5. Многоразовое наращение в течение года
Начисление процентов может осуществляться не только ежегодно, но и чаще. Так, условия банковского депозита могут включать двухразовое начисление в течение года. Например, 1 млн.
руб. под 22% годовых при одноразовом начислении обеспечит следующие потоки денежных средств: FV? - 1,22 млн. руб.; FV2 = 1,488 млн. руб.; FV3 — 1,816 млн. руб. При начислении процентов два раза в год число периодов начисления удваивается, т.е. теперь число начислений равно 2n, т.е. 6 периодам. Каждые 6 месяцев по банковскому депозиту будут начисляться 11% (i/2). Схема поступления денежных средств будет выглядеть следующим образом:
FV3 = PV x (1 + i/2)nm,
где m = 2; i/2 (процентная ставка за период) = Ежегодная процентная ставка / Число раз начислений в год; п/т — общее число начислений за рассматриваемый период. FV3 = 1 млн. х (1 + 0,1)6 = 1,87 млн. руб.
При начислении процентов один раз в год FV3 =1,816 млн. руб. Будущая оценка при большем числе начислений процента выше, чем при одноразовом. Табл. П.1 показывает будущую оценку на конец года (FV?) при ежегодной процентной ставке 22% и различных вариантах начисления процентов.
Таблица П. 1. Будущая оценка и доходность 1 млн. руб. при
различных вариантах начисления процентов
| Начисление процентов | Будущая оценка при t=22% | Фактическая доходность в абсолютном выражении, % |
| Один раз в год Два раза в гол Ежеквартально | 1 млн. х (1 + 0,22) 1 млн. х (1 + 0.22/2)2 1 млн. х (1 + 0,22/4)4 | (1,22) - 1 = 0,22 или 22% (1 + 0.22/2)2 - 1 = 0,232 или 23,2% (1 + 0,22/4)4 - 1 = 0,239 или 23,9% |
В финансовых расчетах используются различные периоды начислений процентов. По банковским депозитам начисление может проводиться ежемесячно, раз в 3 месяца или в 6 месяцев.
В мировой практике по большинству облигационных займов предусмотрены 6месячные периоды начисления процентов, а по акциям — ежеквартальное начисление дивидендов. Для сравнения активов с различными периодами начисления процентов необходимо привести их к единой базе сравнения.Наряду с термином ежегодная процентная ставка (как ставка, предполагающая начисление процентов раз в год) используется термин эффективная процентная ставка. Эффективная процентная ставка есть такая ставка, которая обеспечивает получение такой же будущей оценки денежных потоков, как при годовой процентной ставке, т.е. FV (Годовая процентная ставка i) = FV (Эффективная процентная ставка) на одном отрезке времени. Задача заключается в нахождении численного значения эффективной процентной ставки по значениям i и т (i - ежегодная ставка процента, которая фиксируется в договоре, т — число начислений в году).
В рассмотренном выше примере эффективная процентная ставка обеспечивает получение FV= 1,87 млн. руб. на конец третьего года. Эффектив-
ная процентная ставка может быть найдена из уравнения: r = (1 + i / т)т - 1 При двухразовом начислении процентов и ставке 22% эффективная ставка составит (1 + 0,22 /2)2 - 1 = 0,232 (23,2%).
При начислении процентов более одного раза в год расчет будущей оценки (FV) денежного потока можно проводить двумя способами: использовать как базу расчетов не ежегодные значения, а значения по периодам: Число периодов = Число лет х Число начислений в году = пт; Процентная ставка = Ежегодная процентная ставка / Число начислений в год. Например, пт = 6, i / 2 = 11%, FVn= PVx (1 + i / rn)nm = 1 млн. х (1 +0.11)6 = 1,87 млн.; при заданном числе лет использовать в расчетах эффективную процентную ставку FVn = PVx (1 + Эффективная процентная ставка)n = 1 млн. х (1 + 0,232)3 = 1,87 млн. руб.
При ежедневном начислении процентов FVn = PVх (1 + i / 3 6 5)365n. В ряде случаев проценты начисляются не дискретно (1, 2, 4 раза в год), а непрерывно.
В табл.
