2.1. Проблемы формального описания, шкалирования переменных и измерения их значений 2. 7.1. Представление переменных

В общем случае описание экономической системы не становится количественным от того, что значения переменных представлены в виде чисел. Последние могут играть просто роль меток, таких, как, скажем, табельный номер рабочего, код детали или сборочной единицы и т.

Не менее важно при построении и анализе экономических моделей проводить различие между квантифика- цией, т. е. определением переменной как числовой, и измерением, т. е. приписыванием ей соответствующего числового значения. Так, переменная «жители города, желающие купить товар X» может быть описана как количественная, т. е. значения этой переменной можно представить в виде чисел, над которыми допустимо производить арифметические операции. Конкретное же числовое значение этой переменной устанавливается в результате выполнения ряда процедур измерения. В общем случае эти процедуры могут отсутствовать или оказаться технически невыполнимыми или же слишком трудоемкими. В нашем примере такой процедурой может служить опрос всех 'жителей города.

Однако имеются примеры переменных, которые можно представить как количественные3 но значения их нельзя измерить. Такой переменной является, например, переменная «жители города, считающие себя способными к управлению промышленным предприятием». Опрос в данном случае не будет адекватной процедурой измерения значения этой переменной, так как люди, считающие себя способными к управлению предприятием, могут не признаться в этом из скромности, а люди, не чувствующие себя таковыми, могут тем не менее ответить на вопрос анкеты утвердительно.

Переменная «жители города, способные к управлению промышленным предприятием» может быть не только представлена как количественная, но и, по крайней мере в принципе, измерена.

Номиналистский подход к построению моделей требует отказа от введения в модель переменных, значения которых не поддаются измерению. В данном случае такой подход обладает рядом достоинств, так как следование этому требованию предохраняет от построения фиктивных моделей, т. е. моделей, которые ничего не моделируют. В то же время, как это было отмечено в первой главе, номиналистская методология в целом неконструктивна. Вопрос о правомерности включения неизмеримых переменных в модели будет рассмотрен в четвертой главе.

Различие между формальным описанием, представлением в виде чисел и измерением не вызывает сомнений, но все же следует отметить, что в литературе по моделированию экономических систем, объектов, явлений, процессов и т. д. это различие не выступает достаточно отчетливо, о чем, в частности, свидетельствует некоторый разнобой в терминологии.

В наши цели не входит установление каких-то предписаний для использования общеупотребимых терминов. Однако для того чтобы избежать путаницы, необходимо согласовать терминологию, которая будет употребляться в дальнейшем, с употреблением этих терминов в литературе.

В настоящее время под теорией измерений понимают обычно теорию, основы которой были изложены Дж. фон Нейманом и О. Моргенштерном в их фундаментальном труде [313], а также в более формализованном виде в статье П. Суппеса и Дж. Зинеса [413]. Результаты развития этих идей и более современное состояние вопроса содержится, например, в [319], [366], [408], [445].

Суппес и Зинес под измерением фактически подразумевают решение следующих основных проблем теории измерения: проблемы представления эмпирической системы с отношениями, числовой системой с отношениями, проблемы единственности этого представления (определение типа шкалы) и проблемы адекватности такого представления [413]. В таком же значении эти термины использует Пфанцангль [366]. Фон Нейман и Моргенштерн в основном используют термин «измерение», имея в виду как решение проблемы представления, так и определение конкретного численного значения полезности; встречается у них и термин «описание физической величины числами» [313]. В работе [432] говорится об измеримости эмпирической системы в некоторой шкале, если существует решение проблемы представления [432, с. 9], такое же значение этому термину придает Фишберн [445]. В справочнике [8] проводится различие в терминах, когда речь идет о представлении переменной в виде чисел и об определении конкретного числового значения переменной; в первом случае используется термин «оцифровка» [8, с. 432 и др.], во втором, как правило,— «оценка».

В литературе по эконометрии и иногда по статистике в настоящее время для обозначения процедуры получения численного значения переменной используется термин «оценивание» [343]; [154], который соответствует термину «измерение» в технике [274], [479].

