Представление ценового риска в процентной форме

Как уже отмечалось, ценовой риск наиболее часто измеряется с помощью хорошо известной статистической оценки, называемой стандартным отклонением. Сейчас мы будем работать в основном с квадратом этой величины, называемой дисперсией (variance).

Таблица 6.2. Цены на медь

Однако в аналитической работе при использовании дисперсии цены возникает серьезная проблема. Она заключается в том, что последовательность «необработанных» цен обычно не является стационарной. Это значит, что среднее и дисперсия цен меняются вместе с изменением уровня цен. В действительности мы в меньшей степени интересуемся дисперсией самой цены, чем дисперсией изменения цены. Но, к сожалению, и последовательность изменений цены часто также бывает нестационарной. Самый простой способ исправить положение состоит в переходе от рассмотрения последовательности изменений цены к рассмотрению последовательности доходностей (доходов в относительных величинах). Мы это сделаем, используя подход, обсуждавшийся в предыдущей главе. Напомним, что доходность за базовый период может принимать форму эффективной (кумулятивной) доходности за период или доходности за период при непрерывном начислении процентов на процент.

'W=ur(',Vgt;-'-              (6Л)

Цена (I)

Таблица 6.3. Последовательности цен на медь и доходностей

Последовательность доходностей с точки зрения анализа имеет ряд преимуществ по сравнению с последовательностью цен. Во-первых, преобразуя последовательность цен в последовательность процентных доходностей, мы добиваемся большей сравнимости различных последовательностей цен. Во-вторых, последовательность доходностей отличается большей стабильностью в том смысле, что для нее среднее и дисперсия в большей степени являются стационарными, чем среднее и дисперсия последовательности «необработанных» цен. Это, правда, не должно означать, что последовательность доходностей непременно будет статистически стабильной последовательностью. И на самом деле, многочисленные эмпирические данные, относящиеся к 60-м гг., свидетельствуют о том, что последовательности доходностей для активов, которыми торгуют на конкурентных рынках, демонстрируют отклонения от стабильных распределений, с которыми мы привыкли и любим работать в статистике1.

Вычисления среднего и дисперсии для последовательности доходностей, представленных в табл. 6.3, элементарны. В случае среднего мы просто суммируем все значения доходностей и делим на количество наблюдений. Дисперсия подсчитывается чуть сложнее. Для ее вычисления мы сначала вычитаем заранее вычисленное среднее из каждого отдельного значения в последовательности наблюдений доходностей. Затем каждую разность по отдельности возводим в квадрат. И наконец, суммируем эти квадраты величин и делим полученную сумму на количество наблюдений минус единица. Эти вычисления представлены формулами 6.2 и 6.3 соответственно.

п

(6.2)

а

(6.3)

2 _ 1(Г(0- Ц)2

п- 1

Статистические оценки, представленные соотношениями 6.2 и 6.3, называются выборочным средним (sample mean) и выборочной дисперсией (sample variance) и обозначаются через ц (мю) и а2 (сигма квадрат) соответственно. Этими названиями подчеркивается, что введенные величины необязательно совпадают с истинным средним и истинной дисперсией генеральной совокупности, из которой были получены десять наших наблюдений. В случае стационарной последовательности доходностей можно утверждать, что чем больше количество наблюдений, из которых получены выборочное среднее и выборочная дисперсия, тем более вероятно приближение выборочных характеристик к истинным значениям генеральной совокупности. Это говорит о том, что точность эмпирических результатов может быть повышена, если использовать более длинные последовательности — немаловажное обстоятельство для квант джоков. Никто больше не занимается подсчетом средних и дисперсий вручную, за исключением случаев, когда объемы выборки очень небольшие.

