Элементы многопериодной модели

Предположим, что время разбито на дискретные интервалы равной длины. Их мы будем называть однопериодными интервалами. Инвестиционный горизонт длины Т состоит из Т последовательных неперекрывающихся однопериодных интервалов.

относительный доход за время Т, т. е. отношение «богатства» конечного периода к «богатству» начального периода, через R (Т). Мы пред' полагаем, что относительный доход за один период распределен логнормально и что последовательные относительные доходы одинаково распределены и не зависимы между собой или, по крайней мере, такими они воспринимаются инвестором. Обозначим среднее и дисперсию относительного дохода за время Тчерез \iR(T) и ая2 (Т) соответственно.

Обозначим эффективную доходность за время Гчерез г(Т). Также обозначим среднее и дисперсию г(Т) нерез \t(T) и с2(Т) соответственно. Параметры многопериодной доходности связаны с параметрами однопериодной доходности соотношениями 6.11 и 6.124.

VR(T) = \1R{\)T и \y(T) = \iR(T)-\-              (6.11)

u2(T) = o2R(T) = [\iR(\)2 + a2(\))T-iiR(\)2T.              (6.12)

Параметры однопериодного портфеля даются соотношениями 6.13 и 6.14. Здесь они выражены в терминах относительных доходов, а не в более привычных терминах эффективной ставки дохода.

V-R.P (!) = Zw/ Н/г./ (•);              (6-13)

(1) = 11 w,. wj о,- (1) ctj (1) (и .              (6.14)

Параметры многопериодного портфеля можно получить из параметров однопериодного портфеля, при этом среднее относительного дохода портфеля получается из соотношений 6.11 и 6.13, а дисперсия портфеля — из соотношений 6.12 и 6.14. Как мы будем комбинировать эти соотношения, зависит от того, предполагается переформирование портфеля или нет.

Поскольку различные активы дают различные доходности, выбор схемы взвешивания зависит от желания инвестора.

\Lkp(T) = \lRj,( 1)г;              (6.15)

о/ (V = [ц /J (:I) + а/ (1)] т - р д,; (1):2Т.              (6.16)

Предположение о переформировании обеспечивает стационарность и взаимную независимость относительных доходов портфеля для всех единичных периодов. Это в свою очередь приводит к тому, что многопериодный относительный доход портфеля будет иметь приблизительно логнормальное распределение, каким оно и представлялось в момент начального выбора портфеля5.

Многопериодное эффективное множество

При выполнении уже сделанных предположений однопериодное множество минимальной дисперсии для рискового рыночного портфеля совпадает с многопериодным множеством минимальной дисперсии вне зависимости от длины инвестиционного горизонта. Все портфели, эффективные для однопериодного инвестиционного горизонта, являются эффективными и для многопериодного инвестиционного горизонта. Кроме того, некоторые портфели, которые неэффективны в однопериодном случае (но все еще лежащие на однопериодном множестве минимальной дисперсии), могут оказаться эффективными в многопериодном случае.

Для иллюстрации следующих далее конструкций рассмотрим эффективное множество портфелей, для которого дисперсия портфеля и ожидаемая доходность портфеля связаны соотношением 6.17.

о/ (1) = 0,03 - 0,625 ц, (1) + 5 ц, (I)2.              (6.17)

Некоторые выборочные значения однопериодного множества минимальной дисперсии (в терминах стандартного отклонения доходностей) вместе с соответствующими значениями портфеля для пятипериодного множества минимальной дисперсии представлены в табл. 6.4. Портфели, являющиеся эффективными, помечены звездочкой.

Из таблицы следует, что 5-й и 6-й портфели не являются эффективными в однопериодном случае, но они эффективны в пятипериодном случае. С увеличением инвестиционного горизонта все больше однопериодных портфелей с минимальной дисперсией становятся эффективными в многопериодном случае. Полное одноопериод- ное эффективное множество портфелей представлено на рис. 6.10.

Рис 6.10. Однопериодное множество минимальной дисперсии и эффективное множество

Средняя доходность, %

Дисперсия доходности

Качественные объяснения значения инвестиционного горизонта

Допустим, что оптимальным для инвестора портфелем с однопериодным инвестиционным горизонтом является 7-й портфель из табл. 6.4. Этот портфель имеет однопериодную среднюю доходность 6,5% и однопериодное стандартное отклонение 10,2%.