Даже краткий обзор использования терминов «измерение», «представление в виде чисел», «оценивание» пока- зывает, что вьтбрать способ употребления эти* термййой, который бы в максимальной степени приближался бы к употреблению их в литературе и в то же время позволил бы обозначить все процедуры, приводящие (или не приводящие) к исчислению значения переменной, не представляется возможным.

«представление переменной в виде чисел», если решены проблемы «теории измерений» в смысле Суппеса и Зи- неса, т. е. найдена шкала, в которой такое представление адекватно;

«оценивание» — для процедуры определения конкретного значения переменной, при этом термин «оценивание» будет использоваться и в том случае, когда речь идет о конкретном значении нечисленной переменной;

«измерение» — для обозначения всего процесса измерения: представления переменной в виде чисел и оценивания ее значения, причем если этот процесс актуально возможен, то переменную будем называть измеримой;

«слабоизмеримая переменная», или «ненаблюдаемая переменная» — в тех случаях, когда задача представления разрешима, но оценивание значений переменной невозможно;

«неизмеримая переменная» — в тех случаях, когда решение задачи представления не существует; как правило, это значит, что в формальном словесном описании объекта есть ошибки (то, что считается единой переменной, на самом деле таковой не является);

«кодирование» — представление переменной в номинальной шкале, а также, если это не будет приводить к двусмысленности, оценивание значения переменной в номинальной шкале, присвоение значению некоторого кодового обозначения;

«квантификация» — представление переменной в количественной шкале; такую переменную будем считать квантифицированной, а остальные переменные — некван- тифицированными;

«квалификация» — представление переменных в шкалах, отличных от номинальной и количественной, например в порядковой шкале.

Термины «шкала», «порядковая шкала», «количественная шкала», «номинальная шкала» используются в обычном значении [366], [413], [432] и будут определены ниже.

2.1.2. Теория измерений:

проблема представления переменной

Хотя основы теории измерений довольно подробно изложены в литературе, однако несколько замечаний сделать необходимо.

Представление переменной в числовой форме определяется с помощью понятия «система с отношениями» [413]. Система с отношениями — это кортеж

S-Ol,*!, ...,Д„>, (2.1)

где А — некоторое непустое множество-область системы с отношениями; Ri(i = I ~ ri) — га-местные отношения в А, (т ^ 2). Типом системы с отношениями 2 называется кортеж

S = {тъ ...тп), (2.2)

если для каждого і = 1 ~ п системы 2 отношение Rt является тгместным. Системы с отношениями одного типа называются подобными.

Системы с отношениями одного типа 22 и 22 называются изоморфными, если существует такое взаимно однозначное отображение /, отображающее область Ах системы с отношениями 2Х в область А2 системы с отношениями 22, что для каждого і = 1, п и каждой последовательности элементов множества Ах — (аг, а2, . . ат.) отношение і?-1* имеет место тогда, и толь

ко тогда, когда имеется отношение (ах), . .., / j-

Иными словами, немного упрощая, подобные системы с отношениями изоморфны, если они имеют одинаковую структуру.

Пример: пусть

= {а, Ъ, с, d}f А2 = {2, 17, 38, 9},

Д(11} = «а, &>, d>}, ді2) = {<2, 9>, <17, 38)},

Д11} = {<а,Ь,с>}, М2) = {<2,9, 17)}.

Типы этих систем с отношениями одинаковы: = (2, 3) - = = (2, 3>.

Определим отображение / следующим образом:

м = 2, /(6) = 9, /(с) = 17, /(d) = 38.

Системы С отношениями 2l ^ и = = <Л2, R{i \ /?(22)> изоморфны, так как одновременно выполняются отношения:

/?<« (а, Ъ) и Л<2) (/ (а), / (6)) = R[2) (2, 9), (с, d) и /?12)(/(с), /(d)) = Д<2)(17, 38), (в, Ъ, с) и Д<2) (/ (а), / (Ь), / (с)) = Д<2) (2, 9, 17).

