Двухфакторные функции Солоу
Пусть y = f (X1, Х2) - двухфакторная производственная функция; предполагается, что f неотрицательна, дважды дифференцируема и монотонно возрастает по обоим аргументам на R+ .
Функция f называется функцией Солоу, если она представима в виде
где αι - a5 - ненулевые константы, причем а3, а4, а5 имеют одинаковый знак, а а1, а2 положительные.
Заметим сначала, что, как видно из формулы (4), такой класс производственных функций можно охарактеризовать одним из двух способов.
А). Существует такая степенная замена одной из переменных Xi, х2, скажем, X2,
где с - такая ненулевая константа, что у становится функцией CES (см. [4, с. 93]).
Б). Существует такая степенная замена переменных
где Ol - С3 - такие ненулевые константы, что у становится линейной функцией.
Для вывода описания функций Солоу с помощью дифференциальных соотношений между ее характеристиками обозначим через
предельную производительность ресурса i при i = 1, 2 и, представив f в виде функций от In f, In xi введем функции 
Функции qi и Pi, i = 1, 2 являются характеристиками производственной функции второго порядка в смысле [4]. Значение функции qi можно интерпретировать как величину процентного изменения предельной производительности фактора i при постоянном его значении и изменении объема выпуска на 1% (соответственно, меняется значение оставшегося фактора), а значение функции Pi - как величину процентного изменения предельной производительности фактора i при постоянном объеме выпуска и изменении этого фактора на 1% (соответственно, меняется значение оставшегося фактора).
Заметим, что при определении характеристик q1 и P1 замена переменных в предельной производительности первого фактора f была иной 
, чем в предельной производительности второго фактора /2 при определении характеристик q2 и Р2
, что явля
ется не совсем традиционным для теории производственных функций: обычно замена переменных делается один раз для формирования группы «одноименных» характеристик, каждая из которых соответствует какому- либо фактору.
Используя введенные характеристики, можно предложить следующее описание функций Солоу.
Предложение 1. Пусть y = /(Χι, Х2) - такая производственная функция, что
Эта функция является функцией Солоу тогда и только тогда, когда выполняется одно из трех эквивалентных условий:
Доказательство. Если f - функция Солоу, т. е. она определяется формулой (4), то, как показывают прямые вычисления,
Поскольку все ai здесь ненулевые, то условие 1) выполняется.
Так как из условия 1) следуют 2) и 3), а сами эти два условия отличаются только нумерацией переменных, то достаточно доказать, что из 2) следует, что / - функция Солоу.
Итак, пусть qi, P1, p2 - константы, причем выполняются ограничения из условия 2). Тогда полный дифференциал функции ln /1 записывается как
Из приведенной выше характеризации функций Солоу через степенную замену одной из переменных получаем еще одно описание двухфакторной функции с постоянной эластичностью замены.
Следствие 1. Пусть f (X1, Х2) - однородная производственная функция. Тогда f является функцией CES в том и только в том случае, когда выполняются эквивалентные условия 1)-3) из предложения 1.
Замечание. Рассуждая аналогично доказательству предложения 1, получаем, что условие pi = const, p2 = const, qi = const равносильно выполнению следующего соотношения для f:
При этом мы уже не требуем, чтобы в точке (0, 0) производственная функция принимала нулевое значение, поскольку в этой точке логарифмы не определены. В частности, при p1 = p2 =-1, q1 = 1 получаем, что f - функция Кобба - Дугласа.
1.