Далее предположим, что мы рассчитали 90%-ный доверительный интервал для доходностей обоих портфелей (7-го и 10-го) для всех инвестиционных горизонтов от нуля до 50 периодов. Доверительный интервал, построенный для непрерывного множества инвестиционных горизонтов, был назван доверительной трубкой6. Выборочные значения для обоих портфелей представлены в табл. 6.5. Доверительная трубка для 7-го портфеля представлена на рис. 6.11.              ,

Таблица 6.5. Доверительная трубка: 90%

ц,(1) = 6,5%; о,(1) = 10,2% р,(1) = 26,5%; о,(1) = 46,4% (Портфель 7)              (Портфель              10)

Доходность, %

I 6 II 16              21              26              31              36              41              46

Инвестиционный горизонт

Рис. 6.11. Доверительная трубка: верхняя граница, среднее, нижняя граница

Рассмотрим наихудший сценарий (нижняя граница для каждого портфеля) в табл. 6.5; Нижняя граница для более рискового 10-го портфеля дает худший результат по сравнению с менее рисковым 7-м портфелем для инвестиционных горизонтов длины 14 или менее, а уже где-то между горизонтами 14 и 15 она дает тот же результат. Для любого инвестиционного горизонта длины 15 или более при худшем сценарии более рисковый 10-й портфель оказывается предпочтительным по сравнению с менее рисковым 7-м портфелем при том же сценарии. Видимо, любой рациональный не расположенный к риску инвестор будет демонстрировать рост предпочтения, отдаваемого более рисковому 10-му портфелю, с увеличением его инвестиционного горизонта.

Этот пример говорит также о том, что инвесторы будут проявлять все большее предпочтение менее рисковым однопериодным портфелям по мере уменьшения их инвестиционного горизонта, что подтверждается выводами, полученными в результате многочисленных эмпирических данных7.

Критерий допустимых потерь

Приведенные в предыдущем параграфе качественные объяснения роли, которую играет инвестиционный горизонт, наталкивают нас на применение некоторого практического приема для построения более формальной модели оптимизации портфеля в многопериодном случае. Этот прием базируется на критерии выбора, который был назван критерием допустимых потерь".

Критерий допустимых потерь является формальным обобщением доверительной трубки. Как следует из приведенного определения доверительной трубки, нижняя ее граница задает максимальную при заданном уровне доверия реализовавшуюся величину потерь в капитале в процентах от первоначально вложенного капитала и временные рамки, в течение которых эти потери могут быть понесены. Этот доверительный уровень можно перевести в уровень значимости, имея в виду, что критерий допустимых потерь имеет дело только лишь с рисками потерь. Так, 90%-ный уровень доверия преобразуется в 5%-ный уровень значимости для кривой допустимых потерь. В критерии допустимых потерь мы определяем оптимальный однопериодный портфель как портфель, который, если его повторять для каждого периода на всем протяжении инвестиционного горизонта, максимизирует ожидаемую доходность при условии определенных допустимых на конечный момент инвестиционного горизонта потерь первоначально вложенного капитала. Как уже отмечалось, видимо, этот критерий в большей степени согласуется с тем, как индивиды в действительности представляют себе баланс между риском и доходностью, а не с тем, что является общепринятым, но объясняемым в высшей степени абстрактным критерием полезности9.

Хотя методика расчета, применяемая при использовании критерия допустимых потерь, требует вследствие предположения о логнормальности доходностей портфеля довольно сложных вычислений, она сводится к компьютерному решению итеративным способом. Сначала используется квадратичное программирование для нахождения однопериодного эффективного множества. Затем однопериодное эффективное множество с помощью уже приведенных соотношений для многих периодов используется для получения многопериодного эффективного множества. И наконец, применяя к многопериодному эффективному множеству биномиальный алгоритм поиска, можно для любого заданного набора параметров метода допустимых потерь найти оптимальный многопериодный портфель. После всего этого мы возвращаемся к однопериодному эффективному множеству и определяем однопериодный портфель, который, если его держать в течение Т последовательных периодов, даст в результате многопериодный оптимальный портфель. Этот портфель и является оптимальным однопериодным портфелем для инвестиционного горизонта ДЛИНЫ Т. Параметрами метода допустимых потерь служат: 1) длина инвестиционного горизонта; 2) максимально допустимые потери в процентах от размера начальной инвестиции и 3) определяемый инвестором уровень значимости.