В теории Суппеса—Зинеса важную роль играют эмпирическая и числовая системы с отношениями [413]. Числовой системой с отношениями называется система с отношениями, область которой является множеством вещественных чисел. Менее понятно определение эмпирической системы с отношениями: «Эмпирическими системами с отношениями называются такие системы, области которых являются множествами таких элементов, как веса, предметы, состояния. Если, например, область А системы {AXR2) состоит из весов, то отношение R2 МОЖНО называть отношением «легче, чем», т. е. aR2b и указывает, что вес а меньше веса Ь» [413, с. 15]. Здесь не совсем ясно, чем же эмпирическая система отличается от числовой: только метками, которые позволяют отличать элементы областей этих систем? Но тогда причем здесь слово «эмпирическая»? Целесообразно рассмотреть эти вопросы после того, как дадим определение термина «представление переменной в виде чисел».

Будем говорить, что числовая система 2 представляет эмпирическую систему 2Э, если 2Э изоморфна (или по крайней мере гомоморфна) числовой системе 2. Так, в примере, рассмотренном выше, 22 представляет эмпирическую систему 2j. Мы можем рассматривать 22 как эмпирическую систему, поскольку определение эмпирической системы Суппеса—Зинеса [413, с. 15] не содержит никаких запретов на этот счет. Пусть в предыдущем примере элементы множества Ах — это материалы; отношение R^ — отношение взаимозаменяемости, отношение R2г) — это отношение «из материалов... изготавливается изделие...» Тогда система 22 может быть описана следующим образом: изделие изготавливается из материалов а, Ъ и с; материалы а и 6, с и d взаимозаменяемы. Отличие 2Х от числовой системы 22 заключается только в том, что элементы 2], имеют содержательную интерпретацию, а элементы 22 — нет. Но мы можем интерпретировать более или менее произвольно й элементы системы 22, например, так: элементы области А2 — это производственные рабочие, отношение В[2) — «быть сменщиками», отношение В(22) — «изготавливать деталь определенного наименования». Теперь можно утверждать, что эмпирическая система 22 представляет эмпирическую систему (в принципе такое утверждение осмысленно; на этом и основано физическое моделирование, в частности, и экономических систем).

11о терминологии Суппеса—Зинеса, измерение — это изоморфное (или гомоморфное) представление мира эмпирических объектов и отношений между ними в виде числовой системы с отношениями, причем подразумевается, по-видимому, что эмпирическая система неформальна. Но тогда не ясно, что такое изоморфизм? Термин «изоморфизм» можно считать определенным, если речь идет об отображении одной формальной системы в другую. Конечно, никто не может запретить использовать слово «изоморфизм» неформально, но в данном случае речь идет о формализации теории измерений.

Таким образом возникает дилемма: либо эмпирическая система представляет собой на самом деле формальную систему и ее элементы — это концепты; либо определение Суппеса—Зинеса не является формальным, и их теория не может претендовать на строгость и точность, так как неясно, когда употребление термина «изоморфизм» обоснованно, а когда нет.

Отметим одно обстоятельство: определение эмпирической системы Суппеса и Зинеса [413, с. 15] не запрещает считать числовую систему эмпирической. Действительно, если элементами области эмпирической системы могут быть «веса, предметы, состояния», то почему ими не могут быть буквы некоторого конечного или бесконечного алфавита, цифры или числа? Не будет ли вернее полагать, что «эмпирическая система» Суппеса—Зинеса — это уже формальное описание некоторой совокупности эмпирических объектов, процессов и т. п.? Ведь все, что мы конкретно знаем об эмпирической системе, это то, что она система с отношениями. Дальше начинаются неясности: с одной стороны, для эмпирической системы с конечной или счетной областью «всегда можно найти изоморфную ей числовую систему» [413, с. 16], но, с другой стороны, «проблему представления нельзя решить правильно, устанавливая изоморфизм с числовыми системами, включающими непригодные отношения. . .». Следовательно, не так уж важно указать какую-нибудь числовую систему, изоморфную эмпирической, значительно важнее выбрать ее так, чтобы она содержала некоторые простые и понятные отношения» [413, с. 15—16]. Но, по определению, эти отношения уже заданы в эмпирической системе и выбирать ее нельзя!

