2.2. Количественные переменные 2.2.1. Количественная переменная', формальный аспект

Арифметические свойства количественных переменных описываются теоремой Гельдера об упорядоченных группах (см., например, [445]).

Множество G называется группой, если оно наделено внутренним законом 0, обладающим следующими свойствами:

1л 0 у є б, ж, у є С; 2.

(х © у) © z = х 0 (у © z) (ассоциативность); 3.

х ® е — е ® х — х (существование нейтрального элемента е); 4.

Всякий элемент IGG имеет симметричный элемент х' такой, что х ф х' = е,

х' © X = в'.

Если закон © коммутативен, т. е. если имеет место 5. х © у = у © х,

то группа называется коммутативной, или абелевой.

Можно по-разному записывать групповой закон ф; мы будем использовать аддитивную запись: вместо X ф у ->- X + у.

Пусть т — целое положительное число. Тогда тх = х х + ... х (т раз).

Выбор аддитивной записи совершенно произволен в общем случае; можно было выбрать, например, мультипликативную запись, тогда

хт = х-х- ...-Х (т раз).

Указание на произвольность записи группового закона означает, что запись х + у вместо х ф у ни в коем случае не означает интерпретации группового закона ф как арифметической операции суммирования и используется только из соображений удобства. Свойство, выделяющее архимедовы группы, удобнее записывать в мультипликативной или аддитивной форме.

Строго упорядоченной группой называется тройка (G, +, << >, где (G, + ) — группа, а отношение <(, заданное на G, является строгим упорядочением, причем для любых х, г/, z є G выполняется

XСтрого упорядоченная группа называется архимедовой, если для любых х, г/, є G и е х, е <( у найдется такое целое положительное число т, что у тх.

Архимедовыми группами являются, например, группы (А, +, <), Ш, +, <), (Я, <> и т.

Теорема Гельдера, содержащая основные формальные свойства количественной переменной, формулируется следующим образом.

Пусть (G, +, <С) — строго упорядоченная группа. Она будет архимедовой тогда, и только тогда, когда существует такая функция / : G R (где R — множество

вещественных чисел), что для любых х, у ^ G выполняется (2.6) (2.7)

* < У => f{x) < 1(У\

я* + у) = /и + т. Кроме того, если выполняются условия (2.6) и (2.7) и если для некоторой вещественно значной функции g, определенной на множестве G, также выполняются условия сохранения упорядочения (2.6) и аддитивности (2.7), то существует такое вещественное число с >0, что для всех

X ЄЕ G

g(x) = c-f(x),

причем если существует такое х є G, что е х} то константа с единственна.

Доказательство этой теоремы можно найти, например, в [445, с. 93—96] и т. п. Значение теоремы Гельдера для теории измерений заключается в частности, в том, что она устанавливает эквивалентность между вопросами: «что значит: значение переменной х в т раз больше значения у?» и «что означает суммирование значений х и у?» Если (G, 0, <( > — эмпирическая система в определении измерения Суппеса — Зинеса [413], то теорема Гельдера — это теорема единственности для числового представления переменной в шкале отношений. Действительно, Суппес и Зинес используют аналогичные конструкции в своем изложении теории измерений (теоремы представления и единственности для экстенсивных систем [413, с. 42], при этом они совершенно справедливо подчеркивают, что групповой закон не обязательно интерпретировать как сложение.

В то же время Суппес и Зинес преувеличивают независимость адекватности числовых утверждений от природы реальных, «эмпирических» операций: «Одно из основных наших предположений... состоит в том, что знание теорем представления и единственности признается достаточным для ответа на вопрос об адекватности утверждения» [413, с.

Обычно групповая операция в тех случаях, когда описание с помощью количественной шкалы оправданно и полезность такого описания подтверждена практикой, как это имеет место в физике, технике ит. п., имеет естественную интерпретацию в терминах эмпирических объектов и реально совершаемых действий. Например, масса физического тела измеряется в количественной шкале, так как групповой операции «сложение чисел» соответствует операция соединения физических тел. На вопрос, «что означает, что тело х в т раз массивнее тела г/», может быть дан простой однозначный ответ: «если на одну чашу весов положить тело х, а на другую чашу положить т тел у, то весы будут уравновешены». В экономике используются физические величины,— например, натуральные измерители объема выпуска (тонны, метры, кв. метры и т. д.); но в общем случае представление «естественной операции» таким образом, чтобы удовлетворялись условия (2.6), (2.7),— это весьма нетривиальная задача. Так, суммарная стоимость двух половин разорванной книги не всегда будет равна стоимости объединения этих половин — стоимости целой книги.