П.2. эффективная процентная ставка приведена как функция частоты наращений.Таблица П. 2. Эффективная процентная ставка как функция частоты наращений
| Частота наращений | % | т | Вычисление | Эффективная ставка, % |
| Один раз в год | 10 | 1 | 0,1 | 10 |
| Два раза в год | 10 | 2 | (1 + 0,1/2)2 - 1 | 10,25 |
| Ежемесячно | 10 | 12 | (1 + 0,1/2)12 - 1 | 10,47 |
| Ежедневно | 10 | 365 | (1 + 0,1/2)365 - 1 | 10,5156 |
| Непрерывное | 10 | exp0,1 — 1 или e03 — 1 (иная форма записи) | 10,5171 |
Непрерывное начисление процентов
Формула расчета будущей оценки при непрерывном начислении процентов может быть выведена из общего выражения для многократного начисления за год:
FV = PVx (1 + i /т)™.
Так как lim (1 +1/x)x = е = 2,71828 (е или ехр — основание натуральных логарифмов при х ^ да ) и в выражении FVn для непрерывного начисления т ^ да, можно преобразовать выражение (1 + i / m)nm к виду [(1 + i / m)m /' ]in. Так как i фиксировано, то при т ^ да / i ^ да, а [(1 + i /
т)т/і]in, где е = 2,71828. Таким образом, FVn = PV x e'n.
Например, если 1 млн. руб. инвестируется с непрерывным процентом под 10% годовых на 4 года, то FV4 = 1 млн. х е0,1 x 4 = 1491,82 млн. руб. Это максимально возможное значение будущей оценки на конец четвертого года при фиксированном проценте.
При непрерывном начислении процентов, как обратной по отношению к наращению процедуры, может быть найдена текущая оценка (PV) будущего денежного потока (FVn):
FV PV = —^.
em
Например, если договор предусматривает получение 1 млн. руб. через 10 лет при непрерывном начислении процента, то текущая оценка инвестируемой суммы рассчитывается как 1 млн.
/ 2,718280,2 x 10 = 0,135 млн. руб. Это минимально возможная сумма инвестирования для получения при ставке 20% 1 млн. руб. через 10 лет.В практике кредитования непрерывные проценты — явление редкое. Большее применение непрерывное наращение (и соответственно дисконтирование) находит при обосновании инвестиционных решений через учет изменения процентных ставок (например, по определенной функции). Часто используются следующие функции изменения ставки процента: линейная it = i0 + at. Значения процентных ставок: i0,ij,i2,...,it.
\(it )dt = J(i0 + att)dt = i0 x n + an2 /2. FVn = PV x e'0+an/2. экспоненциальная it = i0 x at.
\(it )dt = (an - 1)(i0)/ln a . FVn = PV x ed , где d = (an - 1)(i0)/ln a.
Другим путем применения непрерывных процентов являются модели определения форвардной, фьючерсной цен и иены опциона. Эти модели часто строятся на основе непрерывно начисляемого процента из-за компактности поручаемых формул. В связи с этим нередко требуется пересчитать непрерывно начисляемые проценты в эквивалентные годовые с фиксированным начислением раз в году (например, т раз) и решить обратную задачу - пересчитать проценты, начисляемые т раз в год. в эквивалентные непрерывно начисляемые. Формулы пересчета:
r = m[ln(1 + i/m)J i = m(er/m -1), где r — непрерывно начисляемый процент;
i — эквивалентный процент, начисляемый т раз в год.
Например, непрерывно начисляемый процент равен 18% (табл. П.З). Эквивалентная ему ставка процента с одноразовым начислением будет найдена следующим образом: i = 1 х (е0,18 - 1) = 0,1972 (19,72%). Это означает, что будущая оценка 1 ден. ед. через год при одноразовом начислении процента даст ту же величину будущей оценки при ставке 19,72%.
Таблица П.З. Расчет эквивалентного процента
| Начисление процентов | Расчет эквивалентного процента | Проверка: будущая оценка процента 1 ден. ед. через год |
| Непрерывное при 18% Один раз в конце года Два раза в год Четыре раза в год Ежемесячно | 18% 1(e018 -1)= 0,1972(19,72%) 2(e018/2 -1)= 0,18835(18,8%) 4(e018/4 -1)= 0,18411(18,4%) 12(e018/12 -1)= 12х0,151 = 0,18136 (18,1%) | 1 х е018 = 1,1972 1 х (1 + 0,1972) = 1,1972 1 х (1 + 0,18835/2)2= 1,1972 I х (1 + 0,18411/4)4 = 1,1972 1 х (1 + 0,18136/12)12= 1,1972 |
Из таблицы видно, что если по финансовому активу предполагается получить 18,4% годовых и процент начисляется четыре раза в год, то непрерывно начисляемый процент равен 18%, что дает и формула: r = 4 [ln (1 + 0,184/4)] = 0,17999 (18%).
