Будущая и текущая оценки аннуитета

Результатом финансовых решений может быть не разовое получение денежных средств, а определенная серия (последовательность) денежных потоков. В зарубежной финансовой литературе для обозначения серии платежей используется термин cashflow (CF), что эквивалентно понятию потока платежей.

равные значения платежей (payment — РМТ).

Аннуитетом (annuity), или рентой, называется серия равных платежей через одинаковые периоды времени на фиксированном временном промежутке. Например, ежегодное получение 2 млн. руб. в течение 10 лет является 10-летним аннуитетом. Для нивелирования временных различий по потоку платежей как аннуитету возможно применение стандартных формул и таблиц, позволяющих быстро проводить расчеты будущих и текущих оценок. Для аннуитета используются следующие обозначения: 1) РМТ — отдельный член потока (серии) равных платежей 2) п — срок аннуитета, т.е. время (в годах или периодах) от начала первого периода до конца последнего, 3) / — процентная ставка, 4) т — число платежей в году.

Предполагается, что получение (или уплата) платежей может осуществляться как в начале, так и в середине, и в конце каждого периода. Если платеж осуществляется в конце периода (наиболее типичный случай в финансовых расчетах, именно этот вариант имеется обычно в виду, когда используется термин "аннуитет"), то аннуитет носит название обыкновенного. Иногда используется термин отсроченная рента (а defferred annuity) или постнумерандо.

Если платежи осуществляются в начале каждого периода, то используется термин причитающийся аннуитет или пренумерандо (an annuity due).

Будущая оценка аннуитета за п лет равна сумме наращенных значений платежей по каждому периоду времени.

При начислении процентов в конце года схема наращения имеет вид, представленный на рис. П. 3, и при і = 20% FVA? = 14,88 млн. руб.

Будущая оценка аннуитета за 5 лет составит

FVA5 = PMT + PMT (1 + i) + PMT (1 + i )2 +... + PMT (1 + i)4.

n

В общем случае FVAn = PMT х ^ (1 + i)4 .

t=1

п

Сомножитель ^ (1 + i)n имеет табличное значение для различных i и

t=1

(табл. 5 Приложения 2): FVIFAt n показывает будущую оценку серии равных

платежей в 1 ден. ед. при процентной ставке / и п периодах начисления.

При отсутствии компьютера (см. Приложение 3) и таблиц расчет будущей оценки аннуитета может быть осуществлен по формуле

? (1 + i)n-1 = (1 + f'gt;” ~1 .

t=1              2

Для аннуитета с выплатами в начале периодов схема наращения денежных потоков имеет следующий вид (рис. П.4.):

Будущая оценка серии таких платежей будет превышать оценку аннуитета с выплатой в конце периода на множитель (1 + i): аннуитет на начало года FVAn = PMT х FVIFAi n х(1 + i).

При нахождении текущей оценки аннуитета решается задача уравнивания варианта получения n-летнего аннуитета с платежами РМТ в конце каждого года и получением единой суммы сегодня (t = 0). Текущая оценка аннуитета должна обеспечить равенство этих вариантов.

В общем случае уравнение для нахождения текущей оценки аннуитета (рис. П.5) имеет вид

1 1 1 n 1

PVAn = PMT х              + PMT x-              —              +... + PMT x-              —              =              PMT              xY-                            .

n              1              +              i              (1 + i)2              (1              + і)"              ti (1 + i)

При              использовании

табличных значений для второго сомножителя              (табл.              2

Приложения 2): PVA = РМТ х PVIFAi n. При отсутствии

таблицы и финансового калькулятора Excel формула для расчета текущей оценки имеет

1

,1

PVAn = PMT-- i

PVAn = 1 -

i i(1 + i) 1

или

(1 +i )n

Текущая оценка аннуитета с начислениями сумм РМТ в начале года (рис.

n1

тц, = PMT xY—— (1 + і ).

t=1 (1 + i )

Аннуитет              с

неограниченным              периодом

получения постоянных величин РМТ называется бесконечной рентой ИЛИ бессрочным (вечным) аннуитетом (perpetuity).

Текущая оценка такого аннуитета предполагает, что в выражении PMT х Z(/(1 + i)t) значение п стремится к бесконечности. Оценка

t=1

бессрочного аннуитета применяется, если срок договора значителен и конкретные даты окончания не оговорены. Облигационные займы с неограниченными сроками (например, консоли) также рассматриваются как бессрочный аннуитет.

Нахождение текущей оценки бессрочного аннуитета значительно упрощается. Так как

PV = PMT x?( /(1 + i)t) = PMT ((1 + i) -1 + (1 + i)-2 +... + (1 + i)-t...),

t=1

домножим обе стороны этого равенства на (1 + i) и получим PV (1 + i) = PMT (1 + (1 + i)-1 + (1 + i) -2 +... + (1 + i)-(t-1)...)

Вычтя полученное равенство из предыдущего, получим PV(1 + i) - PV = PMT(1 - (1 + i)^ ), t ^ ю, и, следовательно, (1 + i)^ ^ 0. Отсюда

pv = PMT.

Текущая оценка неравных денежных потоков

Текущая оценка неравных денежных потоков (показаны на рис. П.7) определяется как сумма              текущих              оценок

денежных              потоков каждого

периода.

Если денежные потоки каждого периода              имеют              значения

С/,C2,C3,C4,...,Cn, то текущая

оценка всех денежных потоков равна PV.

С С С              С              n              с

pv = —^+-СЧГ+-СЦГ+...+-С^- = У- Ct

2              3              n

(1 +i) (1 +i)              (1              +i)              (1              +i)n              t=1              (1 + i)t

Компьютерное вычисление проводится через финансовую функцию Excel НПЗ (см. Приложение 3).

(1 + g )1              (1 + i)n              l              (1 + i)

(1+i) =Ал (1+g) n

1-

(1 + g) V (1 +0

(1+g)

(1 +o

y

pv = C (1+g {1 -              j / (i - g),

n

y

Для моделей оценки акций часто принимается предположение о растущих денежных потоках владельцам капитала.

C = (1 + g)2 C0 и так далее. Денежные потоки по годам растут с постоянным темпом g. Часто такие денежные потоки носят название растущего аннуитета. Текущая оценка растущего аннуитета для временного промежутка п лет (денежные потоки поступают в конце года) вычисляется следующим образом:

PV = C (1+g У + C (1+g )2 + C (1+g )3 + C (1+g )4 + + C (1+g)n

(1 + i)1              (1              + i)2              (1              +              i)3              (1 + i)4              (1              +              i)n              .

Домножив обе части равенства на (1 + i) / (1 + g) и вычтя из полученного выражения исходное, получаем

(1+i)1              „„ = „ „ (1+g)" =J, (1+g)n Л

1-

n

y

При n ^ lt;xgt;PV = C(1 + g)/(i - g).

При i = g PV = "(с).

Так как финансовые решения принимаются в момент времени t = 0, наибольшее применение имеет текущая оценка.