Введение

Двухфакторную функцию

где X₁, Х2 - независимые переменные, O₁,..., а₅ - ненулевые константы (параметры), впервые предложил использовать в качестве производственной функции с оцениваемыми параметрами, по-видимому, Р.

Iww W

Клейнер Г.Б., Пионтковскии Д.И. О характеризации производственных функции Солоу // Экономика и математические методы. 1999. Т. 35. № 2. С. 124-137. Работа выполнена при финансовой поддержке Российского гуманитарного научного фонда (проект № 97-02-02128).

в качестве агрегированной модели производства упрощенного варианта данной функции, в котором параметры а₃ и а₄ априорно считаются равными [2]. Этот вид функций, названный первоначально по первым буквам фамилий авторов SMAC, впоследствии получил известность и широкое распространение под именем функции CES (Constant Elasticity of Substitution). Вместе с тем, однозначного обоснования данного вида производственных функций (названных впоследствии функциями Солоу) с помощью условий на поведение стандартных характеристик производственной функции (таких как предельная производительность, норма или эластичность замены факторов) или их соотношений не было предложено. П. Мощинскас и Р. Раяцкас в 1985 г. дали некоторое описание функции (1), используя предложенное ими обобщение эластичности замены факторов [3]. Именно в качестве показателя обобщенной эластичности замены факторов предлагалась величина

является класс функций Солоу (1).

Это описание функций Солоу, однако, не может считаться полностью удовлетворительным, поскольку выбор в качестве φ степенной функции нуждается в самостоятельном обосновании.

В [4] было замечено, что функция Солоу удовлетворяет условиям

Это условие тоже, как выяснилось, не эквивалентно утверждению о том, что производственная функция является функцией Солоу, и должно

быть усилено дополнительными требованиями (см. п. 2). Таким образом, вопрос о построении системы условий на характеристики двухфакторной производственной функции, необходимых и достаточных для спецификации ее в виде функции Солоу, оставался открытым.

В 1963 г. В. Мукержи [5] предложила естественное обобщение функции Солоу на многофакторный случай в виде

где a;, bj, c - ненулевые константы, и показала, что для этих функций показатели эластичности замещения по Аллену фактора i факторомj (AESj) и k-го фактора l-м (AESy) для различных пар факторов находятся в соотношениях, не зависящих от объемов факторов [5]. Однако это условие является лишь необходимым для того, чтобы функция имела вид (2), и не задает класс этих функций однозначно (для п = 2 оно не имеет смысла, а при п > 2 является необходимым и достаточным для того, чтобы функция имела так называемый вид CRES, т. е. это функции вида (2), в которых параметры зависят от объема производства у [6]).

П. Мощинскас и Р. Раяцкас [3] дали для многофакторной функции (2) обоснование с помощью показателей обобщенной частной эластичности замены факторов, определяемой аналогично двухфакторному случаю через технологическую кривую дополняемости факторов вида

где ац - константы. Функция будет иметь вид (2) тогда и только тогда, когда обобщенные эластичности замены, задаваемые через указанную кривую дополняемости, постоянны и отличны от нуля и единицы для каждой пары факторов [3]. Так же как и в двухфакторном случае, обоснование может быть признано удовлетворительным только после обоснования вида самой кривой дополняемости.

Подобно двухфакторной ситуации, частным случаем функций Солоу (2) является функция

где a, bj, c - ненулевые константы.

а) однородная функция с постоянными и равными эластичностями замены пар факторов по Аллену [7];

б) однородная функция с постоянными эластичностями замены пар факторов по Михалевскому [8];

в) однородная функция с постоянными эластичностями замены пар факторов по Моришиме [9].

(В силу последних двух вариантов описания функции (2) для ее именования целесообразно использовать аббревиатуру CESM [4].)

В данной статье предлагается несколько вариантов однозначной характеризации двух- и многофакторных функций (1) и (2) через традиционные характеристики этих функций и некоторые их естественные модификации. По нашему мнению (см. также [4], [10] и др.), построение для каждого параметрического класса производственных функций ряда альтернативных систем дифференциальных, интегральных или функциональных уравнений, отражающих соотношения между экономически интерпретируемыми характеристиками производственной функции и составленных таким образом, что решением системы будет в точности данный параметрический класс, является необходимым условием использования этого параметрического класса для спецификации производственной функции (такую систему условий на характеристики естественно назвать системой, эквивалентной данному параметрическому классу производственных функций). Дело в том, что сама по себе параметрическая запись функции, как правило, не дает информации для полного экономического анализа свойств представляемой этой функцией технологии, в частности, интерпретации параметров функции. Интерпретируемыми и имеющими экономическое содержание являются в общем случае не параметры и операции, используемые при записи производственной функции, а ее характеристики, т. е. специальным образом отобранные производные зависимости. Поэтому необходимую информацию для экономической интерпретации производственной функции можно получить только при использовании производных зависимостей, представляющих эквивалентную систему. Зачастую исследование таких систем становится единственным способом сделать выбор и обосновать применение того или иного класса функциональных форм.

Упомянутые «эквивалентные» системы хорошо известны для большинства наиболее популярных классов функций, таких как функции Кобба - Дугласа, Леонтьева, CES и др. [4]. При этом чем больше вариантов эквивалентных систем известно исследователю, тем шире арсенал доступных для него инструментов моделирования, выше шансы на построение более адекватной и эффективной производственной функции. Этим объясняется желание авторов заполнить имеющийся в литературе пробел и предложить несколько систем, эквивалентных производственной функции Солоу.

Статья состоит из трех частей. В первой части дается характеризация двухфакторной функции Солоу с помощью характеристик, определяющих изменения предельной производительности факторов при их вариации. Во второй части кроме подобной двухфакторному случаю характеризации многофакторных функций Солоу предлагается эквивалентная характеризация с использованием изменения предельной нормы замены каждой пары факторов и дифференциального описания квазиоднородных функций. Попутно предлагаются новые варианты характеризации однородных функций CESM. В третьей части обобщается на многофакторный случай доказанная в [4] теорема о виде однородной двухфакторной производственной функции, допускающей линеаризацию с помощью автономного шкалирования переменных, и показывается, что всякая квазиоднородная линеаризируемая с помощью такого шкалирования функция является функцией Солоу.

1.