Фрактальные характеристики экономического временного ряда и методы их определения
На протяжении XX века предпринимались неоднократные попытки построить модель динамики экономической системы, которая бы адекватно учитывала ее стохастическую природу. Классические теоретиковероятностные модели берут свое начало от работы Л.Башелье (1900), который предложил рассматривать динамику цен как винеровский случайный процесс, описывающий колебания линейной системы под действием бесконечно большого числа независящих друг от друга факторов, что не противоречило имевшимся в то время данным по динамике биржевых индексов [8,107].
Дальнейшие исследования показали, что в динамике цен существенную играют роль процентные ставки, которые приводят к появлению детерминированных экспоненциальных трендов на фоне случайного блуждания, вызванного мгновенными изменениями конъюнктуры рынка, что привело к созданию теории геометрического броуновского движения рыночных показателей [107]. Однако основная частьГ исходных предположений относительно корреляционной структуры
рыночных флуктуаций при этом была сохранена.
Центральным утверждением классического подхода является упоминавшийся выше постулат о статистически независимом поведении приращений биржевых показателей, позволяющий эффективно использовать аппарат марковских случайных процессов для решения дифференциальных уравнений ценовой динамики [86]. Утверждается, что автокорреляционная функция С (г) = (x(t)x(t - T))t последовательности приращений х = y(t) - y(t + Af) показателя y(f) на масштабе времени Аґ имеет вид
С = С0(Д/)£(г) (1.1)
где х)~х~а [109] с показателем а, не позволяющим получать устойчивые оценки подвижности (волатильности) показателей, одного из главных входных параметров классических моделей ценовой динамики. Эти наблюдения привели к пересмотру роли ТЭР, которая в последнее время потеряла свой фундаментальный статус и стала рассматриваться как удобное приближение к более сложному поведению финансовых показателей, описываемому закономерностями нелинейных интерактивных систем [85,123].
Хотя условие (1.1) в общем случае не соблюдается, оно остается удобным критерием для выявления нарушений эффективного состояния систем. Общая тенденция отклонений от ТЭР состоит в том, что наиболее низкий уровень автокорреляций обнаруживается в динамике стабильных показателей экономически развитых стран, в то время как неустойчивые системы развивающихся стран обычно характеризуются более заметной корреляционной структурой приращений [43]. Однако стандартный спектрально-корреляционный анализ [14,16,53] не является достаточно чувствительным методом для количественной оценки этого эффекта [118]. Кроме того, экономические временные ряды обладают свойством масштабной инвариантности (фрактальности), приводящей к расходимости С(г) при больших г и не позволяющей описать структуру ряда с помощью конечного набора корреляционных времен [15]. Наиболее адекватный математический аппарат для исследования таких процессов был сформирован на основе методов фрактального анализа.
Известно, что фрактальными свойствами обладают многие природные, технические и социально-экономические системы, относящиеся к классу БИС [24,58]. В широком смысле фрактальность подразумевает инвариантность каких-либо свойств объекта при изменении масштаба
наблюдения. Для временного ряда в роли такого масштаба выступает переменный временной интервал. По определению [18], случайный временной ряд x(t) является фракталом, если его приращения на интервалах At обладают свойством статистической самоаффинности, то есть
(|х(Г + At) - х(ґ)| } = -рг( |x(f + г AZ) - х(Г )|) (1.2)
для любого г>0 в пределах диапазона фрактального поведения ряда. Такое поведение предполагает масштабно-инвариантную форму графика x(t): его участки, соответствующие различным временным масштабам, выглядят сходным образом и статистически подобны целому ряду (рис. 3). Главной количественной мерой фрактального объекта служит его размерность подобия (фрактальная размерность) D [24]. Для случайного временного ряда D обычно находится в пределах от 1.0 до 2.0.