И еще о дисперсии. Если мы получили дисперсию с помощью приведенных ранее вычислений, то можно вычислить и выборочное стандартное отклонение (для этого следует извлечь из дисперсии квадратный корень). Выборочное стандартное отклонение в дальнейшем часто используется при анализе. В рассмотренном только что примере среднее, дисперсия и стандартное отклонение (все выраженные в процентной форме) равны 1,2872, 2,3659 и 1,5382 соответственно. В предыдущей главе мы изучали доходности в предположении, что денежные потоки, связанные с инвестицией, точно известны. Это бывает справедливо для некоторых источников денежных потоков, таких, как ценные бумаги с постоянным доходом, которые держат до срока погашения, но вовсе не для всех источников денежных потоков. Чаще бывает так, что инвестиции, включая и инвестиции в производство товаров, продаваемых на конкурентных рынках, дают доходности, подверженные риску. Вследствие этого в финансовой деятельности стало общепринятым использовать термин «доходность», или «ожидаемая доходность», понимая под этим средний процентный доход, связанный с некоторой позицией, и использовать термин «риск», имея в виду при этом стандартное отклонение процентного дохода, связанного с позицией. Также общепринятым стало относить эти доходности к периоду в один год, независимо от фактической длины базового периода. После этого уже будет уместным интерпретировать ожидаемую доходность как среднюю ставку дохода (mean rate of return), а риск — как стандартное отклонение ставки дохода (standard deviation of the rate of return). Как мы вскоре убедимся, такая трактовка может не всегда быть удобной в случае, когда инвестиционный горизонт длиннее или короче, чем 1 год.

Количественные аспекты портфельного анализа

В последующем изложении мы не будем требовать, чтобы рассматриваемый период был равен году, и поэтому нам необязательно интерпретировать доходность как годовую ставку дохода. Подразумевается, что все доходности выражены в процентной форме. Тем не менее мы предполагаем, что все доходности рассматриваются за один период — мы лишь не интересуемся длиной этого единственного периода. Пока мы будем считать, что безрисковые активы отсутствуют.

Портфель — это просто совокупность активов. С каждым активом портфеля связаны средняя доходность и дисперсия доходности. Кроме того, с каждой парой доходностей связан коэффициент корреляции. Коэффициентом корреляции доходностей измеряют степень линейной корреляции между двумя доходностями. Коэффициент корреляции должен находиться в пределах от —1 до +1. В любом из крайних случаев мы имеем полную корреляцию. В случае с полной корреляцией флуктуации доходности одного актива полностью определяются флуктуациями доходности другого актива. Если коэффициент корреляции равен +1, то говорят, что доходности полностью положительно коррелированы, если он равен -I, то говорят, что доходности полностью отрицательно коррелированы. Естественно, что доходность любого актива полностью положительно коррелирована сама с собой.

Если корреляция доходностей не совпадает с -1 или +1, то говорят, что доходности не полностью (частично) коррелированы. Если коэффициент корреляции находится посредине между двумя крайними значениями, т. е. он равен нулю, то говорят, что доходности не коррелированы.

Чтобы различать активы портфеля между собой, нам нужно ввести соответствующую индексацию. Кроме того, нам нужно еще ввести обозначения для коэффициента корреляции. Мы обозначим доходность актива / через г, среднее величины г. через р. и дисперсию г. через а2. Мы будем обозначать корреляцию между доходностями актива /' и актива j через f (ро).

Как и в случае со средними и дисперсиями, коэффициенты корреляции вычисляются с помощью электронных таблиц, статистических пакетов и специальных калькуляторов. Для подсчета коэффициента корреляции нам нужно сначала вычислить ковариацию между двумя доходностями. Ковариация между доходностями актива і и актива j обозначается через о . Формула для вычисления а. дается соотношением 6.4, а коэффициент корреляции рассчитывается через ковариацию и стандартные отклонения по формуле 6.5.

п- I

(6.4)

(6.5)

Теперь у нас есть все необходимое для получения средней доходности и дисперсии доходности для портфеля активов в целом. Обозначим доходность портфеля через г , среднюю доходность портфеля через и дисперсию доходности портфеля через а \ Нам осталось решить, каким образом взвешивать различные активы при их включении в состав портфеля. Мы обозначим вес актива / через w. и будем считать, что всего в портфель включено п активов. Сумма используемых нами весов должна равняться единице (100%). (Если сумма весов меньше единицы, то это означает, что мы допускаем, чтобы часть средств оставалась без дела.) Характеристики портфеля связаны с характеристиками отдельных доходностей (средними, дисперсиями и коэффициентами корреляции) формулами 6.6, 6.7 и 6.8 соответственно1.

