Последние достижения в теории хеджирования
Основным показателем эффективности хеджа является степень уменьшения дисперсии прибыли хеджера. Это уменьшение дисперсии в свою очередь определяется степенью корреляции между фьючерсной ценой и спотовой ценой и применяемым коэффициентом хеджирования.
Использование модели DV01 для хеджирования процентного риска повысило эффективность хеджа по сравнению с «наивной» и с регрессионной моделями. Причина этого повышения в том, что модель DV01 подстраивается под изменение взаимосвязи между DV01 для наличной позиции и DV01 для фьючерсного инструмента. Эта методика, однако, не применима к другим типам ценового риска.Пытаясь повысить эффективность хеджирования ценового риска, многие исследователи предлагали методы, при которых в качестве основы бралось свойство сходимости фьючерса и объяснение издержек по поддержанию позиции для базиса. Мы можем показаться предвзятыми, но считаем, что наиболее значительные достижения в теории хеджирования в последнее время связаны с двумя работами
Herbst, Kare and Marshall (1990 г.), далее обозначаемыми как НКМ, и Herbst and Marshall (1990). Прежние исследования фокусировались на улучшении коэффициента хеджирования при прямом и перекрестном хеджированиях, а в более поздних больше внимания уделялось вопросам степени корреляции между спотовой ценой и фьючерсным хеджем при диверсификации последнего.
Чтобы понять, какие же усовершенствования предлагаются в данных работах, необходимо различать прямое и перекрестное хеджирование. Прямой хедж использует фьючерсный контракт, подписанный на актив, который по всем параметрам, включая место поставки, эквивалентен наличной позиции, подлежащей хеджированию. Перекрестный хедж есть хедж, который подписывается на что-то иное. Так, фьючерсный контракт, подписанный на озимую пшеницу, является прямым хеджем только для наличной озимой пшеницы, которая будет поставлена на тот же рынок, что и предусмотренный фьючерсным контрактом.
Для озимой пшеницы, поставляемой на географически иной рынок, такой хедж является уже перекрестным. В некоторых случаях природа рынка и природа хеджируемой наличной позиции таковы, что хедж всегда является прямым. Хеджирование валютной позиции валютными фьючерсными контрактами в той же валюте служит примером такого хеджа. Валютные операции обычно осуществляются посредством простой регистрации сделки, причем каждая единица валюты эквивалентна другой единице той же валюты4. Так, «длинная» позиция по фьючерсам в иенах является прямым хеджем для «короткой» позиции в иенах, независимо от места поставки.Мы рассмотрим усовершенствования, предложенные в упомянутых исследованиях, в три этапа. Сначала мы обсудим усовершенствования, которые предложили НКМ, касающиеся вычислений коэффициента хеджирования, в контексте прямого хеджирования. Затем мы рассмотрим их обобщение на случай перекрестного хеджирования. И наконец, рассмотрим выгоды, проистекающие из диверсификации, связанной с подходом к перекрестному хеджированию, предложенным в Herbst and Marshall (1990).
Использование сходимости при прямом хеджировании
Как уже отмечалось, в традиционном регрессионном методе JSE для определения оптимального коэффициента хеджирования явно подразумевается стабильность во взаимосвязи фьючерсной и спотовой цен. Однако в случае прямого хеджирования очевидно, что это не так. Фьючерсная цена сходится к спотовой по мере приближения к сроку истечения контракта. Такое поведение объясняется соотношением 21.2, которое воспроизводится далее как соотношение 21.4, в котором опущены аргументы у переменных г, w и с.
F(t,T) = S(t)[\ + г + w — с). (21.4)
Напомним, что в соотношении 21.4 величины r,w и с являются ставкой процента, стоимостью хранения и выгодами от актива соответственно, выраженными как проценты от спотовой цены. Как указывалось ранее, издержки по поддержанию позиции равны [г + w — с ].
Мы теперь соотнесем их с годовым интервалом времени и рассмот
рим как ставку с континуальным начислением процентов на процент. Обозначим такую ставку через у, а длину интервала времени до истечения контракта через т (тау), где величина х выражена в долях года. Например, если до истечения контракта осталось 45 дней, то х равна 45/365.
С учетом этих уточнений взаимосвязь фьючерсной и спотовой цен может быть выражена с помощью уравнений 21.5 или 21.6.
F(t,T) = S(t)-?'\ (21.5)
S(t) = F(t,T)- e-gt;\ (21.6)
Из уравнения 21.6 следует, что коэффициент хеджирования, обозначаемый через Л, есть член е~у т. Такой коэффициент хеджирования h делает обоснованным утверждение, что оптимальный хедж для фьючерса является функцией от времени, оставшегося до истечения контракта т, и не является независимым от него, как это следует из модели JSE.
Остается разобраться в двух проблемах. Первая связана с необходимостью убедиться в том, что коэффициент хеджирования по методу НКМ можно вычислять, а вторая — что он работает лучше, чем традиционный коэффициент хеджирования.
Мы начнем с того, что разделим обе части уравнения 21.6 на F(t,T) и возьмем от них натуральный логарифм. Мы получим уравнение 21.7.
\n(S(t)/F(t,T)) = -ух. (21.7)
Уравнение 21.7 можно переписать, используя регрессионную форму. Она задается уравнением 21.8.
In (S(t)/F(t,T)) = z + dx + V, (21.8)
где z — свободный член (мы полагаем, что он будет равен нулю); d — коэффициент наклона, оценивающий величину -у; v — величина возможной ошибки. Значение i/легко определяется на основании наблюдений S (t), F (t,T) и т, и в результате мы получаем оптимальный коэффициент хеджирования в виде е*'.
