •

ж[5] — проекция х на IR^ ;

{Ж ?' . I (г S

[5] _

X —

Иными словами, компонента ж!5], соответствующая объединенному агенту S* , есть сумма требований агентов из S.

Рассмотрим следующие четыре свойства, которые, как оказывается (см. теорему 7.1 ниже), однозначно определяют метод пропорционального рационирования.

Отсутствие преимущественного перераспределения (NAR - No Advantageous Reallocation):

для любых /, S, любого t и любых х, х из = следует rs(I, t, ж) = rs(I, t, ж').

Иными словами, перераспределение индивидуального спроса между агентами из S не меняет суммарную долю этих агентов (аэто делает подобное перераспределение неприбыльным).

Несущественность перераспределений (IR — Irrelevance of Reallocations):

для любых /, S, всех t и любых ж, ж'

из ж^ = следует r-j(I,t, ж) = r-j(I,t, ж') для любых

jei\s.

То есть перераспределение требований не оказывает влияния на агентов, не имеющих отношения к перераспределению.

Независимость от слияния и разделения (IMS - Independence of Merging and Splitting):

для любых I, S, любого t и любого ж

r{I,t, ж)И = r{I^s\t, ж^).

Операция слияния — это переход от I к , а операция разделения — обратное преобразование. Повторное применение IMS дает следующее свойство: если {Ik)кем — разбиение I (т. е. 1к П h' =0 при к ф к' и IJfceM h = I) и ж ж* — отображение «слияния» из IR^_ в IR^ , задаваемое равенством

х*к = xjk для любого к ? М, то rik (/, t, ж) = r(M, t, ж*) для любого к ? М . Следующее свойство обеспечивает более точную декомпозицию метода рационирования.

Декомпозиция (DEC — Decomposition): для любого I и любого разбиения (1у)к'еМ множества I, для любого t, любого х и любого к

r(I,t,x)[Ik] = r(Ik,tk,X[Ik]),

где tk = rk(M,t,x*).

Это позволяет вначале определить доли элементов 1к разбиения, а затем распределять эти доли уже в соответствующих подмножествах агентов.

Теорема 7.1.1.

Доказательство второй части этой теоремы (первая очевидна) можно найти в работе Moulin, 1987. (Заметим, что достаточно просто доказать, что NAR эквивалентно IR, IMS влечет IR и из DEC следует IR.)

3. Равномерные выигрыши и равномерные потери.

Цель этих методов рационирования состоит в выравнивании действительных «выигрышей» уг- и чистых потерь (жг- — уг) между агентами.

Метод равномерных выигрышей ug (Uniform Gains) определяется следующим образом:

Уг = идг(1, t, х) = min{A, хг},

где А — решение уравнения

min{A, Xi} = t.

геI

Метод равномерных потерь ul (Uniform Losses) задается так:

уг = uli(I,t,x) = (хг - д)+, где fj, — решение уравнения

?0* ~ =t

iei

(здесь (xi — fj,)+ = max(0, ж; — //)).

Для данной задачи рационирования (/, t, х) обозначим через Y(I,t,x) множество допустимых решений:

Y{I,t,x) = {у G : 0 < уг < хг и = t}.

iei

Можно проверить (см., например, Мулен, 1991), что ug(I,t,x) является единственным решением задачи максимизации на Y(I,t,x) лексиминного порядка, т.е. оно лексикографически максимизирует наименьшую коорданиту yi , затем следующую наименьшую координату и т. д.63 Аналогично ul(I,t,x) является единственным «максимизатором» максиминного порядка относительно вектора потерь (жг —уг) .

Важным моментом является то, что эти два метода — ид и ul — образуют двойственную пару: ul = ид* и ид = ul* . Это позволяет параллельно рассматривать аксиоматический подход к этим двум методам.

