4.2. Измерение — приписывание переменной численного значения 4.2.1. Статистические модели: точность и надежность

Мы предполагаем, что переменная принимает одно, и только одно значение из множества возможных значений, причем в случае количественных переменных это множество либо вещественная прямая, либо некоторое ее подмножество. В результате процедуры измерения получается оценка (не обязательно единственная) единственного истинного значения переменной. Мы, однако, не можем просто записать

где X — множество значений переменной х; а є Х\ R — множество оценок значения переменной х : а є R, R — вещественная прямая; / — правило, устанавливающее соответствие между значениями переменной х = а и оценкой а. Дело в том, что истинные значения х неизвестны, и вместо

а = f(a) = а (4.2)

мы вынуждены использовать выражение

а = g(Vl, . . ., уп), (4.3)

где у і — это фактически наблюдаемые результаты измерения,

і = 1 ~ п, п ^ 1.

При этом предполагается, что результаты измерений как-то связаны с истинным значением переменной. В общем случае можно записать

У І = я + СІ, (4.4)

где еі — ошибка измерения і.

Схема (4.4) описывает так называемые прямые измерения. В более общем случае связь между истинным и наблюдаемым значениями переменной будет сложнее:

h(yh а, е, zm) = 0. (4.5)

Здесь — некоторые константы, т. е. фиксированные значения других переменных.

В настоящее время различию между прямыми (4.4) и косвенными измерениями (4.5) не придается большого значения и (4.4) в литературе по методам обработки наблюдений рассматривается как частный вариант (4.5); в последнем случае усложняются проблемы вычисления и соответственно увеличиваются ошибки вычислений (округление и т.

а - Уг.

Операции измерения формально характеризуются свойствами ошибок 8.

В физике утверждение, что абсолютно точные измерения невозможны, считается практически аксиомой. По расчетам JI. Бриллюэна, чтобы абсолютно точно измерить положение и скорость всех атомов во Вселенной, надо затратить бесконечно много энергии, что, конечно, невозможно [60]. Это имеет самое непосредственное отношение и к измерению значений экономических переменных. Нет четкой грани между физическими и экономическими величинами. В экономических расчетах постоянно используются метры, килограммы, киловатт-часы и т. п., и, следовательно, неизбежные ошибки физических измерений служат источником ошибок регистрации в экономике. Но это не единственный источник ошибок.

Так, существуют различные способы измерения прироста национального дохода. Взвешивание объемов выпуска по ценам текущего года (нндекс Пааше) и по ценам базового года (индекс Ласпейреса) дают обычно разные результаты. Хотя это различие обычно и не велико (5%), все ж ыьх приходим й схеме ошибок регистрации (4.4):

Наблюдаемый (вычисленный по некоторой

схеме построения индек- = Истинный + Ошибка са) рост рост регистрации.

Можно сказать, что в этом случае имеется косвенное измерение: индекс роста вычисляется по непосредственно регистрируемым ценам и объемам выпуска. К ошибкам регистрации добавляется ошибка моделирования. Такого рода ошибки будут рассмотрены ниже.

Важными источниками ошибок регистрации в экономике является реакция на измерение, а также изменение условий регистрации. Пусть, например, регистрируются значения переменных, характеризующих трудовую дисциплину в некоторой организации. Одна из этих переменных — количество нарушений трудовой дисциплины за планово-учетный период. В организацию приходит новый директор. По истечении некоторого времени регистрируется заметное увеличение нарушений трудовой дисциплины.

Количество зарегистри- Количество нару- Ошибка ре- рованных нарушений шений трудовой гистрации.

трудовой дисциплины = дисциплины +

Характерный пример ошибок регистрации такого рода приводит Н. И. Чешенко [471]. При оценке эффективности АСУ необходимо иметь данные об использовании производственных ресурсов до и после внедрения АСУ, в частности надо иметь данные о потерях рабочего времени. На предприятиях в соответствии с установленным порядком эти данные регистрируются в табельном учете (целодневные потери), в «Извещении о простое» — форма № 3, в «Листке на оплату простоя» — форма № 4 и в «Сводке простоев» (внутрисменные простои). «Казалось бы,— отмечает Н. И. Чешенко [471, с. 173—174],— при наличии... документов можно получить необходимые данные, характеризующие использование труда основных рабочих. Однако это не так. Желая показать свою деятельность с выгодной стороны, предприятие порой не обеспечивает должного учета внутрисменных простоев рабочих... Нерешенным еще вопросом на предприятиях является установление минимальной величины продолжительности простоя, с которой начинается учет. В основном такая величина в практике принята равной 30 мин. Простои 29 мин и меньше не учитываются, несмотря на их многократность».

Аналогичные проблемы существуют и при оценке использования производственных фондов, анализе брака и т. п. [218], [300], [467]. Повысить точность и надежность измерений можно в данном случае в результате проведения специальных обследований, важную роль в планировании которых играют современные методы математической статистики.

Точность и надежность измерений ограничена. Даже простой пересчет может содержать случайные ошибки [55]. Но это не значит, конечно, что от измерений следует отказаться. Необходимо контролировать и повышать их точность и надежность.

Контроль этих характеристик измерения представляет в общем случае довольно сложную задачу. Точность измерения h можно охарактеризовать длиной интервала, внутри которого находится, как утверждается, значение измеряемой величины

ан^а^аъ] h ~ — . (4.6)

аь — ан

В идеальном случае абсолютно точного измерения

ан = аъ ^ а-

Надежность Р — это вероятность тогоА что доверительный интервал (4.6) содержит истинное значение измеряемой величины

Р = Р rob {2Н < а <2Ь). (4.7)

Точность и надежность измерения связаны между собой, но в общем случае эта связь не однозначна. Так, возможно одновременное повышение и точности и надежности несмещенных измерений в результате их многократного повторения. Это известная теорема математической статистики. Пусть в схеме (4.4) Мгь = 0, Det < оо и в, независимы. Тогда

^(т 2 ?<)=?» = а,

где п — число наблюдений; уп — средняя арифметическая п наблюдений;

Dyn = De/n (4.8)

и

Dyn 0 (т. е. h оо) при п оо.

Эта теорема играет большую роль в теории измерений* Но может сложиться впечатление, что она противоречит основным законам природы. Например, из этой теоремы можно сделать вывод, что многократно повторяя измерение длины или веса некоторого объекта, можно измерить длину (или вес) со сколь угодно высокой точностью (l/h меньше размеров или веса молекулы), что противоречит атомно-молекулярной теории строения вещества. Противоречия, однако, нет. (4.8) имеет место только при условии, что все измерения (все ег) независимы. На практике же такое условие в полном объеме не выполняется, объект и прибор трансформируются в результате выполнения над ними операций измерения, и поэтому с ростом номера измерения і растет ковариация между и ... гг. В результате Dyn

71-* оо