Умение пересчитывать многоразовое начисление процентов требуется для расчета текущей или будущей оценки денежных потоков при поступлении средств не в конце года (как обычно предполагается), а непрерывно. Например, рассматривается ежегодное поступление денежных средств в размере РМТ на бесконечном временном промежутке. Для нахождения текущей оценки аннуитета необходимо задать ставку процента и характер начисления. Если поступление денег происходит в конце каждого года, то текущая оценка рассчитывается по уже известной формуле PV= PMT/i, где i — годовая ставка процента при одноразовом начислении. Если поступление происходит непрерывно в течение неограниченного периода времени начиная с начала года,
то в качестве ставки дисконтирования должна фигурировать ставка процента, эквивалентная непрерывному начислению. Требуется
пересчитать i в эквивалентную ставку r. r = 1 [In (i + 1)].
PV = РМТ/ In (i + 1).
Так, при годовой процентной ставке 10% и ежегодном поступлении 10 ден. ед. текущая оценка бессрочного аннуитета при поступлении денег в конце каждого года будет равна 10/0,1 = 100, а при непрерывном поступлении эквивалентная ставка равна In (1,1) = 0,0953 и текущая оценка составит 10/0,0953 = 104,93. Амортизация (поэтапное погашение) ссуды
Одной из важнейших сфер применения концепции временной стоимости денег является расчет погасительных сумм для займов, когда заем погашается поэтапно. В ряде случаев договор займа предусматривает частичное погашение до окончания срока договора, когда выплачивается не только процент, но и часть основной суммы займа (например, жилищные займы, коммерческие займы). Если ссуда погашается в течение срока договора серией равных периодических платежей (периодичность может быть месячная, квартальная или годовая), то такая ссуда называется амортизируемой. Амортизация в данном случае рассматривается как процесс постепенного погашения ссуды равными платежами.
Предположим, корпорация взяла ссуду 1 млрд. руб., и погашение предполагает три равных платежа — в конце будущих трех лет. Кредитор должен получить 20% суммы займа, имеющейся на начало каждого года. Задача заключается в нахождении трех равных платежей (обозначим их величиной РМТ). Схема денежных потоков будет иметь для данного примера вид, показанный на рис. П.8.
Величина ссуды 1 млрд. руб. является текущей оценкой аннуитета, равного РМТ, на период три года с процентной ставкой 20%. Таким образом, для расчета
погасительных сумм РМТ необходимо приравнять текущую оценку (сумму полученной ссуды) к текущей оценке 3-летнего аннуитета. 1 млрд. руб. = PV = РМТ / (1 + i) + РМТ / (1 + i2) + РМТ / (1 + i3); i = 20%;
3
1 млрд. руб. = ^ [PMT /(1 + 0,2)t ].
t=1
В общем случае величина ссуды приравнивается к текущей оценке аннуитета:
PV = ?[ PMT / (1 + i) ],
t=1
где п — период погашения займа,
i — ежегодная процентная ставка.
1 млрд. руб. = РМТ х PVIFA (20%, 3 года) = РМТ х 2,1065. РМТ = 0,475 млрд. руб. В рассматриваемом примере корпорация должна будет платить кредитору в конце каждого года 475 млн. руб. Относительная величина затрат для заемщика составит 20% годовых, и соответственно доходность кредитора от данной финансовой операции также составит 20%. Следует заметить, что проценты в данном случае начисляются не на первоначальную сумму долга (1 млрд. руб.), а на фактически оставшуюся задолженность на начало каждого года. Задолженность года t + 1 = Задолженность года t — Погасительная составляющая РМТ для t = 1,..., п - 1. Такой метод начисления процентов называется актуарным.
