21.3. Матричная алгебра в бухгалтерском учете на персональном компьютере
Персональный компьютер предоставляет современному бухгалтеру дополнительные возможности по самостоятельному составлению вспомогательных алгоритмов и вычислительных программ.
Одним из перспективных направлений разработки бухгалтерских программ является использование матричной алгебры (см. 201). Это обусловлено тем, что в основе бухгалтерского учета традиционно лежит совокупность разнообразных таблиц - матриц.Матрицей называется прямоугольная таблица, состоящая из m строк и n столбцов. Если количество строк и столбцов в таблице одинаково, то матрица является квадратной. Если в составе таблицы присутствуют столбец и строка, в которых помещены суммы членов строк и столбцов, то такая матрица носит название окаймленной. Типичной квадратной окаймленной матрицей в бухгалтерском учете является шахматная ведомость (см. п.4.6). В общем виде она выглядит следующим образом:
— —
| а11 а12 - - а199 |Сумма D1 |
| а21 а22 - - а299 |Сумма D2 |
| - - - - - | - |
АDK = | - - - - - | - | (21.1)
| а991 а992 - - а9999|Сумма D999 |
| ———————————————————————————————————————|——————————— |
| Сумма К1 Сумма К2 - - Сумма К99 | |
— —
где:
Аdk - элемент матрицы, АDK являющейся шахматной ведомостью, составленной на базе сводных проводок хозяйственных операций;
D - номер синтетического счета по дебету проводки (от 01 до 99);
K - номер синтетического счета по кредиту проводки (от 01 до 99);
Сумма D - оборот по дебету счета;
Сумма К - оборот по кредиту счета;
Сумма Сумма - сумма всех хозяйственных операций.
Частным случаем матрицы является вектор. Вектор - это матрица, состоящая из одного столбца (вектор-столбец) или одной строки (вектор-строка). В проводимых нами рассуждениях предпочтение отдается вектору-столбцу, который в дальнейшем будет именоваться просто вектором.
Для того чтобы составить оборотно-сальдовую ведомость, необходимо выделить из матрицы журнала хозяйственных операций соответствующие обороты - по дебету и кредиту. Согласно теории матриц это можно осуществить путем умножения матрицы (справа) на следующий окаймленный вектор (вектор-столбец) перехода:
— — | |
| 0 | | 01 |
| 0 | | 02 |
| - | | - |
В = | |...| | (21.2)
| - | | - |
| 0 | | 99 |
| 1 | |Сумма|
— — | |
Для удобства справа от вектора перехода приведены номера соответствующих счетов.
Обороты по дебету и кредиту счетов в матрично-векторной форме могут быть получены по формулам:
Сумма D = ADK х В
(21.3)
Сумма K = АTDK х В
где: АTDK - транспонированная матрица по отношению к матрице. Транспонированной называется матрица, у которой изменены места столбцов и строк по сравнению с исходной матрицей.
Обратимся теперь к общему уравнению баланса, которое отражает равенство сумм актива и пассива:
А = Р (21.4)
где:
А - постатейный актив баланса;
Р - постатейный пассив баланса.
Это уравнение может быть преобразовано в окаймленный вектор, который отображает сальдо (начальное и/или конечное) оборотно-сальдовой ведомости:
— —
| А |
S = | -Р | (21.5)
| О |
— —
где: S - вектор сальдо по счетам бухгалтерского баланса на начало или на конец периода.
Сумма вектора, отображающего сальдо по бухгалтерским счетам, равна нулю, что естественным образом вытекает из уравнения (21.4).
Если присвоить начальному сальдо индекс 1, а конечному - индекс 2, то уравнение оборотно-сальдового баланса (или обротно-сальдовой ведомости) будет выглядеть следующим традиционным образом:
S2 = S1 + Сумма D - Сумма К (21.6)
Таким образом, последовательность действий бухгалтера, который использует матричную алгебру, при расчетах оборотно-сальдовой ведомости такова:
1) путем умножения матрицы (и транспонированной матрицы) шахматной ведомости на вектор перехода по формулам (21.3) определяются векторы дебетовых и кредитовых оборотов по всем используемым счетам;
2) по формуле (21.5) рассчитывается вектор начального сальдо;
3) по уравнению (21.6), исходя из вектора начального сальдо и векторов дебетовых и кредитовых оборотов, вычисляется вектор конечного сальдо.
Рассмотрим простой пример. Три учредителя открыли малое предприятие в январе месяце 2003 г. При регистрации был утвержден их уставный капитал в размере 1200 условных единиц. Учредители внесли в уставный капитал свои равные доли в виде наличных денег в кассу, перечисления в банк и в виде основного средства. В бухгалтерском учете были оформлены следующие проводки:
Д 75 - К 80 1200 - зарегистрирован уставный капитал;
Д 08 - К 75 400 - отражен вклад учредителя в виде вложений в основное средство;
Д 01 - К 08 400 - составлен акт приемки основного средства;
Д 50 - К 75 400 - учтен вклад учредителя в кассу;
Д 51 - К 75 400 - отражен вклад учредителя на расчетный счет предприятия.
В конце января был составлен месячный баланс, который выглядит следующим образом (см. табл.21.10):
Табл. 21.10. Баланс за январь 2003 г.
