б. Линейное программирование
Возражение против абсолютной подвижности факторных пропорций — не более, чем отрицание абсолютной гладкости и непрерывности производственных функций. До недавнего времени закономерное пристрастие экономической науки к непрерывным дифференцируемым функциям препятствовало объективной оценке этого возражения.
Тем не менее, ясно, что общее предположение о монотонном и непрерывном характере замещения производственных факторов приводит к неприменимости предельного анализа к большинству краткосрочных ситуаций, для которых ограниченный временной горизонт обусловливает определенную негибкость производственного процесса. Однако в последние годы был выработан аналитический инструментарий линейного программирования как раз для рассмотрения случаев отсутствия непрерывности при замещении производственных факторов. Этот подход по сути состоит в применении теории Визера к отдельно взятой фирме. Визер, не понимая того, фактически сформулировал типичную задачу линейного программирования, определенную как максимизация линейной функции при наличии линейных ограничений. 
Случай, когда фирма сталкивается с жесткими технологическими коэффициентами, иллюстрируется с помощью семейства L-образных изоквант, вершины которых лежат на данном луче ОР (рис.11-3). По смыслу изокванта аналогична кривой безразличия, за исключением того, что вместо постоянной суммарной полезности, привносимой различными комбинациями двух потребительских благ, рассматривается постоянный совокупный продукт, произведенный посредством комбинирования различных сочетаний производственных факторов. Расстояния между изоквантами вдоль любого луча, выходящего из начала координат, показывают прирост физического выпуска продукции, полученный в результате пропорционального приращения обоих производственных факторов.
мер, конечный продукт может производиться на оборудовании четырех видов, каждый из которых требует жестко определенного количества труда; фирма может выбрать любой из них или использовать какую-либо их комбинацию. Эта идея о наборе аддитивных технологий является основой анализа производства с помощью аппарата линейного программирования. Таким образом, фирма решает задачу, которую Визер ставил для экономики в целом, а именно: максимизацию своего совокупного продукта при существовании системы линейных ограничений.
К примеру, единичный выпуск продукции может быть осуществлен посредством комбинаций факторов, представленных на рис. 11-4 в виде точек Aj, Biy С;, Di\ выпуск двух единиц продукции —Аг, Вг, Сг, А, и так далее.
Согласно свойству постоянного эффекта масштаба точки А\ и Аг лежат на векторе ОЛ, так что А\Аг = АгАг = AiAm и аналогично для других технологий. Если четыре технологии на самом деле независимы, т. е. каждая может быть выбрана в отдельности, векторы всегда образуют "выпуклый" конус. Любая точка внутри конуса есть допустимая комбинация производственных факторов. Следовательно С'г — допустимая технология. Однако выпуск продукции, представленный точкой С'г, может быть обеспечен при меньшем количестве используемых ресурсов в расчете на единицу продукции посредством комбинирования технологий Вг и Di (что показано прямой линией, соединяющей эти точки) и еще меньшим их количеством с помощью технологии Сг. Короче говоря, грани конуса изображают границу эффективности производства единицы конечной продукции. Из рис. 11-4 понятно, что только смежные технологии могут составить эффективные комбинации и, как следствие этого, число технологий, используемых в оптимальной производственной программе, никогда не будет превышать числа имеющихся в распоряжении производственных факторов (два фактора — две технологии, п факторов п технологий).Сущность анализа набора технологий (activity analysis) состоит в том, что, кроме данных цен на производственные факторы, фирма поставлена перед заданными физическими ограничениями. Допустим, что ею могут быть применены только ON
единиц труда и ОК единиц капитала. При заданном соотношении цен между трудом и капиталом, представленном прямой PW, оптимальной является технология А или В либо любая их комбинация. Но технологический процесс В неосуществим, так как требует большего, чем ON, количества труда. При данных ограничениях на располагаемый объем факторов наилучшее для фирмы решение — производить 2 единицы продукции с помощью технологии А, оставляя неиспользуемыми RK единиц капитала. Несмотря на положительную цену капитала, его предельная производительность для этой фирмы равна нулю. Таким образом, линия максимального уровня дохода в этом случае L-образна и имеет вершину в точке А г; более обобщенно, эта линия совпадает с границей максимальной эффективности (жирная заштрихованная линия на рис.
11-4). Аналогично, если имеющиеся у фирмы количества труда и капитала есть 0N' и ОК, весь объем имеющихся ресурсов может быть использован при одновременном применении обеих технологий в пропорции, определенной наклоном вектора А': линия максимального уровня дохода сместится от своего начального положения и пройдет через вершину А 'з.Как Легко видеть из рис. 11-4, в случае, когда прямая, определяемая соотношением цен производственных факторов, касательна к линии максимального уровня дохода, пропорции факторов в некоторых пределах неопределимы. Более того, если вследствие соотношения факторных цен фирма функционирует, используя технологию, соответствующую точке вершины угла, скажем В:, относительно большие изменения цен производственных факторов могут не затронуть оптимальную пропорцию последних; чем более острым является угол при вершине Вгgt; тем большее изменение относительных факторных цен не повлияет на оптимальную пропорцию факторов. Таким образом, взаимное замещение факторов не является непрерывным и имеет место только тоща, когда прямая, определяемая соотношением их цен» совершает оборот вокруг вершин выпуклого конуса. Излишне было бы говорить, что, если вводятся новые технологии, делающие комбинации прежних неэффективными, область прерывности замещения производственных факторов сужается; в пределе мы приближаемся к непрерывным выпуклым изоквантам неоклассической теории.