(6.6)

(6.7)

п п

Доходность портфеля г и средняя доходность портфеля ц легко интерпретируются. Обе эти величины являются взвешенными средними соответствующих характеристик для отдельных активов. Более сложно воспринять смысл дисперсии доходности а2. Она является суммой произведений (каждое из которых состоит из пяти сомножителей). Первые два сомножителя в произведении являются весами, вторые два — стандартными отклонениями, а последний сомножитель представляет собой коэффициент корреляции. Эти произведения подсчитываются для любой пары /' и j. Всего под знаками суммирования должно быть п ¦ п или п2 таких произведений.

Формулу 6.8 можно упростить (при этом уменьшится объем необходимых вычислений), если учесть два обстоятельства. Во-первых, при совпадении і и j произведение w. w с. а. Г. превращается в w2 с Л Это происходит в силу того, что корреляция любой доходности с самой собой, по определению, равна единице. Во-вторых, при разных / и j произведения vv. vv а. а. Г. и vv. vv. а а, Гу. равны между собой и их можно один раз включить в сумму с удвоением коэффициента. Имея это в виду, можно переписать формулу 6.8 в виде формулы 6.9.

П              II              П

°l=I w‘ +2 ¦ El1"- wju?              (6-9)

і              і              j

(1) (2)

Хотя два различных способа представления дисперсии портфеля дают один и тот же результат, есть определенные преимущества в использовании именно соотношения 6.9. При таком разложении дисперсии более отчетливо видно, что портфельный риск состоит из двух различных компонент. Первая, помеченная цифрой «1», определяет риск, связанный только с дисперсиями отдельных доходностей. Этот риск называется несистематическим риском (иногда о нем говорят как о специфическом риске). Вторая компонента риска, помеченная цифрой «2», определяет риск, связанный с корреляциями между доходностями активов, включенных в портфель. Этот риск называется систематическим риском (иногда его называют также рыночным риском).

Значение разделения риска на несистематический и систематический состоит в том, что эти виды риска ведут себя совершенно по- разному, когда количество активов, включаемых в портфель, увеличивается. Предположим, что различные активы, включаемые в портфель, имеют примерно одинаковые веса. Положим w = 1/я, тогда с расширением портфеля несистематический риск становится все меньше (на языке статистики мы говорим, что риск асимптотически приближается к нулю). Поведение несистематического риска представлено на рис. 6.2.

Несистематический

риск

Количество активов (ценных бумаг) в портфеле

Систематический же риск ведет себя совершенно по-другому. С увеличением количества активов, включаемых в портфель, систематический риск сходится к среднему по всем ковариациям для всех пар активов, включенных в портфель. Поведение систематической компоненты риска с увеличением количества активов, включенных в портфель, представлено на рис. 6.3.

Для целостного восприятия последствий диверсификации для общего риска портфеля следует, разумеется, объединить картины поведения несистематической и систематической компонент. Общая картина представлена на рис. 6.4. Заметим, что уменьшение несистематической компоненты риска перевешивает увеличение систематической компоненты (при условии, что по меньшей мере некоторые из коэффициентов корреляции не равны +1).

Систематический

риск

Количество активов (ценных бумаг) в портфеле

Поведение несистематического и систематического рисков высвечивает много важных моментов. Во-первых, если доходности активов не являются полностью положительно коррелированными, то диверсификация портфеля уменьшает дисперсию (риск) портфеля беі адекватного уменьшения средней доходности. (Это обстоятельство, в особенности для не расположенного к риску инвестора, дало повод называть диверсификацию «единственным бесплатным завтраком в экономике».) Во-вторых, в случае хорошо диверсифицированного портфеля несистематическим риском можно пренебречь, так как он в любом случае стремится к нулю. Здесь суть заключается в определении «хорошо диверсифицируемый». Существует несколько мнений по поводу того, сколько нужно иметь активов в портфеле, чтобы он считался хорошо диверсифицируемым. Одним специалистам бывает достаточно 15 активов, в то время как другие требуют, по меньшей мере, 60. Некоторая условная, основанная на эмпирике, норма сводится к 30. И наконец, поскольку систематический риск не исчезает за счет диверсификации, с ним нужно работать и им нужно управлять. К счастью, развитие портфельной теории сделало это относительно несложным делом, по крайней мере в случае портфеля акций.

