Будущая и текущая стоимость

Задача 2.1

В банк на срочный депозит внесено 100000 рублей под 12% годовых на год с простым начислением процентов. Какая сумма будет накоплена на его счету по истечении указанного срока? Какова была бы накопленная сумма вклада, если бы проценты начислялись ежемесячно и реинвестировались в сумму вклада?

Рекомендации по решению задачи:

Если доходность инструмента детерминирована, можно оценить будущую стоимость S вложений в настоящий момент средств P, другими словами: определить, сколько будет стоить в будущем рубль, вложенный сегодня.

S = P х (1 + i х n),              (4)

где i - годовая ставка процента, выражается дробью (10% = 0.1 и т. д.); n - период владения (в годах).

При сложном начислении процентов:

T

где t0 - периодичность начисления сложных процентов в году (в днях); i - годовая ставка процента; t - период владения (дней).

В том случае, когда срок вложения исчисляется годами, а периодичность начисления процентов кратна месяцу, формулу (5) можно представить в виде:

S=P X(1+mm)

nm

, (6)

где n - период владения (в годах); m - количество периодов начисления процентов в году.

Решение:

Используя формулу (4), определяем итоговую сумму при простом начислении процентов:

S = 100000 х(1 + 0.12 х 1) = 112000

При сложном:

І 0 12 Vх12

S = 100000 ХІ1 + -^\ = 112682

Ответ: При простом начислении процентов S = 112000 рублей; при сложном, ежемесячном начислении процентов S = 112682 рубля.

Задача 2.2

Платежи (финансовая рента) в размере 10 млн. рублей вносятся ежегодно под 55% годовых. Определить сумму, которая образуется на счете за 6 лет. Какова будет итоговая сумма, если платежи будут вноситься в начале каждого периода?

Рекомендации по решению задачи:

В данной задаче мы имеем дело с потоком равных периодических платежей, называемых финансовой рентой (аннуитет).

где R - размер постоянного периодического платежа.

Если же выплаты производятся в начале периода (пренумерандо), то расчет ведется по формуле:

S = R х(1 +i1 х(1 + i).              (8)

Решение:

Используя формулу (7), находим:

S = 10 х(1 + 0 55)6 -1 = 233.9 0.55

При условии, когда платежи вносятся в начале каждого периода:

S = 10 х(1 + 0 55) -1 х(1 + 0.55) = 362.6 0.55

Ответ: При условиях постнумерандо S = 233.9 млн. рублей; при условиях пренумерандо S = 362.6 млн. рублей.

Задача 2.3

Определить наращенную сумму постоянной ренты постнумерандо со сроком погашения 3 года, если платежи вносятся ежеквартально, а их годовая сумма составляет 100 млн. рублей. На вносимые платежи начисляются сложные проценты по ставке 12% годовых.

Рекомендации по решению задачи:

В данном случае платежи осуществляются несколько раз в течение года, проценты - один раз в конце года. Задача решается по формуле р-срочной ренты постнумерандо:

(1+i У -1

(1 + i) -1

(9)

S = R х-

p х

где р - количество раз осуществления платежа в году (по условию задачи р = 4).

Так же по условиям задачи n = 3, i = 0.12, R = 100.

Решение:

Подставляя значения аргументов в формулу (9), находим наращенную сумму S:

Ответ: S = 347.83 млн. рублей.

Задача 2.4

Для создания сберегательного фонда в конце каждого года вносится платеж в размере 10 млн. рублей. На этот платеж ежеквартально начисляются проценты по ставке 12% годовых. Определить объем сберегательного фонда через 5 лет.

Рекомендации по решению задачи:

Платежи по условию данной задачи производятся один раз в конце года. Проценты начисляются m раз в году, что заставляет говорить о ренте по- стнумерандо с m-разовым начислением процентов, которая рассчитывается по формуле:

По формуле (10) находим наращенную сумму постнумерандо с m- разовым начислением процентов:

Решение:

(10)

Ответ: S = 63.49 млн.

Задача 2.5

Каждые полгода на банковский счет вносится сумма, на которую ежеквартально начисляются проценты по ставке 10% годовых. Годовой размер взносов 100 млн. рублей. Какая сумма накопится на счете за 3 года?

Рекомендации по решению задачи:

В данном примере мы имеем дело с р-срочной рентой постнумерандо с m-развым начислением процентов. Наращенная сумма S этой ренты находится по формуле:

S = R х-

(11)

Решение:

На основании формулы (11), производим расчет:

,. м Г -,

= 350

S = 100 X-

Ответ: S = 350 млн. рублей.

Задача 2.6

Какова текущая стоимость 300 тысяч рублей, полученных через год, если ставка дисконтирования равна 12%, при условии, что проценты начисляются ежемесячно?