———————————————————————————————————————————————————————————————————————
| Актив | Пассив |
|————————————————————————————————————|——————————————————————————————————|
|01 "Основные средства" | 400 |80 "Уставный капитал" | 1200 |
|——————————————————————————————|—————|———————————————————————————|——————|
|50 "Касса" | 400 | | |
|——————————————————————————————|—————|———————————————————————————|——————|
|51 "Расчетные счета" | 400 | | |
|————————————————————————————————————|——————————————————————————————————|
| Баланс: 1200 | Баланс: 1200 |
——————————————————————————————————————————————————————————————————————— />
В феврале на предприятии были осуществлены хозяйственные операции, которые зафиксированы в бухгалтерском учете такими проводками:
Д 20 - К 02 20 - начислена амортизация на основные средства;
Д 20 - К 70 500 - начислена заработная плата;
Д 51 - К 50 350 - переведены на расчетный счет наличные средства из кассы;
Д 20 - К 69 178 - сделаны отчисления в социальные фонды;
Д 70 - К 68 65 - удержан налог на доходы физических лиц;
Д 69 - К 51 178 - перечислено в социальные фонды;
Д 50 - К 51 435 - получено с расчетного счета в кассу на выдачу заработной платы;
Д 70 - К 50 435 - выплачена заработная плата.
Для практической реализации предлагаемой идеи об использовании матричной алгебры рассмотрим шахматную ведомость хозяйственной деятельности предприятия за февраль месяц.
Она, в виде окаймленной матрицы сводных проводок хозяйственных операций, может быть представлена выражением (21.7). (В матрицу для удобства рассмотрения добавлены строка и столбец, содержащие перечень используемых счетов.)После этого следует по формулам (21.3) получить векторы-столбцы дебетовых и кредитовых оборотов по всем используемым счетам (01, 02, 20, 50, 51, 68, 69, 70, 80). Одновременно баланс января необходимо преобразовать по формуле (21.5) в сальдовый вектор (вектор начального сальдо).
—— ——
| D/K |01 02 20 50 51 68 69 70 80|Сумма D |
| ———————|——————————————————————————————————————————|———————— |
| 01 | | |
| 02 | | |
| 20 | 20 178 500 | 698 |
| 50 | 435 | 435 |
| 51 | 350 | 350 |
АDK = | 68 | | | (21.7)
| 69 | 178 | 178 |
| 70 | 435 65 | 500 |
| 80 | | |
| ———————|——————————————————————————————————————————|———————— |
| Сумма K| 20 785 613 65 178 500 | 2161 |
| |
—— ——
Если затем к вектору начального сальдо добавить вектор дебетовых оборотов и вычесть вектор кредитовых оборотов (см. формулу 21.6), то получится вектор конечного сальдо. Действия по нахождению конечного сальдо отражены в уравнении (21.8), которое является уравнением оборотно-сальдовой ведомости.
—— —— — — — — — — | |
| 400 | | 0 | | 0 | | 400 | | 01 |
| 0 | | 0 | | 20 | | -20 | | 02 |
| 0 | | 698 | | 0 | | 698 | | 20 |
| 400 | | 435 | | 785 | | 50 | | 50 |
| 400 | | 350 | | 613 | | 137 | | 51 |
S2 = | 0 | + | 0 | - | 65 | = | -65 | ... | 68 | (21.8)
| 0 | | 178 | | 178 | | 0 | | 69 |
| 0 | | 500 | | 500 | | 0 | | 70 |
| -1200 | | 0 | | 0 | |-120 | | 80 |
| ————— | |———— | |———— | |———— | |———— |
| 0 | |2161 | |2161 | | 0 | |Сумма|
—— —— — — — —— — —— | |
Из оборотно-сальдовой ведомости легко получить баланс февраля путем зачисления счетов с положительными суммами в актив, а счетов с отрицательными суммами - в пассив. Баланс февраля выглядит следующим образом (см. табл.21.11).
Табл. 21.11. Баланс за февраль 2003 г.
———————————————————————————————————————————————————————————————————————
| Актив | Пассив |
|—————————————————————————————————————|—————————————————————————————————|
|01 "Основные средства" | 400 |02 "Амортизация основных | 20 |
| | |средств" | |
|—————————————————————————————|———————|————————————————————————————|————|
|20 "Основное производство" | 698 |68 "Расчеты по налогам и | 65 |
| | |сборам" | |
|—————————————————————————————|———————|————————————————————————————|————|
|50 "Касса" | 50 |80 "Уставный капитал" |1200|
|—————————————————————————————|———————|————————————————————————————|————|
|51 "Расчетные счета" | 137 | | |
|—————————————————————————————————————|—————————————————————————————————|
| Баланс: 1285 | Баланс: 1285 |
———————————————————————————————————————————————————————————————————————
Как следует из представленного примера, матрично-векторная алгебра может быть использована в практике бухгалтерских расчетов. Кроме того, она позволяет переводить (транслировать) бухгалтерские данные в сферу обычных экономико-математических моделей для решения разнообразных задач. Ниже это продемонстрировано на примере оценки качества управления строительным предприятием.