Количество активов (ценных бумаг) в портфеле

Общий

риск

Рассмотренная нами портфельная теория является основой для многих разработок финансовых инженеров. В частности, на ее основе строится модель ценообразования фиксированных активов (capital asset pricing model (САРМ). Эта модель поведения цен на акции является весьма полезной для определения истинной доходности, которая будет обеспечиваться ценной бумагой, на основе исключительно определения вклада этой бумаги в систематический риск портфеля. Идеи портфельной теории лежат и в основе теории хеджирования. Хедж (hedge) — это позиция, которую используют для компен-

сации ценового риска, связанного с какой-либо другой позицией (называемой наличной позицией). Хедж только тогда бывает эффективном, когда доходности хеджирующего инструмента и доходности наличной позиции коррелированы. Чем сильнее коррелированы эти доходности (неважно — положительно или отрицательно), тем более эффективным будет хедж. (Это приложение портфельной теории более подробно рассматривается в следующей главе.)

Нерасположенность к риску и портфельный анализ

В главе 4 утверждалось, что основным постулатом финансовой теории является то обстоятельство, что рационально действующий субъект не расположен к риску. Иными словами, рациональные люди (с «правильными» функциями полезности) не любят рисковать. Однако вместе с тем мы говорили, что не все субъекты одинаково не расположены к риску. Некоторые совсем не расположены к риску и совсем не хотят рисковать, чтобы получить доходность выше средней. Другие не расположены к риску в умеренной степени и готовы подвергать себя риску для получения доходности выше средней. Первых мы будем называть консервативными в финансовом отношении, а вторых — агрессивными. Теперь мы рассмотрим такое отношение к риску в более формальном плане и сделаем это в контексте портфельной теории.

Во-первых, предположим, что нам удалось построить множество портфелей, которые для каждого уровня доходности характеризуются наименьшим риском. Это множество портфелей называется множеством минимальной дисперсии. Можно показать, что множество минимальной дисперсии для портфелей имеет квадратичную форму и на графике выглядит как парабола. Эффективное множество портфелей является подмножеством множества минимальной дисперсии, которое лежит выше точки портфеля с минимальной дисперсией (minimum variance portfolio (MVP), рис. 6.5. Эти портфели построены в координатах «риск-доходность» (на вертикальной оси откладывается средняя доходность, а на горизонтальной — стандартное отклонение). В каждый заданный момент времени получаемое эффективное множество портфелей может рассматриваться как отражение текущего состояния экономики.

В качестве примера для изображения на графике типичного эффективного множества мы воспользуемся квадратичной зависимостью, задаваемой соотношением 6.10, и ограничимся рассмотрением тех портфелей, которые лежат выше портфеля с минимальной дисперсией. Эффективное множество представлено на рис. 6.6.

Стандартное отклонение доходности, %

~ 0,01 — 0,2 р/; + 2 (X2.              (6-gt;°)

Любая функция полезности, описывающая рациональное поведение, порождает кривую безразличия, которая изображена на рис. 6.7. Кривая безразличия является множеством комбинаций риска и доходности, которые обеспечивают одинаковую полезность. Таким образом, комбинация риска и доходности, связанная с портфелем А, и комбинация риска и доходности, связанная с портфелем В, обеспечивают одну и ту же степень удовлетворенности (полезность), так как они находятся на одной и той же кривой безразличия. Отметим, что, хотя риск портфеля В превосходит риск портфеля А, снижение полезности за счет увеличения риска компенсируется большей доходностью. Полное множество кривых безразличия, описывающих индивидуальные функции полезности, называется картой безразличия. Заметим, что полезность возрастает, когда инвестор перемещается по карте в направлении «влево и вверх».

