2.1.3. Шкалы и адекватность
Ш - <2Э, 2*, /),
где 1>э — эмпирическая система с отношениями; 2ц- — полная числовая система с отношениями; / — изоморфизм (или гомоморфизм) в 2ц- [413, с. 19].
Тип шкалы определяется свойствами единственности отображения /.
Пусть g — отображение такое, что (2$, 2 ц-, g) тоже шкала. Преобразование <р называется допустимым для данной шкалы, если g = <р/. Множество допустимых преобразований является группой, в чем нетрудно убедиться.
Определение шкалы или группы допустимых преобразований необходимо для решения проблемы адекватности. Числовое утверждение является адекватным, если его истинность не изменяется при допустимом преобразовании числового представления переменной. Рассмотрим несколько примеров. Полезность различных наборов товаров может быть определена с точностью до произвольного монотонно возрастающего преобразования. Числа, характеризующие полезности различных наборов, выбраны так, что если набор а предпочтительнее набора Ь, то полезность а больше полезности Ъ:
U(a) > U(b), если а > 6;
полезности равны, если наборы являются одинаково полезными:
U{a) = U(b), если а ~ Ъ.
В порядковой шкале утверждение
U(a) > U(b) (2.3)
65
5 P. JI. Раяцкас, М. К. Плакунов
адекватно, так как истинность его не изменяется, если функцию полезности подвергнуть допустимому преобра- зованию ф такому, что если х > г/, то ф(^) > ф(у); если а: = г/, то ф(я) — ф(у).
Действительно, утверждение
ф([/(а)) > ф(ЩЬ))
будет истинным, если (2.3) истинно, и ложным, если (2.3) ложно. Утверждение же
U(a) + U(b) = и (с) (2.4)
иэадекватно, так как
j е выполняется в общем случае нелинейного преобразова- I ия (положим, например, ср(х) = х2).
Все это значит, что вычисление арифметических средних, квадратичных отклонений, Z-статистик и т. Пусть, например, и и2 — значимости некоторой задачи АСУ, оцененные в 0—1 интервале двумя экспертами. Ясно, что если эти величины измерены в порядковой шкале, то в общем случае допустимого преобразования ф:
(иг + иЛ ФЮ + ФЮ
ф V 2 J ^ 2
Нетрудно видеть, что равенство выполняется только при ф(^) = ах, где а — константа, т. е. если их и и2 измерены в количественной шкале (причем в одинаковом масштабе). Как ни странно, но это обстоятельство зачастую упускается из виду при обработке различного рода экспертных оценок. Здесь можно привести довольно много конкретных примеров (известный метод Дельфи [126], [127], [163], [269], [423]), но ограничимся одним общего характера.
Оценка деятельности руководителя — важная задача. Желание получить количественную оценку вполне понятно. Но это желание и важность проблемы не служат достаточными основаниями такого упрощения проблемы, которое сводит применение количественных методов к абсурду. В рядэ методик руководителя оценивают в баллах по ряду качеств его подчиненные, руководители такого же уровня и непосредственный начальник. В результате получаются числа аи — «степень соответствия» или «качество» руководителя по признаку і с точки зрения эксперта /. Затем вычисляют «средние» оценки по
каждому качеству і, например, как:
~ j
ai — '
где — кем-то оцененный «вес» эксперта /. Далее вычисляется общая «интегральная» оценка руководителя:
г
В зависимости от этой оценки руководитель может быть повышен, понижен или оставлен на прежнем месте:
А > «MAX, КРИТ — повышение;
Ятіп, КРИТ < а < атах, КРИТ — остается на месте; (2.5)
Я < Лщіп, КРИТ ~~ понижение.
Дискуссии о допустимости разложения личности на сумму качеств, об объективности или субъективности, о необходимой степени субъективности и т. д. (см. например, [196], [229]) обычно в применении к таким методикам не имеют никакого смысла, поскольку все оценки делаются в порядковой шкале (обратное надо доказывать, а таких доказательств авторы подобных методик не приводят) и утверждения (2.5) в порядковой шкале просто неадекватны. При измерениях в порядковой шкале в качестве средней можно использовать медиану
и (целая часть I —^— J U
гдэ u(z) — вариационный ряд наблюдаемой переменной и (наблюдаемые значения перенумерованы в порядке возрастания); і = 1 ~ т.
5*
67
Действительно, пусть щ2), . . ., щт)— такой вариационный ряд. Нумерация этих значений переменной и не изменится, если подвергнуть их допустимому преобразованию <р: будет получен вариационный ряд cp(^d)), ф(г/(2)), . . ц>{щт)), так как, по определению порядковой шкалы, из
Що < ЩІ+і) следует
ф(ы(о) < Ф Щі+1))-
В настоящее время средние, квантили (которые в случае порядковой шкалы также можно использовать в качестве средних), расстояния, показатели связи между квалифицированными переменными исследованы достаточно хорошо (см., например, [8], [295], [307], [329], [432]).