Оба этих метода, так же, кстати, как и пропорциональный, сохраняют естественный порядок выигрышей и потерь в том смысле, что они удовлетворяют следующим двум аксиомам ранжирования:

Rank : жг- < Xj ==?- у; < yj,

Rank* : жг- < Xj ==?- (ж; — yi) < (xj — yj). Эти две аксиомы двойственны в том смысле, что метод рационирования г удовлетворяет одной аксиоме тогда и только тогда, когда двойственный метод г* удовлетворяет двойственной аксиоме.

Хотя ид и ul согласованы с абсолютным ранжированием выигрышей и потерь, они существенно различаются в ранжировании относительных выигрышей и потерь. Рассмотрим две следующие аксиомы —аксиому прогрессивности Р (Progres- sivity) и аксиому регрессивности R (Regressivity).

Р : 0 < Xi < Xj —У У- <

1 — J Х3 — хг '

R : 0 < Xi < Xj —у < У-.

' J хг Xj

Предложение 7.1.1. Метод ид является прогрессивным, но не регрессивным.

Метод ul — регрессивен, но не прогрессивен.

Следующая пара двойственных аксиом верхней композиции (UC — Upper Composition) и нижней композиции (LC — Lower Composition), описывающих свойства структурной инвариантности, позволяют разложить вычисление долей в случае, если доступные ресурсы оцениваются сверху или снизу.

UC: для любых I ,х и t,t из 0 < t < t < xj следует

r(I,t,x) = r(I,t,r(I,t ,x)).

LC: для любых I,x и t,t из 0 < t < t < xj следует r(I,t,x) = r(I,t ,x) + r(I,t — t ,x — r(I,t x)).

Если мы вначале распределяем ресурсы t , а затем оказывается, что доступных ресурсов в действительности меньше, а именно t, UC позволяет просто рассматривать оптимистичные доли r(I,t ,х) в качестве начального спроса, с которого можно продолжать рационирование до уровня t. Заметим, что из UC следует ресурсная монотонность.

Соответственно, если мы знаем нижнюю границу t имеющихся ресурсов t, то LC позволяет распределить пессимистические доли r(I,t , ж) , вычесть эти доли из начальных уровней

/

спроса, а затем распределить t — t в соответствии с редуцированными требованиями х — r(I,t ,х).

Предложение 7.1.2. Методы рационирования pr, ид и ul

удовлетворяют аксиомам UC и LC.

Предложение 7.1.3. (Yang, 1990). Пропорциональный метод рационирования характеризуется двумя свойствами (1) и (2), либо (1) и (3): (1)

Самодвойственность: г = г*; (2)

UC; (3)

LC.

Наконец, приведем две двойственные аксиомы — аксиому нижней границы (LB — Lower Bound) и аксиому верхней границы (UB — Upper Bound), которые позволяют охарактеризовать методы ид и и/. Пусть |/| = п, тогда

LB: для любых I, t, х и любого i yi = гг(/,7,ж) > тш{жг,

UB : для любых I, t, ж и любого i iji = гг(/, t,x) < { — +

Интерпретацию этих аксиом мы оставляем читателю.

Нам потребуется еще одна аксиома О-Согласованности (ZC — Zero Consistency):

ZC: для любых I, t, х и любого i из жг- = 0 следует

r(I,t,x)[ Дг] = r(I\i,t,X[ дг]).

Трудно себе представить, чтобы присутствие игрока с нулевым спросом (а потому и не получающим ничего) могло оказывать влияние на распределение ресурсов между другими, активными игроками. Предложение 7.1.4. (Moulin, 1999). Метод равномерных выигрышей характеризуется аксиомами LB, LC и ZC. Метод равномерных потерь характеризуется аксиомами UB, UC и ZC.

4. Метод оспаривания (Contested Garment method).