Стандартное отклонение доходности, % Рис. 6.7. Карта безразличия инвестора

Средняя доходность, %

Наложением индивидуальной «сугубо личной» карты безразличия на эффективное множество имеющихся портфелей мы можем определить, какой именно портфель максимизирует полезность инвестора. Портфель, максимизирующий полезность инвестора, называется оптимальным портфелем, и он определяется моментом касания индивидуальной карты безразличия эффективного множества портфелей. Оптимальный портфель, найденный таким образом, представлен на рис. 6.8 в качестве портфеля О.

Рис. 6.8. Оптимальный портфель инвестора

Средняя доходность, %

I              I              I              I              I              I              !              !              I

18 16 И 12 10 8 6 4 2 0

0              2              4              6              8              10              12              14              16              18              20

Стандартное отклонение доходности, %

Приведенные ранее рассуждения можно использовать для объяснения того, почему некоторые люди выбирают более консервативные портфели, а другие — более агрессивные. Ответ заключается в наклоне их кривых безразличия. Два таких инвестора противопоставляются на рис. 6.9. Инвестор 1 выбирает очень агрессивный портфель (высокая доходность и высокий риск), в то время как инвестор 2 выбирает очень консервативный портфель (низкая доходность и низкий риск). Оба ведут себя рационально, однако оптимальными для них являются разные портфели.

Стандартное отклонение доходности, %

Роль инвестиционного горизонта (фактор времени)

є

До сих пор мы предполагали, что портфель мы выбираем на один период. Теперь мы изменим это допущение с тем, чтобы иметь возможность анализировать поведение портфеля в течение нескольких периодов. Это необходимо для понимания того, как будет меняться оптимальный портфель инвестора при изменении его инвестиционного горизонта. Есть одно осложняющее обстоятельство, связанное с квадратичной функцией полезности, которую мы использовали для получения кривых безразличия в однопериодном случае и которую нелегко распространить на многопериодный случай. Мы решим эту проблему, используя критерий оптимизации, который мы назовем критерием допустимых потерь (drawdown criteria). Было установлено, что критерий допустимых потерь согласуется со способом, при помощи которого инвесторы в действительности выбирают портфели, а кроме того, он согласуется также и с критерием полезности.

Финансовые теоретики и практики, как правило, не придавали значения длине инвестиционного горизонта в вопросах анализа портфелей и выбора оптимального портфеля. Однако игнорировать длину инвестиционного горизонта можно было бы только при том условии, если 1) оптимальный портфель не зависел бы от длины инвестиционного горизонта либо 2) у всех инвесторов был бы общий горизонт и этот горизонт в точности совпадал бы с промежутком времени, в котором определены доходности. Вторая из этих возможностей может быть легко отвергнута сразу. Первую же отвергнуть значительно труднее, но и она, тем не менее, может быть отвергнута.

В этом параграфе мы демонстрируем, что уровень риска, связанного с данным портфелем, неодинаков для всех инвесторов. Иными словами, разные инвесторы, рассматривающие один и тот же портфель, будут ощущать разную степень риска. Эта разница в восприятии не иллюзия, а скорее определяется взаимосвязью между уровнем риска портфеля и длиной горизонта инвестора. В целом чем длиннее горизонт инвестора, тем выше уровень риска у заданного однопериодного портфеля. Таким образом, при прочих равных условиях инвестор с более длинным горизонтом, видимо, более терпим к риску, чем инвестор с более коротким горизонтом. Итак, риск в значительной степени является делом восприятия, а восприятие является функцией длины инвестиционного горизонта. (При использовании термина «восприятие» вовсе не имеется в виду термин «нереальный». Скорее мы хотим подчеркнуть то обстоятельство, что разные люди, смотрящие на одни и те же вещи, могут видеть и видят их по-разному, но все точки зрения, тем не менее, вполне реальны.)

Чтобы понять важность длины инвестиционного горизонта и то, как будут вести себя инвесторы, максимизирующие полезность, когда их горизонты будут меняться, нам нужно остановиться на количественной стороне анализа многопериодного портфеля. Мы могли бы упростить наши выкладки, проведя анализ в терминах мгновенных доходностей, однако это увело бы нас от наших прежних характеристик доходностей (среднего и дисперсии) и изменило бы характер статистических распределений. Поэтому мы будем делать наши выкладки, используя эффективные доходности.