Кривая доходности для облигаций с нулевым купоном
В течение длительного времени обычной практикой было строить кривые доходности долговых инструментов в зависимости от сроков их погашения. Кривые доходности обычных долговых инструментов Казначейства как функции срока их действия сейчас называются обычными кривыми доходности.
Если кривая построена для обычных облигаций, которыми торгуют по цене, близкой к номиналу, то ее иногда называют номинальной кривой доходности. Однако и финансисты- практики, и финансисты-теоретики неоднократно указывали, что такие кривые доходности в лучшем случае неточны, так как при их построении срок действия безоговорочно считается единственной определяющей характеристикой доходности свободных от кредитного риска инструментов. Пытаясь избавиться от этого недостатка, аналитики начали строить кривые зависимости доходности от дюрации для обычных инструментов Казначейства. Аргумент в пользу такого выбора состоит в том, что дюрация — лучшая мера чувствительности процентной ставки долгового инструмента, нежели срок погашения. Как ни привлекателен этот аргумент, но кривая доходности как функции дюрации никогда не вытесняла привычных известных кривых доходности.Атут как раз и появились облигации с нулевым купоном. Доходность «зеро» — это чистая характеристика условий спроса и предложения по ссужаемым средствам с заданным сроком действия, так как по каждой облигации «зеро» производится единственная выплата в один и только один момент времени. Появление программы STRIPS привело к созданию высокостандартизованного продукта с нулевым купоном и континуумом сроков действия. Интереснейшая черта, свойственная только облигациям «зеро», состоит в том, что для них срок действия и дюрация (по Маколи) совпадают. А если это так, то кривая доходности для облигаций с нулевым купоном — это в чистом виде отражение условий спроса и предложения для ссужаемых средств в зависимости от континуума дюраций и сроков действия.
Неудивительно, что кривая доходности облигаций с нулевым купоном, которую иногда называют кривой доходности спот, стала важным аналитическим инструментом и в финансовом анализе, и в финансовой инженерии. Кривая доходности облигаций с нулевым купоном и обычная кривая доходности на 13 сентября 1990 г. представлены нарис. 17.3. (Заметим, что по горизонтальной оси — неравномерный масштаб.)
Рис. 17.3. Кривые доходности: обычная и для «зеро»
(13 сентября 1990 г.)
обычная; «зеро»
Доходность
Кривая доходности для облигаций с нулевым купоном, изображенная на данном рисунке, построена по непосредственным наблюдениям, соответствующим облигациям с нулевым купоном, полученным путем «обдирания» обычных облигаций Казначейства (по программе STRIPS Казначейства США). Облигации с нулевым купоном, использовавшиеся для построения этой кривой доходности, оказались значительно менее ликвидными, чем те обычные облигации Казначейства, с помощью которых они и были созданы. Этот факт привел к мысли о том, что кривая доходности спот необязательно репрезентативна по отношению к истинной кривой доходности облигаций с нулевым купоном. Чтобы справиться с этой ситуацией, те, кто хотел бы пользоваться надежной кривой доходности облигаций с нулевым купоном, предложили простую вычислительную процедуру получения наведенной (implied) кривой доходности облигаций с нулевым купоном из номинальной кривой доходности. Такая процедура, которая иногда называется бутстрэппингом (bootstrapping), может быть применена к построению наведенной кривой доходности для облигаций казначейства с нулевым купоном, наведенной кривой доходности для корпоративных облигаций с нулевым купоном, наведенной кривой доходности для муниципальных облигаций с нулевым купоном и наведенной кривой с нулевым купоном для свопов. Последняя кривая применяется для рыночной переоценки портфеля свопов.
Процедура построения наведенной кривой доходности для облигаций с нулевым купоном нуждается в разъяснении. Пусть имеются обычные 6-, 12- и 18-месячные облигации, обращающиеся по цене, близкой к номиналу (предположим, что все они продаются по номиналу). Листинг этих облигаций представлен в табл. 17.1 вместе с наведенной доходностью облигаций с нулевым купоном.
Таблица 17.1. Наведенная доходность облигаций с нулевым купоном
| Срок действия (в годах) | Ставка купона | Периодический купон | Обычная доходность | Наведенная доходность облигаций с нулевым купоном |
| 0,5 | 8,000 | 4,0000 | 8,000% | 8,000% |
| 1,0 | 8,250 | 4,1250 | 8,250 | 8,255 |
| 1.5 | 8,375 | 4,1875 | 8,375 | 8,384 |
Мы знаем, что доходность — это ставка дисконтирования, которая позволяет уравнивать текущую стоимость будущих денежных потоков с текущей рыночной ценой облигации. Согласно этому подходу предполагается, что все денежные потоки дисконтируются по одной и той же ставке — доходности облигации к погашению. Но облигацию можно рассматривать и как на серию облигаций с нулевым купоном. Тогда каждый из индивидуальных денежных потоков должен быть дисконтирован по доходности, соответствующей его сроку погашения. Поэтому два представления текущей стоимости, приведенные в уравнении 17.1, должны давать одну и ту же рыночную цену.
][CF, [l+Cy,/2)r' = ?cF, [1 + (k/2)] = Цена, (17.1)
где CFI — денежный поток, который будет получен в период t (t = 1 для денежного потока, который будет получен через 6 месяцев, t = 2 для денежного потока, который будет получен через 12 месяцев, и t = 3 для денежного потока, который будет получен через 18 месяцев); У' — соответствующие доходности облигаций с нулевым купоном для денежных потоков, которые будут получены в момент ((7 = 1,2, 3); к — доходность инструмента к погашению.
Так как у облигации с 6 месяцами до срока погашения уже реализованы все денежные потоки, кроме последнего, ее доходность к погашению такая же, как и доходность 6-месячной облигации с нулевым купоном. Поэтому у, равно 8,000%. Мы можем использовать эту информацию, чтобы получить наведенную 1-летнюю ставку для облигаций с нулевым купоном, используя 12-месячную обычную облигацию. Расчет, при котором используют левую часть уравнения 17.1, приводится далее:
4,125 (1 + 0,04000)-' + 104,125 [(1 + (у2/2)]~2 = 100.
Произведя простые арифметические действия, мы можем разрешить это уравнение относительно у2, получив при этом 8,255%. Читатель может это проверить. Теперь, зная 6-месячную и 12-месячную наведенные ставки для облигаций с нулевым купоном, мы можем использовать эту информацию для получения 18-месячной наведенной ставки для облигаций с нулевым купоном. Расчет имеет следующий вид:
4,1875 (1,0400)-' + 4,1875 (1,041275)-2 + 104,1875 [1 + (у/2)]“3 = 100.
Читатель может убедиться, что у, примерно равен 8,384%. Затем подобная процедура применяется, чтобы получить все наведенные доходности для облигаций с нулевым купоном вплоть до предельного срока действия для обычных выпусков.