Рекомендации по решению задачи:

Уровень процентной ставки в условиях равновесного рынка определяет текущую ценность будущих поступлений денежных средств или потоков платежей. Другими словами, определяется, сколько стоит сейчас один рубль, полученный в будущем. Преобразовав формулу (4) относительно P и обозначив PV = P, D = i, при простом начислении процентов получим:

PV = —S—.              (9)

1 + D х n

При сложном начислении процентов:

PV = S г.              (10)

1 + D Х t0 370

T

Или:

nm

S

1 + D'

m i

Современная стоимость постоянной ренты постнумерандо и постоянной ренты пренумерандо находится из формул (12) и (13) соответственно:

PV = R х 1 -(1 + D) .              (12)

D

PV = R х

D

1 -(1 + D" х(1 + D).              (13)

Решение:

Данная задача решается по формуле (11):

PV =              300              112              =              266.24

I1+Г

Ответ: Текущая стоимость 300 тысяч рублей при ставке дисконтирования 12% равна 266.24 тысячи рублей, то есть текущая стоимость одного рубля, полученного в будущем примерно равна 0.89.

Задача 2.7

В банк внесено 1.25 млн. рублей под 55% годовых на год. Какая сумма будет накоплена на его счету по истечении указанного срока?

Задача 2.8

На банковский счет внесено 3 000 долларов под 12% годовых.

Какова будет накопленная сумма вклада по истечении трех лет, если проценты начисляются ежемесячно и реинвестируются в сумму вклада?

Задача 2.9

Платежи в форме финансовой ренты размером 13.5 млн. рублей вносятся ежегодно под 44% годовых. Определить сумму, которая образуется на счете за 3 года.

Задача 2.10

Платежи в размере 100 тысяч рублей производятся в течение 5 лет под 60% годовых. Какова будет итоговая сумма, если платежи вносятся в начале каждого периода?

Задача 2.11

Определить наращенную сумму постоянной ренты постнумерандо со сроком погашения 4 года, если платежи вносятся ежемесячно, а их годовая сумма составляет 1.5 млн. рублей. На вносимые платежи начисляются сложные проценты по ставке 52% годовых.

Задача 2.12

Платежи, годовая сумма которых составляет 2.75 млн. рублей, вносятся постнумерандо в течение 5 лет под 49% годовых. Определить наращенную сумму постоянной ренты.

Задача 2.13

Для создания сберегательного фонда в конце каждого года вносится платеж в размере 100 млн. рублей. На этот платеж каждые 6 месяцев начисляются проценты по ставке 56% годовых. Определить объем сберегательного фонда через 2 года.

Задача 2.14

В конце каждого года на банковский счет вносится платеж в размере 10 000 долларов. На этот платеж ежеквартально начисляются проценты по ставке 11% годовых. Определить объем сберегательного фонда через 4 года.

Задача 2.15

Каждый квартал на банковский счет вносится сумма, на которую ежемесячно начисляются проценты по ставке 59% годовых. Годовой размер взносов 100 млн. рублей. Какая сумма накопится на счете за 2 года?

Задача 2.16

Каждые пол года на банковский счет вносится сумма, на которую ежеквартально начисляются проценты по ставке 12% годовых. Годовой размер взносов 100 тысяч Евро. Какая сумма накопится на счете за 3 года?

Задача 2. 17

Планируется в ходе финансовой операции через год получить сумму в размере 3 млн. рублей, если учесть, что ставка дисконтирования равна 62%, а проценты начисляются ежемесячно. Какова текущая стоимость полученной в будущем суммы?

Задача 2. 18

Какова текущая стоимость 120 тысяч Евро, полученных через год, если ставка дисконтирования равна 12%, при условии, что проценты начисляются ежемесячно?

3. Операции с ценными бумагами
1. Дисконтные векселя

Задача 3.1

Дисконтный вексель номиналом 100 000 рублей был эмитирован

2. со сроком погашения 31.05.02. Клиент купил вексель у эмитента

2. за 94% номинала. Через месяц покупателю понадобились наличные средства и, 01.04.02, он вынужден был продать вексель банку с дисконтом 3,5%. Банк погасил вексель у эмитента 31.05.02.

Найти ожидаемую номинальную доходность операции к моменту гашения.

Найти итоговую доходность операции клиента.

Найти номинальную доходность операции банка.

Рекомендации по решению задачи:

Дисконтный вексель продается эмитентом по цене со скидкой к номиналу, которая называется дисконтом. По истечении срока, указанного в обязательстве, происходит погашение по номиналу. Ожидаемая номинальная доходность и эффективная доходность операции оцениваются по формулам (1) и (2), если принять, что S есть номинал векселя N, а Р - цена его покупки:

f              T              \

(14)

(15)

Решение:

По формуле (14) определяем ожидаемую номинальную доходность операции к моменту гашения:

Ys = i100 - 1Іх 365 х 100 = 25.6% ^ 94              )              91

Итоговая доходность операции клиента, исходя из того, что клиент

Тогда номинальная доходность операции банка, который по истечении срока погасил вексель у эмитента, равна:

2. продал вексель банку с дисконтом 3.5%, рассчитывается следующим образом:

Ответ: Ожидаемая доходность к моменту гашения составляла 25.6%, итоговая доходность клиента составила 31.3%, доходность банка от сделки -

22.1%.