Этот метод относится только к задачам рационирования с двумя агентами. Рассмотрим следующую задачу рационирования (t,x 1,2:2). Мы можем интерпретировать «заявку» агента i оптимистично как min{xj,t} (его требование имеет абсолютный приоритет) или пессимистично как (t — Xj)+ (если другой агент получает полностью то, что он требует). Затем мы делим поровну получающийся дефицит (в случае оптимистичных требований) или излишек (в случае пессимистичных требований). Оба способа дают один и тот же метод:

ух = тш{ж1, t} + ^{t — тт{ж1, t} — тт{ж2, ?}) — (ОПТИМИСТИЧНЫЙ); = {t - х2) + + \(t - (t - xt)+ - (t - х2) + ) —(пессимистичный).

Это можно переписать следующим образом:

если t < тш{ж1,ж2}, то У\ = у2 = если х\ < t < х2, то у\ = у2 = t — Щ-]

(1.1)

если max{a:i, х2} < t, то ух = 2 (t + хх — х2)',

У2 = \{t + х2 - Ж1).

Есть два естественных способа распространения метода оспаривания на случай п > 2 . Первый связан с тем, что для п = 2 этот метод представляет собой среднее двух методов приоритета. Метод 12-приоритета, обозначаемый prio(12), — это метод рационирования, отдающий абсолютный приоритет агенту 1 в том смысле, что:

если t < хi , то у = (t, 0) , если х\ < t < xi + , то у = (®i, ? — х\) . Метод 21-ириоритета определяется симметрично. В этом случае формулу (1.1), определяющую метод оспаривания eg, можно переписать в виде

1 . . 1 сд = ^ ргю(12) + - ргю(21).

Поэтому первое обобщение метода оспаривания — это метод случайного приоритета (Random Priority method), определяемый как среднее арифметическое методов приоритета относительно всех перестановок множества I. Пусть а = (ui, (72,..., сгп) — перестановка множества /, причем агент а 1 имеет наивысший приоритет, а2 — следующий и т.д., иными словами, перестановка упорядочивает агентов. Тогда у = рпо(ст) (/, t, х) определяется следующим образом: если к такое натуральное число, что

к к+1 ^ ^ Ж(7, ^ t ^ ^ ^ Ж(7, , г = 1 i=1

ТО

У(гj = Ха3 для j = 1,..., /г,

2/(7^+1 = ^ — ж<7г) '

Уаз = 0 для j = к + 2,..., п. Метод случайного приоритета определяется так:

у = prio(cr)(7, ж), (1.2)

где сумма берется по всем перестановкам множества I.

Второй способ естественного обобщения метода eg на случай п > 2 агентов использует смесь методов ug и ul. Это так называемый метод Талмуда, получивший свое название благодаря статье Аумана и Машлера (Aumann, Maschler, 1985), которые отметили, что идея этого метода восходит к Талмуду (см. пример 6 в п. 6.1). Определяется он следующим образом:

y = tal(I,t,x) = ug(I, min{?, |) = = ul(I,(t-%)+, f).

Метод Талмуда «половинит» каждое требование и следует методу равномерных выигрышей до тех пор, пока не удовлетворены половинные претензии. Затем применяется метод равномерных потерь до удовлетворения оставшихся половинных требований. (Для га = 2 tal совпадает с eg.)

Следующая теорема показывает связь методов Талмуда и случайного приоритета с важнейшими решениями кооперативных игр, а именно, значением Шепли и га-ядром.

Пусть (I,t,x) — задача рационирования. Рассмотрим две кооперативные игры, определяемые для любой коалиции S С I в соответствии с оптимистичными заявками — игра v , и пессимистичными — игра w :

v(S) = min{a;s,?}; w(S) = (t-Xl\s)+.

Заметим, что v(I) = w(I) = t.

Теорема 7.1.2. (O'Neil, 1982; Aumann, Maschler, 1985). (1)

Метод случайного приоритета распределяет ресурсы в соответствии со значением Шепли приведенных выше игр. (2)

Метод Талмуда распределяет ресурсы в соответствии с га -ядром приведенных выше игр.