Можно указать на ряд преимуществ при использовании метода НКМ для определения оптимального коэффициента хеджирования по сравнению с традиционным подходом JSE.
Во-первых, как было показано раньше, метод НКМ явно учитывает влияние срока действия фьючерсного контракта, а это является очень важным фактором, которым долго пренебрегали в теории хеджирования. Во-вторых, по методу НКМ оценивание ведется по очень небольшому количеству самых последних наблюдений (тогда как по методу JSE нужны данные за гораздо более длинный период). И, наконец, в методе НКМ (в отличие от метода JSE) допускается применение переменного во времени коэффициента хеджирования.Остается вопрос, лучше ли работает коэффициент хеджирования по методу НКМ, чем по методу JSE. Чтобы ответить на него, нужно понять, что значит «лучше работает». Долгое время существовала практика оценивания качества работы хеджа в терминах эффективности. Эффективность определяется тем, насколько хедж уменьшает дисперсию дохода (прибыли) по сравнению с ситуацией, когда хедж не используется. Остаточная дисперсия прибыли является линейной функцией от дисперсии базиса, который остается после использования хеджа. Таким образом, проблема сводится к тому, меньше ли дисперсия базиса после использования хеджа по методике НКМ по сравнению с методикой JSE, или нет. Авторы методики НКМ применили подобные соображения при сравнении эффективности двух коэффициентов хеджирования для шести валют, по которым ведется торговля фьючерсными контрактами на международном валютном рынке (International Monetary Market (IMM): британский фунт, канадский доллар, французский франк, немецкая марка, японская иена и швейцарский франк.
В прошлом одни и те же выборочные данные использовались и при проверке эффективности хеджирования, и при вычислении коэффициента хеджирования. Однако авторы методики НКМ провели убедительный эксперимент. Они разделили свои выборочные данные на две непересекающиеся последовательные группы. Первую половину данных они использовали для определения коэффициентов хеджирования по обоим методам — НКМ и JSE. Затем они на основе второй группы данных использовали эти коэффициенты хеджирования для вычисления базисов, полученных по методам НКМ и JSE[‡]. И наконец, они подсчитали дисперсии обоих базисов и сравнили их с помощью стандартных статистических тестов. Оказалось, что при уровне значимости в 1% для пяти из шести валют гипотезу об отсутствии расхождения в дисперсиях нужно отвергнуть в пользу гипотезы о меньшем значении дисперсии по методу НКМ. Лишь для канадского доллара оба метода работали одинаково. Последнее можно объяснить тем, что для канадского доллара издержки по поддержа- нию позиции приблизительно равнялись нулю. Нетрудно увидеть, что в таком случае оба метода (НКМ и JSE) действительно дадут одинаковый результат. Для не равных нулю издержек по поддержанию позиции коэффициент хеджирования по методу НКМ работает, скорее всего, лучше.
Обобщение на случай перекрестного хеджирования
Усовершенствования в теории хеджирования, описанные в предыдущем параграфе, разумеется, касаются прямого хеджирования. Однако остается вопрос, применимы ли они к перекрестному хеджированию. Это особенно важно в связи с тем, что большинство используемых на практике хеджирований осуществляется посредством перекрестного хеджа. К счастью, обобщение на этот случай очевидно.
Начнем с того, что опустим, чтобы не загромождать формулы, обозначения аргументов у S(t) и F(t,T), зато добавим обозначение для товаров. Мы будем использовать индекс 1 для обозначения товара, на который подписывается фьючерсный контракт, и индекс 2 для обозначения товара в наличной позиции (объекта хеджирования). Таким образом, F, означает фьючерсную цену товара 1,5, — его спотовую цену, a S2 — спотовую цену товара в наличной позиции. Теперь допустим, что по какой-нибудь причине прямого хеджа на товар 2 в наличии нет и поэтому хеджер с наличной позицией по товару 2 должен хеджировать только фьючерсами на товар 1. Наша цель — определить коэффициент хеджирования для такого перекрестного хеджа.
Вспомним уравнение 21.6 для коэффициента хеджирования при прямом хеджировании и перепишем его, опуская временные индексы, но добавляя индексы, различающие товары. Получим уравнение 21.9.
(21.9)
S, = F. e-у \
(21.10)
Теперь, предполагая линейную зависимость спотовых цен для товаров 1 и 2, можно задать функциональную связь между ними в регрессионной форме в виде соотношения 21.10. Заметим, что проблема сходимости друг с другом фьючерсной и спотовой цен здесь роли не играет, так как мы интересуемся лишь двумя спотовыми ценами.
S, — а + b S. + и.
Параметр Ъ легко оценивается с помощью регрессии S2 по Sr Подставляя в качестве Sj значение, задаваемое формулой 21.9, мы получаем уравнение 21.11а.
Его можно переписать в виде уравнения 21.116.
S2 = а + {Ь е~у') F{ + и. (21.116)
Мы видим теперь, что произведение (b е~у') является коэффициентом хеджирования. Заметим, что если издержки по поддержанию позиции, обозначаемые у, равны нулю, то член е~ух обращается в 1, а коэффициент хеджирования сводится к Ь, что в точности совпадает с коэффициентом хеджирования b по методу JSE, задаваемым уравнением 21.1. (Это значит, что традиционный метод JSE определения коэффициента хеджирования является специальным случаем метода НКМ.) Таким образом, мы видим, что метод НКМ оценивания коэффициента хеджирования посредством прямого хеджирования непосредственно обобщается на случай перекрестного хеджирования.