Страхование жизни
Страховые организации проводят следующие виды страхования жизни: смешанное, дополнительных пенсий, детей, пожизненное на случай смерти. В этих видах страхования комбинируются различные виды страховой ответственности.
Страхование на дожитие до определенного возраста и на случай смерти
Задача 1.
Рассмотрим исчисление вероятностей страховых событий.
Таблица 1
Данные из таблицы смертности
| Возраст (х), лет | Число лиц, доживших до возраста х лет, Lx | Число лиц, умерших при переходе от х лет к возрасту (х+1) лет, dx |
| 43 | 86181 | 872 |
| 44 | 85310 | 931 |
| 45 | 84379 | 994 |
| 46 | 83385 | 1058 |
| 47 | 82327 | 1119 |
| 48 | 81208 | 1174 |
| 49 | 80034 | 1223 |
| 50 | 78811 | 1266 |
| 51 | 77547 | 1306 |
Для лиц, чей возраст 43 года, вероятность прожить еще один год (P43) составляет:
;
вероятность умереть в течение предстоящего года (q43) жизни равняется:
;
вероятность прожить 5 лет (5Р43) к ряду равняется:
;
вероятность умереть в течение предстоящих пяти лет (|5q43) равняется:
вероятность умереть на пятом году жизни (5q43) равняется:
;
Задача 2.
Страхователю 43 года, по условию договора страховщик обязан выплатить ему возмещение только при достижении 48 лет. При ставке I=5% единовременная премия (5Е43), которую застрахованный должен уплатить при заключении договора, равняется:
,
где V5=1/(1+i) – дисконтирующий множитель 5-ой степени.
Число 0,7383 – это тарифная ставка для лиц в возрасте 43 года, страхующихся на дожитие до 48 лет (5Е43). Ее значение определяется из таблицы коммуникационных чисел (табл. 2).
Таблица 2
Данные из таблицы коммуникационных чисел при норме доходности 5%
| Возраст (x) | Lx | dx | Dx | Nx | Cx | Mx |
| 43 | 86181 | 872 | 10574,91 | 150608,86 | 101,90 | 3402,78 |
| 44 | 85310 | 931 | 9969,44 | 140033,95 | 103,62 | 3300,87 |
| 45 | 84379 | 994 | 9391,09 | 130064,51 | 105,36 | 3197,26 |
| 46 | 83385 | 1058 | 8838,53 | 120673,42 | 106,80 | 3091,90 |
| 47 | 82327 | 1119 | 8310,85 | 111834,89 | 107,58 | 2985,09 |
| 48 | 81208 | 1174 | 7807,51 | 103524,04 | 107,50 | 2877,51 |
| 49 | 80034 | 1223 | 7328,23 | 95716,53 | 106,65 | 2770,01 |
| 50 | 78811 | 1266 | 6872,61 | 88388,31 | 105,14 | 2663,36 |
| 51 | 77547 | 1306 | 6440,20 | 81515,70 | 103,30 | 2558,22 |
, где D43+5 и D43 – коммуникационные числа.
Если страховая сумма по данному договору равняется 500 д.е., то страхователь должен был внести 369,15 д.е. (500х0,7383).
Задача 3.
Страховщик обязуется выплачивать страхователю, которому 45 лет пожизненно по 1 д.е. в конце каждого года при условии, что единовременный взнос (а45) составит:
д.е.
При отсрочке пожизненных платежей на n лет и уплате их страховщиком в конце каждого года размер единовременного взноса (n|ax) определяется как:
,
где Dx+n+w – предельный возраст таблицы смертности.
Для лица, чей возраст 43 года вероятность прожить еще один год (Р43) составляет;
;
вероятность умереть в течение предстоящего года (q43) жизни равняется:
;
вероятность прожить пять лет (5Р43) к ряду равняется:
;
вероятность умереть в течение предстоящих пяти лет (|5q43) равняется:
;
вероятность умереть на пятом году жизни (51q43) равняется:
.
Задача 2.
Страхователю 43 года, по условию договора страховщик обязан выплатить ему возмещение только при дожитии до 48 лет. При ставке i=5% единовременная премия (5Е43), которую застрахованный должен уплатить при заключении договора, равняется:
,
где V5 = 1 / (1+i) - дисконтирующий множитель 5-ой степени.
Число 0,7383 - это тарифная ставка для лиц в возрасте 43 года, страхующихся на дожитие до 48 лет (5Е43).
Ее значение определяется из таблицы коммутационных чисел (Табл. 2).Таблица 2
Данные из таблицы коммутационных чисел при норме доходности 5%
| Возраст (x) | Lx | dx | Dx | Nx | Сх | Mх |
| 43 | 86182 | 872 | 10574,91 | 150608,86 | 101,90 | 3402,78 |
| 44 | 85310 | 931 | 9969,44 | 140033,95 | 103,62 | 3300,87 |
| 45 • | 84379 | 994 | 9391,09 | 130064,51 | 105,36 | 3197,26 |
| 46 | 83385 | 1058 | 8838,53 | 120673,42 | 106,80 | 3091, 90 |
| 47 | 82327 | 1119 | 8310,85 | 111834,89 | 107,58 | 2985,09 |
| 48 | 81206 | 1174 | 7807,51 | 103524,04 | 1.07,50 | 2877,51 |
| 49 | 80034 | 1223 | 7328,23 | 95716,53 | 106,65 | 2770,01 |
| 50 | 78811 | 1266 | 6872,61 | 88388,31 | 105,14 | 2663,36 |
| 51 | 77545 • | 1306 | 6440,20 | 81515,70 | 103,30 | 2558,22 / |
, где D43+5 и D43 - коммутационные числа.
Если страховая сумма по данному договору равнялась 500 д.е., то страхователь должен был бы внести 369,15 д.е. (500 х 0,7583).
Задача 3.
Страховщик обязуется выплачивать страхователю, которому 45 лет, пожизненно по 1 д.е. в конце какого года при условии, что едино временный взнос (845) составит:
.
При отсрочке пожизненных платежей на n лет и уплате их страховщиком в конце каждого года размер единовременного взноса (n|nx) определяется как:
,
где Dх + n + w - предельный возраст таблицы смертности.
Допустим, что страховщик согласен выплачивать страхователю по 1 д.е. пожизненно не с момента уплаты премии, а спустя 5 лет. В этом случае единовременный страховой взнос страхователя, чей возраст 45 лет (5|а45), должен составить:
Задача 4.
По условию договора страховщик должен выплачивать по 1 д.е. в течение пяти ближайших лет в конце года. Возраст застрахованного 45 лет. Нетто-премия страхователя (5|а45) равняется:
д.е.
Задача 5.
Размер нетто-премии при пожизненном страховании лиц в возрасте 45 лет (А45) равняется:
д.е.
где М45 и D45 - коммутационные числа.
Если договор на случай смерти заключен в сумме 10000 д.е., то единовременная нетто-премия составит 3400 д.е. Когда бы смерть страхователя не последовала, страховщик выплатит 10000 д.е.
Задача 6.
Срок страхования 5 лет. Размер нетто-ставки при страховании на случай смерти в течение указанного срока (|5 А43) равняется:
д.е.
Задача 7.
Размер единовременной нетто-премии в расчете на 1 д.е. страховой суммы для лиц в возрасте 43 лет, застрахованных по смешанному страхованию жизни сроком на 6 лет определяется как:
д.е.
Расчет может производиться также по формуле:
д.е.