Экспериментальные исследования фрактальной динамики рынков и модели финансовых кризисов

Как уже отмечалось выше, колебания экономических показателей обнаруживают крупномасштабные корреляции, указывающие на систематические отклонения систем от эффективного состояния.

Общие взгляды на возможности применения методов фрактального анализа при решении экономических проблем изложены в [48,49,51,57,98,118]. При обсуждении возможностей применения фрактальных методов подчеркивается важность использования нестационарного подхода, позволяющего сопоставить динамику изменения фрактальных индексов на разных участках исследуемого ряда. Наряду с нестационарным методом Пенга был рассмотрен ряд алгоритмов, позволяющих характеризовать эффекты перемежаемости (интермитганса) флуктуаций финансовых индексов [82]. Было показано, что сопоставление структуры различных данных может потребовать одновременного учета нескольких стохастических параметров, причем в методологическом отношении фрактальные подходы позволяют восполнить существующий

> недостаток связей между эмпирическими исследованиями финансовых

рынков и экономическими теориями [57].

В работе [101] был проведен спектральный анализ флуктуаций приращений 20 основных акций NYSE (New York Stock Exchange). Результаты показали, что спектр приращений достоверно отличается от спектра ’’белого шума" с S = const, что указывает на корреляции исследуемых случайных процессов. Структура наблюдаемых спектров оказалась индивидуальна для различных типов акций. К более однозначным выводам позволило прийти применение спектрального метода к исследованию совокупных биржевых индексов [100] и абсолютных значений приращений курсов акций, который позволил обнаружить степенное поведение спектральной плотности мощности исследуемых рядов, согласующееся с результатами применения методов Пенга [83] и структурной функции [100].

Исследование флуктуаций валютных курсов (японской йены, британского фунта стерлингов, канадского и сингапурского доллара) методом нормированного размаха позволило выявить масштабную неоднородность этих процессов [109]. Согласно полученным оценкам, в на интервалах времени более 90 суток индекс Херста Я =0.5; при At = 30...90 Н > 0.5; при At < 30 индекс может принимаеть еще более высокие значения, однако фрактальная структура в этом диапазоне масштабов нестабильна. Наиболее устойчивое персистентное поведение с положительными корреляциями приращений наблюдается при А/ = 30...90. Аналогичное поведение с Я >0.5 было выявлено и при исследовании методом Херста флуктуаций курсов акций и облигаций [110]. Обнаруженный эффект рассмотрен как проявление долговременных тенденций, замаскированных быстрыми изменениями рыночных цен, связанными с краткосрочными спекулятивными операциями. Долговременные тенденции имеют масштабно-инвариантный характер, связанный со способностью рынка ф ’’запоминать" изменения предпочтений инвесторов. Вопреки положениям

ТЭР, роль этих изменений не сводится к мгновенной подстройке цен, а

выражается в долговременных трендах, которые могут длиться годами.

Было установлено, что неравномерное распределение размерности по временным масштабам анализируемых рядов в ряде случаев приводит к необходимости использования мультифрактальных и вейвлетных методов анализа [65,111,114]. В этой связи был рассмотрен метод независимых измерений индекса Пенга в различных диапазонах временных периодов. Разница значений индекса на этих диапазонах была рассмотрена в качестве возможного диагностического признака, позволяющего количественно оценить отклонение состояния рынка от эффективного, а состояние системы - от точки СК [119].

Фрактальные корреляции экономических и финансовых временных рядов тесно связаны с алгебраическим поведением плотности вероятности их приращений в области больших отклонений от средних значений. Удобной моделью такого поведения является семейство устойчивых распределений Леви.

распределения Леви вырождаются гауссово распределение, и фрактальная размерность исходного временного ряда принимает значение 1.5, отвечающее ТЭР. Как показывает анализ распределения доходов промышленных компаний Японии, США и Европы, степенная форма распределений тесно связана с механизмами конкурентного взаимодействия между участниками рынка и практически не проявляется в тех секторах экономики, где это взаимодействие ослаблено вмешательством государства [104]. С точки зрения теории БИС эта закономерность выглядит естественной, поскольку эффекты нелинейных взаимодействий являются необходимым условием самоорганизации сложных систем и их эволюции к состоянию СК.

Статистика Леви обнаруживается и при анализе волатильности (подвижности) рынков ценных бумаг [83,96]. Степенной характер распределения прослеживается в широком диапазоне значений приращений,

что указывает на наличие общего механизма больших и малых колебаний биржевых цен, аналогичного критическим лавинам в БИС [60].

⁴ Исследование высокочастотных флуктуаций волатильности методом

Пенга было проведено в работе [91]. В качестве данных использовались 5- секундные значения венгерского биржевого индекса BUX за период 1997- 1998 гт., включавший крах венгерского финансового рынка в октябре 1997 г. Результаты показали, вероятность этого события была высока, на что указывает степенная форма распределения значений, подчиняющаяся классической форме закона Парето с а=1.5 [109]. Найдены также сильные автокорреляции в динамике значений волатильности.

В то же время, было обнаружено [103,107], что высокочастотные колебания финансовых индексов на масштабах времени меньше суток подвержены систематическим изменениям, связанным с графиком работы брокеров и психологическими факторами, влияющими на чистоту транзакций в разное время суток. Учитывая этот факт, для получения объективных оценок фрактальной структуры рыночных показателей целесообразно использовать более грубое временное разрешение (начиная с динамики среднесуточных значений).

Фрактальные корреляции в колебаниях подвижности фондовых и валютных рынков были обнаружены также в целом ряде других исследований. При этом была отмечена необходимость создания новой теории оценивания опционов, учитывающих реальную корреляционную структуру финансовых данных [106]. В качестве возможных решений этой проблемы было предложено дробное интегрирование уравнений стохастической динамики цен [63], внесение нелинейных поправок в стандартные модели оценивания [75] либо использование кластерной статистической модели подвижности рынков [68,106].

Возможность статистического прогноза динамики экономических индексов интенсивно обсуждается в литературе. Действительно, временные ряды финансовых индексов нередко обнаруживают признаки предсказуемого

низкоразмерного поведения. Наглядным примером служит динамика греческого фондового индекса ASTI. Использование метода нормированного