Эта теорема позволяет переписать формулу (1.2) следующим образом:

5. Согласованность и симметричные методы. Согласованность (CSY — Consistency) в задачах рационирования, с одной стороны, весьма естественное свойство, а с другой, является очень мощным средством анализа решений этих задач.

CSY: для любых /, S, любых t и х

r(I\S,t- rS(I,t,x),X[д5]) = r{I,t,x\д5]

Свойство согласованности можно определить эквивалентным образом, рассматривая подмножества S , состоящие из одного агента:

r(I\i,t- rt(I1t1x)1x[дг]) = r{I,t,x\дг]

Аксиома согласованности утверждает, что удаление одного (или нескольких) агентов из «сообщества» /, с одновременным удалением ресурсов, которые достались этому агенту (агентам), не меняет распределения долей в оставшемся сообществе.

Далее мы рассмотрим симметричные методы (т.е. методы, удовлетворяющие аксиоме SYM).

Предложение 7.1.5. (Moulin, 1999). Пусть г({1,2}) (t,(x 1,2:2)) — метод рационирования, определенный только для задач с двумя агентами. Предположим, что г({1,2}) симметричен и ресурсно монотонен. Тогда существует не более одного согласованного метода рационирования г (определенного для любого конечного сообщества I), совпадающего с г({1,2}) для любой задачи с двумя агентами. Более того, г симметричен и ресурсно монотонен. Из этого предложения следует ряд важных выводов: 1.

Метод Талмуда является единственным согласованным продолжением eg метода (для 2 агентов) на произвольное множество агентов. 2.

Метод равномерных выигрышей является единственным согласованным методом, удовлетворяющим свойству нижней границы LB (щ > тт{жг-, ) для задач с двумя агентами. 3.

Метод равномерных проигрышей является единственным согласованным методом, удовлетворяющим свойству верхней границы UB (щ < \(t ж; — %j)+ ) для задач с двумя агентами.

Приведенное выше предложение ставит вопрос о том, какие симметричные методы рационирования для двух агентов можно продолжить до (симметричного) согласованного метода для произвольного числа агентов? Прежде чем привести соответствующий результат, введем еще некоторые свойства.

Непрерывность (CONT — Continuity): r(I,t,x) непрерывен по (t, х) для любых I.

Определим семейство параметрических методов рационирования. Пусть /(A, z) — вещественнозначная функция от двух переменных 0 < А < Л и .г > 0 , причем Л может быть конечным или бесконечным. Считаем, что /(0,z) = 0, f(A,z) = z,

/(A, z) — неубывающая, непрерывная функция от А .

Поставим в соответствие каждой такой функции / единственный метод рационирования г следующим образом:

для любых /, t, х гг-(/,t, х) = /(A, xf), где А —решение уравнения = t-

Следует отметить, что это уравнение может иметь в качестве решения целый интервал, однако каждое А из этого интервала приписывает одни и те же доли каждому агенту.

Определенный таким образом метод рационирования называется параметрическим методом, ассоциированным с / . По построению параметрический метод симметричен и, конечно же, согласован.

Три основных метода — pr, ug и ul — параметрические. Соответствующие функции / определяются следующим образом:

пропорциональный метод: f(X,z) = Az , Л = 1;

метод равномерных выигрышей: f(X,z) = тш(А,,г), Л = +ос;

метод равномерных потерь: f(X1z) = (z — j)+1 Л = +оо,

Заметим также, что метод случайного приоритета не согласован, а метод Талмуда — согласован. Последнее следует из того, что метод Талмуда является параметрическим для Л = 2 и

А для 0 < А < г

1 —Л ' " - - z+2'

ДМ =

? ГГТТСТ ^ < Л < z + 4

2' ДЛЯ г+2 - Л - z+2' '

-М' ЛЛЯ f±f < А < 2.

