Интерпретация эластичности спроса
В предыдущих разделах мы связывали свойства функций полезности со свойствами функций спроса. Это же можно сделать и в случае исследования принятия риска. Два свойства функции полезности являются решающими:
- логарифмическая производная функция полезности
= (4-15а)
часто используется как мера абсолютного неприятия риска[51].
- эластичность предельной полезности
Rr = - U"A/U' (4-156)
используется как мера относительного отторжения риска.
Это частные функции полезности, являющиеся функциями конечного богатства А. Читателю, возможно, захочется проверить, что функция полезности, приведенная в Упр. 4-1, везде предполагает RA как константу, а функция из Упр. 4-2 везде
предполагает Rr. Эти свойства обсуждаются далее в замечании в
конце лекции.
Для того чтобы увидеть взаимосвязь с функциями спроса, вспомним из уравнения (4-9), что
— О при - Е [ U"(x - /•)] ^ 0.
oAq
Последнее неравенство можно записать в виде
E[RAU\x- г)} = E[{RA - FCa) U'(x-r)]? 0, (4-16)
где во втором выражении использовано условие первого порядка (мы предполагаем наличие внутреннего решения), и определяем
/гgt;/ила + '*gt;]
(т.е. оценка отторжения риска при х = г). Предположим теперь, что функция указывает на всюду снижающееся абсолютное отторжение риска, т.е. dRA/dAlt;Q. Отсюда следует, что при Хgt; Г, RAlt;RA эластичность спроса по богатству, следовательно, положительна. И наоборот, если абсолютное отторжение риска всюду возрастает, то эластичность по богатству отрицательна. (Это, конечно же, не исчерпывает всех возможных случаев, поскольку производная ЪЯа/ЬА может менять знак.)
Взаимосвязь с относительным отторжением риска становится очевидной из похожего аргумента. В частности, если относительное отторжение риска всюду убывает, то эластичность спроса по богатству для рискового актива будет больше единицы.
Если относительное отторжение риска всюду растет, то эластичность спроса по богатству будет меньше единицы.Упражнение 4-3. Что можно сказать о Ra и Rr в четырех случаях, изображенных на рис. 4-2 (траектории «богатство- портфель»)?
Наконец, следует заметить, что это простое соответствие между свойствами функции полезности и свойствами функции спроса на рисковые активы критически зависит от того, что существует лишь один рисковый актив (Касс и Стиглиц [Cass and Stiglitz, 1972]) и (Харт [Hart, 1975]). В разделе 4-4 мы вернемся к вопросу об обобщении модели портфеля активов.
Выводы
В этом разделе мы исследовали воздействие имущественного и подоходного налогов. Первое из них — чистый эффект богатства, сокращающий инвестиции в рисковый актив в «нормальном» случае, когда эластичность по богатству больше нуля. Подоходный налог обладает эффектом замещения, так что владение рисковым активом возрастет с тем, чтобы сохранить постоянным «частный риск» [Z(1-0I- С другой стороны, социальный риск, измеренный суммой, вложенной в рисковый актив, возрастает, следовательно, вполне вероятно, что подоходный налог может увеличить общий уровень риска, и в соответствии с этим можно рассматривать анализ, проведенный в этом разделе, как контрпримеры к популярному мнению по этому поводу. Однако можно заметить, что такие контрпримеры существенно зависят от предположения о полной компенсации потерь и от других условий налоговой системы, к которым мы сейчас вернемся. •