Величина ежегодного платежа РМТ включает и процент за заем денег, и частичное погашение основной суммы. Разбивка величины ежегодного платежа на две части — процентную и погасительную — носит название структуры амортизируемой ссуды. Процентная составляющая ежегодного платежа РМТ рассчитывается домножением значения суммы ссуды на начало каждого года на процентную ставку (например, для первого года процентная составляющая равна 1 млрд. руб. х 0,2 = 200 млн. руб.) Погасительная составляющая может быть найдена как разность полученной величины РМТ и процентной составляющей: 475 млн. - 200 млн. = 275 млн. руб.
Таким образом, РМТ включает две компоненты: 200 млн. — процентная составляющая и 275 млн. — погасительная составляющая. На начало второго года задолженность составит не 1 млрд. руб., а 725 млн. руб. (1 млрд. - 275 млн.)
Если известны ежегодные суммы погашения, могут быть найдены суммы задолженности на начало каждого года: для первого года задолженность составляет 1 млрд. руб., для второго — 0,725 млрд. руб. (1 млрд. - РМТ), на начало третьего года задолженность составит 395 млн. руб. (1 млрд. - РМТ- РМТ). На конец третьего года заем будет погашен (погасительная составляющая третьего года должна быть равна задолженности на начало года, т.е. 395 млн.). Структура амортизируемой ссуды показана в табл. П.4.
Таблица П. 4. Структура амортизируемой ссуды, млн. руб.
| Годы | Задолженность на начало года | Равные ежегодные платежи РМТ процента | Процентная составляющая РМТ | Погасительная составляющая РМТ |
| 1 | 1000 | 475 | 200 | 275 |
| 2 | 725 | 475 | 145 | 330 |
| 3 | 395 | 474 | 79 | 395 |
| 4 | 0 |
Процентная составляющая имеет наибольшее значение в первый год и снижается с уменьшением суммы задолженности. Для кредитора процентная составляющая является налогооблагаемым доходом.
Упрощенная формула для расчета:
Значение аннуитета = PMT(PV ) = PV х
i,n 1 —1/(1 + i) n
Например, индивид решил приобрести жилье в рассрочку. Требуется 200 тыс. долл. для покупки дома. Если используется 30-летняя закладная с ежемесячными платежами, то при ежегодной процентной ставке 8% расчет следует проводить следующим образом:
а) месячная процентная ставка по займу = 0,08/12 = 0,0067;
б) ежемесячный платеж по закладной = 200 х (0,0067 / (1 - 1 / 1,006712x30) = = 200 тыс. (0,0067 / (1 - 1/1,0067360) = 1473,11 тыс. долл.
Этот ежемесячный платеж является возрастающей функцией от процентной ставки.
Другой пример — покупка новой машины, которая стоит 15 тыс. долл. Продавец предлагает два варианта: й — специальное финансовое предложение займа в 15 тыс. долл. под 3% годовых на период 36 месяцев; й — скидка с цены машины до 14 тыс. долл. и предоставление займа на 14 тыс. долл. под обычный процент. Ставка равна 12% годовых, срок платежа 36 месяцев.
Следует сравнить ежемесячные платежи по каждому варианту: вариант 1 вариант 2
Ежемесячный процент = 3%/12 = 0,25% Ежемесячный процент - 12% /12=1%
Ежемесячный платеж — Ежемесячный платеж —
= 15 [0,0025 / (1 - 1/1,ОО2536)] = 436,22 =14 [0,01 / (1 - 1/1.0136)] = 465
Эти расчеты могут быть выполнены на компьютере через финансовую функцию Excel ППЛАТ (см. Приложение 3).
По специальному предложению ежемесячный платеж меньше, и этот вариант лучше. Можно сравнить вариант скидки в 1 тыс. долл. с фактической разницей в текущей оценке двух вариантов. 15 тыс. долл. под 3% адекватны 436,22 долл. ежемесячных платежей. Если рассмотреть вариант выплаты 15 тыс. по ставке 12%, то ежемесячный платеж составит 498,21. Экономия по варианту 1 составит 61,99 долл. Текущая оценка получения экономии в течение 36 месяцев составит 61,99 [(1 — 1/ 1,0136)/0,01] = 1866,34.
Текущая оценка экономии превышает скидку, и поэтому вариант 1 лучше. Чтобы вариант 2 стал более привлекательным, скидка должна превышать 1866,34 долл.