Теорема 7.1.3. (Young, 1987). Параметрический метод является согласованным и симметричным методом рационирования. Обратно, непрерывный, согласованный и симметричный метод рационирования может быть представлен как параметрический метод, причем /(A, z) — непрерывна по обеим переменным. экзогенные границы (конечные или бесконечные) индивидуальных требований. Мы будем называть эти границы мощностью игрока i и обозначать их через Xi. Задача рационирования в таком варианте должна удовлетворять условию О < Xi < Xi для любого i G I ? Мы также считаем, что завсегда конечны.

Метод фиксированной траектории (Fixed Path Method) определяется на базе семейства монотонных траекторий (путей) 7 (/), одного для каждого возможного сообщества I. Траектория 7 (/) — это неубывающее отображение отрезка [0,Х] в параллелепипед [0,X[jj] = {z G IR^ : 0 < г < такое, что для любого 0 < t < Xj

^7i(I,t) = t, 0 iei

lim 7i(I,t) = Xi для любого i G /.

ts-Xj

Заметим, что отображение 7 должно быть непрерывным по t. Если Xi конечно для всех i, то приведенное выше предельное свойство выполняется, поскольку 7(I,Xj) = Хщ .

Метод фиксированной траектории г7 определяется следующим образом:

rf(I,t,x) = min{7i(I,s),Xi} для любого i G I, причем s является решением уравнения

^min{7i(/, s), Xi} = t.

iei

Если мы положим x = X (x = Хщ ) в указанном выше уравнении, то мы получим 7(/, t) = г7(/, t, X).

Примеры методов фиксированной траектории включают метод равномерных выигрышей (для траектории ug из (/, t, X)) и методы случайного приоритета prio (<т) , причем метод случайного приоритета можно представить как метод фиксированной траектории только, если все Xi конечны (с возможным исключением мощности последнего по приоритетности агента). Траектория t > prio(I,t,X) проходит через вершины куба [0,Х] в порядке, соответствующем перестановке а . Если Х{ = Xj V i,j , то метод равномерных выигрышей является симметричным методом фиксированной траектории. Он является единственным методом фиксированной траектории, удовлетворяющим свойству «равным агентам — поровну»: путь г(/, t, X) должен быть диагональю куба [0,Х[/]].

Множество методов фиксированной траектории не содержит самодвойственных методов, поэтому пропорциональный метод и метод оспаривания лежат вне этого множества.

Предложение 7.1.6. а) Все методы фиксированной траектории удовлетворяют свойству верхней композиции, в) Метод фиксированной траектории согласован тогда и только тогда, когда соответствующая траектория I > у(/) коммутирует с оператором проектирования: для любых /, S С / = 7(^)5 а именно

7(-M)[S] = l{S,ys{I,t)) для любого t.

7. Модель распределения излишка. В задаче этого типа (/, t, х) ресурсы t должны быть распределены в соответствии с набором индивидуальных требований х , причем t > хj : ресурсы превосходят запросы. Одна из возможных интерпретаций следующая: жг- — объем инвестиций, вложенных агентом i в совместное предприятие, t — суммарная отдача, дающая прибыль t — xj .

Решение у задачи распределения излишка ставит в соответствие агенту i его долю уг- так, что 0 < жг- < у; и yj = t. Метод распределения излишка d ставит в соответствие каждой задаче распределения излишка (/, t, х) решение у = d(I, t, х). Двойственная операция в этой модели пропадает.

Здесь мы имеем дело только с двумя базовыми методами: пропорциональный метод определяется так же, как и раньше, а эгалитарный определяется естественным образом как yi = Xi -\ (t — Xj) ДЛЯ любых I,t,X И i.

П

Метод приоритета просто отдает весь излишек агенту, имеющему наивысший приоритет, а для метода Талмуда аналогов здесь нет.

Аксиомы из п. 2 этого параграфа в этой модели определяются точно так же, причем пропорциональный метод определяется одной из аксиом независимости от слияния и разделения или декомпозиции. С другой стороны, ни один метод, кроме пропорционального, не удовлетворяет аксиомам отсутствия преимущественного перераспределения и несущественности перераспределений.