Левая граница этого интервала значений соответствует евклидовой размерности линии, правая — размерности двумерной поверхности. При D=1 график временного ряда имеет гладкую аналитическую форму, при D=2 он выглядит крайне иррегулярно и стремится "заполнить" собой область построения. На практике, как правило, случайный временной обладает промежуточным дробным значением фрактальной размерности.Было показано [122], что размерность процесса с независимыми приращениями, описываемого корреляционной функцией вида (1.1), равна
1.5. Это значение отвечает ТЭР, что подтверждается при анализе временных рядов экономических и финансовых показателей развитых стран. В первом приближении £) = 1.5 может рассматриваться как теоретически ожидаемое значение фрактальной размерности для состояния СК идеального функционирующей экономической системы. В то же время, на определенных интервалах времени даже наиболее эффективные рынки могут показывать другие значения D [11,41,50], что делает необходимым экспериментальное
Рис. 3. Масштабно-инвариантная форма графика временного ряда (индекс Доу-Джонса): выделенные участки, соответствующие различным временным масштабам, выглядят сходным образом и статистически подобны целому ряду.
определение границ нормы отклонений фрактальной структуры каждого типа экономических показателей.
Наиболее простой метод оценивания размерности состоит в покрытии графика ряда непересекающимися квадратными ячейками линейного размера L и подсчете их количества N как функции L. Для фрактального эта функция ведет себя как N ~ LD, что в пределе L —> 0 соответствует определению дробной размерности Хаусдорфа - Безиковича [18].
Использование такого метода на практике осложнено тем, что существующие алгоритмы прямого вычисления D, как правило, неэффективны и требуют длительных компьютерных вычислений. Кроме этого, оценка размерности по покрытию не свободно от противоречий, связанных с самоаффинной структурой большинства временных рядов, требующей использования разных масштабных коэффициентов в вертикальном и горизонтальном направлениях [46]. В связи с этим вместо непосредственного определения размерности обычно оценивают вспомогательные фрактальные индексы, связанные с D известными соотношениями (табл.1).Таблица 1. Связь фрактальных индексов с размерностью временного ряда и их значения, соответствующие теории эффективного рынка
| Название метода | Индекс | Связь с фрактальной размерностью | ТЭР |
| Спектральный метод | Р | D = 5/2-p/2 | 2.0 |
| Метод Херста | Н | D = 2 —Н | 0.5 |
| Метод Пенга | а | D = 3 - а | 1.5 |
Одним из широко известных фрактальных методов является метод Херста (метод нормированного размаха) [89]. Метод состоит в исследовании
отношения размаха R (разницы между максимальным и минимальным значением проинтегрированного временного ряда) к среднеквадратичному отклонению S ряда как функции временного масштаба А/. Для фрактального ряда выполняется соотношение R! S = (kt!2)H, где Н- индекс Херста, входящий в определение самоаффинности (1.2) и связанный с фрактальной размерностью зависимостью £> = 2-7/[24]. В качестве уточненной модификации метода нормированного размаха используется метод структурной функции [97], основанный на непосредственном применении соотношения (1.2) при анализе данных. Индекс Херста отличается высокой чувствительностью к наличию слабых корреляций между приращениями ряда. При 77 >0.5 корреляции имеют положительный знак, при 77 =1.5) соответствует независимым приращениям с нулевыми автокорреляциями [46]. Для количественной оценки степени выраженности корреляций во временном ряде с неоднородной фрактальной структурой (// = //(А/)) используется
«А формула 2[2Я(Д/Н] -1 [110].
Другой известный метод фрактального анализа основан на вычислении
Фурье-спектра мощности £(/) исследуемых фрактальных флуктуаций. Низкочастотная часть спектра спадает по степенному закону S~l/ что позволяет оценить размерность, используя соотношение £> = (5-/7)/2 [122]. В отсутствии крупномасштабных корреляций приращений спектральный, индекс Д=2, что согласуется с данными анализа устойчивых экономических временных рядов [41]. К недостаткам спектрального метода относится низкая точность оценки фрактальных индексов при исследовании коротких временных рядов, а также высокая чувствительность к нестационарным помехам в изучаемых данных [43].
> Наиболее устойчивым в этом отношении фрактальным методом
является метод Пенга (detrended fluctuation analysis) [69, 108,121], алгоритм которого включает необходимые поправки на различные по масштабу
тренды в динамике экономических показателей. Возможность учета трендовых составляющих особенно важна при исследовании флуктуаций валютных курсов, подверженных долгосрочным инфляционным процессам, что предопределило использование этого метода в настоящей работе. Подробное описание алгоритма метода Пенга изложено в главе 2.
1.5.