По сути дела, все эти объекты — «эмпирическая система с отношениями», «числовая система с отношениями», «представление системы» и т. п.— введены для того, чтобы формально описать сам процесс формализации знания о некотором фрагменте объективно существующей действительности. Но для достижения этой цели нужно формально определить по крайней мере: во-первых, исходное сырье для процесса формализации, во-вторых, результат, в-третьих, процедуру переработки сырья в результат.

А. Тарский, исследуя возможности адекватного определения истины в естественных и искусственных языках, отметил, что грань, отделяющая естественный язык от искусственного, условна, так как «не известны объективные основания, позволяющие провести ясную грань между этими группами терминов. Поэтому представляется возможным включить в число логических терминов и такие, которые обычно рассматриваются логиками как экстралогические, что не расходится с практикой употребления языка» [514, с. 418]. Проведение строгого различия между языком, посредством которого обсуждаются нелингвистические факты, и языком, о котором идет речь, является, по мнению М. Таубе [420, с. 110], основным в концепции Тарского [418], [514]. Установление такого различия при логическом анализе построения логико- дедуктивной системы означает, что объектом анализа является формализованная аппроксимация содержательной теории.

Модель построения модели является по отношению к последней метамоделыо; причем ее элементы — это некоторые формальные системы и процедуры. Таким образом, в тройке: (эмпирическая система, отображение, числовая система) — все три элемента являются формальными объектами, т. е. результатами операционального (в широком смысле) определения, постольку, поскольку они являются объектами логического анализа. На практике, конечно, полностью формализованных теорий нет. Не являются исключением и математические теории (об их неформальном фоне см., например, [75]); поэтому в метатеориях рассматриваются их идеализированные образы.

Все это позволяет решить указанную выше дилемму (либо эмпирическая система — это идеальный объект, либо теория Суппеса—Зинеса неформальна) в пользу первой альтернативы. Вернемся к определению (а точнее, пояснению) термина «эмпирическая система» [413, с. 15].

Элементами области эмпирической системы могут быть веса, состояния и т. д. Состояние — это сложный операционально определяемый, причем различными авторами по-разному, идеальный объект, концепт (см., например, определения состояния в [171]; [202]; [286] и др.) Веса тоже не могут считаться «чисто эмпирическими» объектами, если, конечно, не принимать точку зрения реализма на онтологический статус значения термина «тяжесть». Таким образом, поясняющие примеры, приведенные Суп- иесом и Зинесом, также позволяют сделать вывод: эмпирическая система в их определении — это формальный объект. Но тогда исчезают и трудности и противоречия, связанные с установлением изоморфизма с числовой системой, которая включает «непригодные отношения» [413, с. 15-16].

Дело в том, что в реальности, в фактически происходящем процессе измерения отношения, так же как, впрочем, и предметная область, не заданы. Задача как раз в том и заключается, чтобы определить элементы предметной области и найти отношения, которые существуют между ними, т. е. сформулировать некоторые высказывания об этих элементах и установить их истинность или ложность. Но при формальном описании этого процесса можно (а для некоторых целей анализа необходимо) считать данный процесс законченным и рассматривать его как законченное целое. Отметим также, что эмпирическая система с отношениями представляет собой формализованный фрагмент содержательного описания.

Действительно, в определении эмпирической системы как системы с отношениями не содержится никакой информации о содержательной интерпретации как элементов ее области, так и отношений. Поэтому одна и та же эмпирическая система допускает множество различных интерпретаций, что мы и показали, разбирая примеры систем 2i и 22. Полное описание должно включать и такие высказывания, как «...есть рабочий», «...есть деталь» и т. д. При представлении эмпирической системы числовой указанные содержательные интерпретации не играют роли, значит, их можно отбросить. Следовательно, в виде числовой системы представляется только часть формального описания; в этом заключается отличие процедуры представления формальной переменной в видэ числовой от простого перевода с одного формального языка на другой.