Для характеризации пропорционального и эгалитарного методов нам понадобятся еще две аксиомы. Аксиома независимости от масштабов измерения (ср. п. 6.2) требует, чтобы выбор единицы измерения (требований, спроса, налогооблагаемого дохода и доступных ресурсов) не оказывал бы влияния ни на что.

Аксиома композиции (здесь она одна) гласит: для любых I, t, t', х из ж/ < t' < t следует

d(I, t, х) = d(I, t, d(I, t', x)).

Теорема 7.1.4. (Moulin, 1987). Предположим |/| > 3. Существует ровно два метода, удовлетворяющих аксиомам «равным-поровну», отсутствия преимущественного распределения, согласованности, композиции и независимости от масштабов измерения: это пропорциональный и эгалитарный методы.

8. Рационирование неделимых единиц. Предположим теперь, что товары, подлежащие распределению, неделимы (т.е. это, например, машины, билеты). Модель формально идентична рассмотренной выше, за исключением того, что переменные t,Xi,yi — неотрицательные целые числа. Без изменения остаются и определения задачи рационирования, решения и метода рационирования. Двойственная операция определяется так же.

В «неделимом» варианте рационирования нет симметричных методов рационирования: если мы распределяем одну единицу между двумя агентами, спросы которых идентичны, то ЕТЕ нарушается. В частности, пропадают наши три базовых симметричных метода — пропорциональный, методы равномерных выигрышей и равномерных проигрышей. Только методы приоритета prio(a) остаются определенными так же, как и раньше.

Если нам не удается достичь точной пропорциональности в «неделимой» модели, то можно попытаться аппроксимировать ее следующим образом. Зафиксируем I и х и рассмотрим ресурсно монотонный метод рационирования. Траектория t н-> r(I,t,x) описывается теперь последовательностью {ii,..., ix} в I, где К = ж/ , a i\ — агент, получающий первую единицу (г(/, 1) дает единицу агенту ii), i2 — агент, получающий вторую единицу, и т.д. В последовательности {i 1,..., ix} любой агент i ? I появляется ровно жг- раз.

Balinski, Shahidi, 1987 предложили следующим образом аппроксимировать пропорциональный метод. Если уже распределены t единиц и у = r(I,t,x), то дать (? + 1)-ю единицу агенту i, для которого

Xj

> г- для всех j.

У г + \ У3 + \

Ясно, что мы можем определить аналогичные аппроксимации для методов равномерных выигрышей и проигрышей (а также и для других методов). Например, метод равномерных выигрышей аппроксимируется следующим образом: предположим, что t единиц уже распределены и у = r(I,t,x); обозначим через А(у, х) множество агентов, для которых yj < Xj , и дадим следующую единицу одному из агентов i таких, что i G А(у, х) и yi < yj для любых j G А(у, х) . Определения аксиом CSY, UC и LC остаются неизменными. Аксиома Согласованности (CSY) имеет особенно простую формулировку в терминах последовательности {i\ описывающей траекторию t н-> r(I, t, х). Эта аксиома говорит, что исключение всех появлений некоторого агента i в последовательности определяет траекторию t н-> г(/ \ i, t, жд;]) .

Инвариантность относительно масштабов измерения можно определить, но это оказывается не слишком осмысленным. Действительно, если I = {1,2} и метод дает первую единицу агенту 1, г(1, (1,1)) = (1,0) , то вряд ли будет разумным отдавать ему первые две единицы, если спрос каждого игрока удвоится: г(2, (2, 2)) = (1,1) представляется гораздо более осмысленным (по крайней мере с эгалитарной точки зрения).

Теорема 7.1.5. (Moulin, 1999). Для любого упорядочения а множества АГ метод приоритета prio(a) удовлетворяет аксиомам CSY, UC и LC. Обратно, метод рационирования, удовлетворяющий этим трем аксиомам, является методом приоритета.