Задача 3.2

Найти ожидаемую номинальную доходность операции к моменту гашения, если дисконтный вексель номиналом 10 млн. рублей был эмитирован и куплен у эмитента 01.01.03 за 90% номинала. Срок погашения векселя -

31.06.03.

Задача 3.3

Дисконтный вексель номиналом 10 млн. рублей был эмитирован

3. со сроком погашения 31.06.03. Клиент купил вексель у эмитента

3. за 93% номинала. Через месяц покупателю понадобились наличные средства и, 01.04.02, он вынужден был продать вексель банку с дисконтом

3,5%.

Найти итоговую доходность операции клиента.

Задача 3.4

Дисконтный вексель номиналом 10 млн. рублей был эмитирован

2. со сроком погашения 31.08.02. Клиент купил вексель у эмитента

2. за 89% номинала. Через два месяца покупателю понадобились наличные средства и, 01.06.02, он вынужден был продать вексель банку с дисконтом 3,5%. Банк погасил вексель у эмитента 31.08.02.

Найти ожидаемую номинальную доходность операции к моменту гашения.

Найти итоговую доходность операции клиента.

Найти номинальную доходность операции банка.

Задача 3.5

Имеется трехлетняя облигация со сроком погашения 31.12.05, номиналом 100 тысяч рублей с ежегодным купоном 10%. Какова должна быть рыночная стоимость облигации на момент покупки (31.12.02), чтобы доход инвестора (ставка дисконтирования) составил 16%?

Рекомендации по решению задачи:

Для расчета текущей стоимости купонной облигации с номиналом N, постоянной ежегодной купонной ставкой процента Cr (Coupon rate), с выплатой в конце года, размещаемой на n лет с выплатой номинала в конце срока при норме дохода инвестора Y используется следующая формула:

N х Cr N

PV = gt;7 ГТ + 7 Г- .              (16)

t! (1 + Y) (1 + Y )n              V }

Первое слагаемое формулы (16) представляет собой дисконт купонов, второе - дисконт номинала.

Решение:

Данные расчета приведены в Таблице 1.

Размер годового купона составляет 10% от номинала, то есть:

100 000 • (10% : 100) = 10 000 руб.

Используя формулу (16) и зная, что через год после покупки, 31.12.03 инвестор получит первый купон (строка 1 Таблицы 1), 31.12.04 - второй купон (строка 2 Таблицы 1) и, наконец 31.12.05 получит третий купон и номинал (строка 3 Таблицы 2), определяем текущую стоимость операции, которая представляет собой общую текущую стоимость всех поступлений. Она равна 86 560 рублей.

Таблица 1

Расчет текущей стоимости купонной облигации (все данные в тысячах рублей)

Ответ: Для того, чтобы совокупный доход инвестора составил 16%, облигацию необходимо приобрести по цене 86 560 рублей (86.56% от номинала).

Задача 3.6

10 мая 2003 г. был куплен лот из государственных краткосрочных облигаций по цене 90,62% от номинала, 19 мая бумаги были проданы по цене 90,86%. Оценить номинальную и эффективную доходность операции.

Рекомендации по решению задачи:

ГКО представляют собой форму дисконтного векселя, погашаемого министерством финансов. Оценка доходности ГКО уже производилась ранее в Задаче 1.1 при изучении общей оценки доходности финансового инструмента. Необходимо лишь откорректировать формулы (1) и (2) приняв S за номинал N, который равен 100?. В итоге мы имеем формулы (14) и (15), которые использовались выше при оценке доходности дисконтного векселя.

Решение:

Период владения ГКО составил 10 дней. Исходя из формулы (14), определяем номинальную доходность операции:

Ys = i9086 - 1Іх 385 х 100 = 9.67%

(90.62              )              10

Эффективная доходность составляет:

(              365              )

х 100 = 10.38%

Ye =

88.86? 10 -1

88.62 )

Ответ: Ys = 9.67%, Ye = 10.38%.

Задача 3.7

Имеется пятилетняя облигация со сроком погашения 31.12.07, номиналом 10 млн. рублей с ежегодным купоном 12.5%. Какова должна быть рыночная стоимость облигации на момент покупки (31.12.02), чтобы доход инвестора составил 33%?

Задача 3.8

Четырехлетняя облигация со сроком погашения 31.12.06, номиналом 100 условных единиц с ежегодным купоном 5%. Какова должна быть рыночная стоимость облигации на момент покупки (31.12.02), чтобы доход инвестора составил 13%?

Задача 3.9

11 апреля 2003 г. был куплен лот из государственных краткосрочных облигаций по цене 89,34% от номинала, 19 мая бумаги были проданы по цене 93,47%. Оценить номинальную и эффективную доходность операции.

Задача 3.10

3 сентября 2003 г. был куплен лот из государственных краткосрочных облигаций по цене 95,12% от номинала, 19 сентября бумаги были проданы по цене 95,96%. Оценить номинальную и эффективную доходность операции.