Этими краткими замечаниями мы даже не приступили к тому кругу проблем, которые могут быть рассмотрены с помощью инструментария линейного и нелинейного программирования. Однако, нужно подчеркнуть, что математическое программирование в сущности есть вычислительная процедура для решения задач, которые традиционная теория производства относит к сфере компетенции инженеров. По традиции мы начинаем с задания производственной функции, максимизирующий уровень выпуска продукции, который можно получить из всех возможных комбинаций данных количеств производственных факторов при существующем уровне технических знаний. Производственная функция описывает технологически эффективные способы производства желаемого количества продукции из всех возможных сочетаний данных факторов производства при условии, что инженеры уже отсекли все технологически неэффективные комбинации. Это означает, что производственная функция стандартного вида не может быть построена до того, как было найдено решение задачи линейного программирования. Эта задача при условии, что выпускаемая продукция однородна, представляет собой чисто техническую проблему. Но как только в рассмотрение вводятся многопродуктовые фирмы, производственные функции не могут быть определены чисто техническим образом, так как технологически оптимальные комбинации факторов для производства одного вида продукции при этом сравниваются с аналогичными, оптимальными с технологической точки зрения комбинациями тех же объемов факторов производства, направленными на производство другого вида конечной продукции. Использование производственных функций не только требует предварительного решения определенных задач распределения ресурсов до того, как к работе приступят экономисты, но и фактически не дает нам метода исчисления экономически оптимальных комбинаций производственных факторов, особенно в тех случаях, коща при наличии определенных производственных ограничений фирма производит более одного продукта. С другой стороны, используя
аппарат математического программирования, мы в состоянии разрешить — по край* ней мере в принципе — все задачи распределения ресурсов, которые призвана решать традиционная теория производства.
Достаточно любопытно, что при развитии теории производства был перевернут логический порядок продвижения от общего к частному. Наиболее ранние теории в этой области предполагали фиксированные коэффициенты расхода ресурсов, возводя частный случай в ранг общего. Позже утвердилось мнение, что замещение факторов в общем может считаться непрерывным. И уже относительно недавно пришло понимание того, что оптимизационный подход предельного анализа может быть применен только для рассмотрения конкретных производственных проблем, встающих перед фирмами, поскольку факторные пропорции не являются абсолютно гибкими в краткосрочном аспекте. Так называемый общий случай — выпуклые изокванты и гладконепрерывное замещение — игнорирует слишком большое количество проблем распределения ресурсов, а промежуточный случай — разрывное замещение факторов при нарушениях выпуклости изоквант — как ни удивительно, оказывается более мощным средством для анализа оптимизационных задач фирмы.
Теперь вернемся к визеровской теории вменения цен факторов производства на основе цены конечного продукта. Графический анализ производственной задачи на рис.11-4 может быть проведен в алгебраической форме посредством решения стандартной задачи математического программирования.
Следует максимизировать доход аА+ЬВ + сС + dD при линейных ограничениях:
еА + fB + gC + hD i OK (капитал) iA+jB + kS + lDlt; ON (труд) иА gt; О, В 2 О, С 2s О, D Z 0„ где А, Ву CyD — описанные выше элементарные технологии, применяемые с единичной интенсивностью, а, b,c,d — известные коэффициенты функции дохода, представленные рыночными ценами на выпускаемую продукцию, ие, f,gt... I — постоянные коэффициенты физического расхода ресурсов, определенные из технологических соотношений. Задача состоит в вычислении объема выпуска, приносящего фирме максимальную прибыль при наличии двух ограничений на ресурсы. Графически мы нашли наиболее высоко расположенную кривую, соединяющую точки с одинаковым уровнем дохода и имеющую пересечение с областью допустимых технологических решений. Полученный в результате набор оптимальных технологий есть по сути решение записанной выше задачи. Двойственной к этой максимизационной задаче является задача минимизации, которую можно записать в следующем виде: ркРК + pfjON = минимизируемые затраты при ограничениях р^е +рamp;amp; а Pkf +ptfbb
pig+Р1Лamp; с
pijx +pNl?d
а также
Pk ^ 0, gt; 0,
где рккры — неизвестные цены единичных количеств труда и капитала. Коэффициенты функции дохода "прямой" задачи теперь представляют собой ресурсные ограничения двойственной задачи; знаки неравенств заменены на противоположные; строки коэффициентов "прямой” задачи становятся столбцами в двойственной; кроме того, в ней появляются две новые переменные рк и pN. Теперь допустим, мы вменяем этим переменным такие искусственные расчетные значения или "теневые цены”, что в том случае, когда каждой единице ресурса присвоена "теневая цена”, чистая прибыль при единичной интенсивности применения технологий равна нулю. Таким образом, двойственная задача линейного программирования состоит в нахождении наименьшей ценности набора ресурсов, который может обеспечить прибыль, приносимую единицей конечного продукта.
И надо же: решение двойственной задачи дает абсолютно тот же ответ, что и решение прямой! Если мы решили прямую задачу максимизации прибыли, это означает, что найдено также и решение двойственной задачи минимизации затрат, а значит, нам удалось "вменить" цены факторам производства. Этот вывод был получен для одной фирмы, но он имеет силу и для любого числа фирм. При условии, что производственные факторы комбинируются в различных фирмах или отраслях в различных пропорциях, тот факт, что они сочетаются в фиксированных пропорциях в каждой фирме или отрасли, нисколько не мешает суперкомпьютеру присвоить им определенные ценностные значения. Но конкуренция сама по себе и есть такой суперкомпьютер: сводя на нет все сверхнормальные прибыли, она вынуждает фирмы присваивать факторам производства такие расчетные ценностные значения, которые позволяют минимизировать средние производственные затраты.