2.2.2. Количественные шкалы

У = ах + Ъ. (2.8)

Если а >0, а Ъ Ф 0, то (2.8) определяет шкалу интервалов.

будет преобразование подобия

у = ах, а > 0. (2.9)

В такой шкале, т. е. с точностью до масштаба, который устанавливается произвольно, измеряются, например, цены, веса, длины и т. д. Из переменной, измеряемой в интервальной шкале (2.8), легко получить переменную, измеряемую в шкале отношений (2.9). Действительно, пусть у — переменная, измеряемая в шкале интервалов. Зафиксировав некоторое значение этой переменной у0, введем переменную z:

Z = У — Попеременная z измеряется в шкале отношений az = ay + b — ау0 — b = а(у — у0).

Если в (2.9) зафиксирован масштаб, то переменная измеряется в абсолютной шкале с точностью до тождественно- 1 го преобразования

у = х. (2.10)

В абсолютной шкале измеряется, например, вероятность, число работающих на данном предприятии, число станков данного типа и т. д. К абсолютной шкале легко перейти из шкалы отношений. Действительно, путь у — переменная, измеряемая в шкале отношений. Введем переменную z, зафиксировав некоторое значение переменной у на уровне у0:

z = У Попеременная z измеряется в абсолютной шкале z = ау/ау0 = у/у0.

Поскольку от шкалы интервалов (2.8) можно перейти к шкале отношений (2.9), а от шкалы отношений — к абсолютной шкале (2.10), можно от шкалы интервалов перейти к абсолютной шкале! Для удобства в дальнейшем под измерением в количественной шкале мы будем иметь в виду измерение в одной из следующих шкал: интервалов, отношений или абсолютной.

Это не значит, конечно, что к абсолютной шкале нельзя перейти ни из какой другой, кроме перечисленных выше шкал.

у = Ьха1

то логарифм этой переменной измеряется в шкале интервалов

у' = In у; х = Іпд:; V — In Ъ; у' = Ъ' + ах'.

В то же время если переменная измерена с точностью до преобразования вида

у = Ьеах, (2.11)

то ее нельзя преобразовать в переменную, измеренную в количественной шкале, хотя встречаются противоположные утверждения [295, с. 21]. Действительно, пусть некоторая переменная измерена с точностью до некоторого преобразования ср:

У = ф(*). (2.12)

Мы хотим ввести с помощью некоторого преобразования переменную, которая измерялась бы в количественной шкале, например в интервальной. Это значит, что должно выполняться условие

f(y) = af(x) + ъ или, учитывая существующую шкалу (2.12),

/(ф(*)) = af(x) + Ь. (2.13)

Нетрудно видеть, что (2.11) не удовлетворяет этому функциональному уравнению: логарифмируя (2.11), получаем

In у = In Ь ах, но не требуемое

In у = In Ъ + a In х. К количественной шкале нельзя с помощью преобразования переменных перейти ни от порядковой, ни от номинальной шкал. Последнее обстоятельство иногда упускается из виду при интерпретации результатов процедур «оцифровки» нечисловой информации [8], [295]. Например, утверждается, что «качественные дихотомические признаки одновременно являются количественными» [295, с. 25]. Дихотомическими (булевскими, бинарными) называются признаки, .множество значений каждого из которых состоит всего из двух элементов. Приведенное выше утверждение о том, что дихотомические признаки являются количественными, В. Г. Миркин, например, обосновывает так: «Множество всех взаимно-однозначных преобразований для дихотомических признаков Совпадает с множеством линейных преобразований. Действительно, "взаимно-однозначное соответствие двух конкретных значений хи х2. вообще говоря, другим двум значениям — у1} у2, может быть задано как линейное с параметрами а и Р, удовлетворяющим соотношениям у і = a-xt + |3 (і = 1, 2), которые при х1 Ф х2 однозначно разрешимы относительно а и |3; причем из а Ф 0 следует ух Ф у2.

Если эти утверждения верны, то говорить о границах применения количественных переменных не приходится, таких границ нет, так как ясно, что любая категоризиро- ванная переменная может быть представлена в виде набора дихотомических (конкретные процедуры такого представления см. в [295, с. 25—28], [8]). Но, к сожалению, эти утверждения неверны.

Прежде всего неверно утверждение о совпадении множества всех взаимно-однозначных преобразований для дихотомических признаков с множеством линейных преобразований. Рассмотрим, например, такое взаимно-однозначное преобразование, являющееся, конечно, допустимым для номинальной шкалы

У1 ~ У 2 ==

Очевидно, что это преобразование не удовлетворяет соотношениям

у. = a-Xi + р.

Рассмотрим другое допустимое преобразование

у. = ЄХР (X;).

Ясно, что это преобразование взаимно-однозначно, но оно не является линейным. Можно утверждать: поскольку у ж х принимают только по два значения, его можно аппроксимировать линейным, но это не то же самое, что совпадение множества линейных преобразований и множества допустимых преобразований для номинальной шкалы, которой описываются измерения дихотомических признаков. Перейти от номинальной или порядковой шкалы к количественной, используя только формальные преобразования переменной^ нельзя; переход от шкалы, харак- теризующейся допустимым преобразованием ср(.г), к количественной возможен, если для этой функции q.(,r) существует решение функционального уравнения (2.13)®