Многофакторные функции Солоу

Пусть f = f (X1,..., X_n) - n-факторная производственная функция, n > 2; как и выше, предполагается, что f неотрицательна, дважды дифференцируема и монотонно возрастает по каждому аргументу на R+.

Многофакторным аналогом функции Солоу служит функция вида

где ai, bi, с - ненулевые константы.

Из монотонности следует, что константы с, a1, ..., a_n одного знака, а константы Ь_,., b_n положительные. Эту функцию мы также будем называть функцией Солоу, хотя в литературе встречается и название «функция

Мукержи» [3] по имени ученого, впервые предложившего данную функцию и исследовавшего ее свойства [5].

К этому частному случаю естественным образом, как и в двухфакторном случае, приводится функция Солоу. Приведем для таких функций аналогичные двухфакторному случаю критерии.

А). Существует такая степенная замена каких-либо n - 1 переменных среди X₁,..., x_n, скажем, X₂, ···, ^х_п,

где mi - ненулевые константы, что у становится функцией CESM (см. [4, с. 106]).

Б). Существует такая степенная замена переменных

где m₀,., m_n - такие ненулевые константы, что у становится линейной функцией.

Для того чтобы, аналогично случаю двухфакторных функций, описать критерий многофакторных функций Солоу в терминах дифференциальных уравнений, нужно ввести многофакторные аналоги характеристик pi и Q_i.

Как и выше, пусть- предельная производительность ресурса

i при i = 1, ..., п [4].

бегают все значения от 1 до п, кроме одного фиксированного значения i. Переменные %к_т, очевидно, связаны следующими соотношениями:

Значит, можно выбрать набор Vi,..., v_{n - 2} из них, включающий лишь п - 2 переменные, через которые все остальные переменные Zk_m однозначно выражаются. Например, в качестве такого набора можно взять п - 2 переменные

Значение функции qi можно интерпретировать как величину процентного изменения предельной производительности фактора i при постоянном значении этого фактора, постоянном соотношении остальных факторов и изменении объема выпуска на 1%, а значение функции Pi - как величину процентного изменения предельной производительности фактора i при постоянном объеме выпуска, постоянном соотношении остальных факторов и изменении данного ресурса на 1%. Кроме того, отметим, что тождественное равенство нулю функций ri при всех j от 1 до n - 2 означает, что величина изменения предельной производительности фактора i при постоянном объеме выпуска и постоянном значении этого фактора не зависит от соотношений остальных факторов.

Предложение 2. Производственная функция у = f (xi,..., x_n) является функцией Солоу тогда и только тогда, когда выполняется одно из двух эквивалентных условий:

Доказательство. Для функций вида (8) прямые вычисления показывают, что при всех допустимых i, j

Поскольку все константы в (8) ненулевые, требуемые условия выполняются.

Обратно, пусть выполняется условие 2). Тогда полный дифференциал функции ln f_i имеет вид

откуда

Аналогично случаю двухфакторных функций, получаем

Следствие 2. Пусть f (xi,..., x_n) - однородная производственная функция. Тогда f является функцией CESM в том и только в том случае, когда выполняются эквивалентные условия 1)-2) из предложения 2.

Приведем еще одну характеризацию функций Солоу. Напомним, что функция f = f(xi,...,x_n) называется квазиоднородной, если существует такая невырожденная степенная замена переменных

Оказывается, эти два условия вполне определяют класс функций Солоу.

Предложение 3. Пусть f = f(Xi,..., x_n) - квазиоднородная производственная функция и существуют такие ненулевые константы ai,., a_n, что выполняются условия (10). Тогда f - функция Солоу.

Доказательство. Прежде всего, заметим, что достаточно доказать предложение 3 для однородных функций. В самом деле, по определению, всякую квазиоднородную функцию степенной заменой аргументов можно перевести в однородную. Как видно из формулы (8), всякая невырожденная степенная замена переменных переводит класс функций Солоу в себя. С другой стороны, как показывают прямые вычисления, если функция f удовлетворяет условиям (10), то после замены переменных

она будет удовлетворять условиям

Таким образом, сделав невырожденную степенную замену переменных X₁,..., x_n, мы, не потеряв общности, придем к случаю однородной функции.

Итак, пусть функция f однородна степени D и удовлетворяет условиям (10). Тогда для всякого вектора x = (xi,., x_n) и такого положительного числа а Ф1, что х и ах лежат в области определения функции f

(т. е. функции f также однородные), откуда MRSj(ax) = MRSj(x). Из формул (10) имеем

откуда

и для всех i, j получаем ai = aj.

Теперь достаточно сослаться на [4, с. 106] (в случае, если n > 3): если для однородной функции f величина MRSij зависит только от отношения xi/xj, то f — функция CESM и, следовательно, функция Солоу. В нашем случае легко получить и непосредственное доказательство.

В самом деле, обозначив t = а1 — 1 = . = а_п — 1, для всех i, j имеем уравнение

Тогда для эластичности замены по Михалевскому [4, с. 76] получаем т. е. f - функция CESM.

Для полноты картины предпосылок, однозначно характеризующих функцию Солоу через соотношения между характеристиками производственной функции, приведем подобную формализацию условия квазиоднородности. Обозначим через g эластичность выпуска по ресурсу i

ственно следует квазиоднородность функции f. Итак, эквивалентность условий 1) и 2) доказана.

Условие 3) означает, что все функции g₀ = 1, ^₁,...,g_n обладают интегрируемым квадратом на области D с весом р (т. е. все они лежат в пространстве !^[D, p(*1, ···, x_n)] и определитель Грама этой системы функций тождественно равен нулю. Как хорошо известно из классической теории дифференциальных уравнений с частными производными, его равенство нулю равносильно линейной зависимости функций 1, g1,..., g_n, т. е. равносильно условию 2). Таким образом, эквивалентность первых трех условий доказана.

Докажем, что они эквивалентны 4). Из строгой монотонности функции f следует, что ее частные производные и все эластичности выпуска по ресурсам положительны во всех точках, кроме точки 0, ..., 0. Таким образом, все константы в знаменателе условия 4) ненулевые, и это условие имеет смысл. Поскольку соотношение из условия 4) является частным случаем соотношения из условия 2), то из 4) следует квазиоднородность функции f.

Пусть теперь выполняется 2). Подставляя в равенство (11) точку (0,., ay, .,0) (нули стоят на всех местах, кроме k-ro), получаем

Следовательно, соотношение из условия 2) можно переписать в виде что равносильно 4).

Замечание. Как видно из доказательства, весовую функцию р из условия 3) можно выбрать и иную, чем в формулировке предложения 4: требуется лишь, чтобы она была положительной на области D определения функции f и чтобы функции

были интегрируемы на области D.

2.