Приложение 1 Типология стохастических моделей динамики рыночных цен на энергоносители

В данном приложении представлен анализ существующих подходов к моделированию динамики рыночных цен на энергоносители [52].

Модели геометрического Броуновского движения

В математике Видисснеровским процессом называется математическая модель Броуновского движения с непрерывным временем.

ГБД или экспоненциальное броуновское движение — случайный процесс с непрерывным временем, логарифм которого представляет

собой Винеровский процесс. ГБД широко используется для моделирования ценообразования на финансовых рынках, преимущественно в моделях ценообразования опционов, так как значения переменных, подчиняющихся закону ГБД, могут принимать только положительные значения.

Логарифмическая доходность ценной бумаги определяется следующим образом:

В выражении логарифмические доходности (П1.1) для периода времени t=0 S(y) обозначают курс ценной бумаги в момент у.

Основная формула ГБД может быть представлена в следующем виде:

где S_t— цена в момент времени t;

dS----------- изменение цены S за период времени от 0 до t;

μ- снос;

ст - волатильность S;

dz-приращение Винеровского процесса.

Использование ГБД для прогнозирования цен на сырьевые товары имеет определенные ограничения. Во-первых, ряд исследований показали, что распределение цен на сырьевые товары не является логнормальным [72, 80, 120, 126, 140-143]. Следовательно, ГБД не всегда подходит для прогнозирования цен на сырьевые товары. Во- вторых, резкие скачки цен могут быть недооценены логнормальным распределением. В-третьих, сложно предсказать волатильности будущих

цен, значение которых не является постоянной величиной. В-четвертых, разброс определяется случайным членом, поэтому прогнозируемый результат очень чувствителен к случайной компоненте. В этой связи, процесс ГБД плохо описывает изменение цены на длительных интервалах. Однако данная проблема существует и для других методов прогнозирования [85]. C другой стороны, одним из преимуществ ГБД является возможность относительно легко оценивать входные параметры модели.

Модель возвращения к среднему

В математике процесс Орнштайна-Уленбека был представлен Леонардо Орнштайном и Джо джем Юджином. Процесс Орнштайна- Уленбека является непрерывным аналогом дискретного авторегрессионного процесса. Этот метод известен также в экономике как возвращение к среднему и используется в анализе временных рядов для генерирования трендов.

В данном методе возвращение к среднему математически записывается как модификация модели «случайного блуждания».

Модель возвращения к среднему добавила в модель случайного блуждания предпосылку об абсолютной независимости изменения цен, то есть при прогнозировании цен основное значение имеет исторический тренд [84]. Согласно данной теории цены (их доходность) со временем возвращаются к своему историческому среднему значению. Другими словами, процесс возвращения цен к среднему предполагает, что цены со временем стремятся к своим средним уровням. Причем темп возвращения к среднему уровню считается постоянным.

Метод возвращения к среднему был широко поддержан экономистами, поскольку его предпосылки более логичны, чем у модели ГБД. Этот метод основан на предположении, что цены некоторых

торгуемых активов, таких как коммодити (биржевые товары), стремятся вернуться к некоторым фиксированным значениям, то есть, если текущая цена находится ниже этого фиксированного значения, она будет стремиться к росту; если выше - к падению. Росс заметил, что данное явление не может быть объяснено моделью ГБД [134].

В финансах модель возвращения к среднему на сегодняшний день известна как модель Васичека или как модель Кокса-Ингерсолла- Pocca (CIR, в некоторых работах CIR SR (Square Root)) [92]. Модели Васичека и CIR достаточно похожи и представлены выражениями (П1.3) и (П1.4) соответственно.

Где: β,a-темпы возвращения к среднему уровню в моделях, а ,У - средние уровни цены (долгосрочные равновесные цены) в моделях,

S_t— текущая цена,

(J — волатильность цены, dz — приращение Винеровского процесса.

При использовании модели возвращения к среднему также возникает ряд ограничений. Во-первых, цены сырьевых товаров могут в различное время демонстрировать скачки, сложно согласующиеся с логнормальным распределением. Это означает, что после резкого скачка (существенного изменения) цена товара уже не может вернуться к среднему. Во-вторых, скорость возвращения к среднему непостоянна.

По этой причине некоторые методы используют вместо среднего значения медиану.

Стохастические модели прогнозирования цен

В 1993 году Лафтон и Якоби представили новую модель изменении цен, в основе которой лежит логнормальное распределение. Данная модель позволила им представить легко интегрируемую форму распределения для временной структуры цен. Преимуществом данной модели является то, что она была разработана специально для оценки ожидаемых уровней цен во времени. Эта модель определяет возвращение ожидаемых в будущем уровней цен для любого заданного периода. Следовательно, возвращение ожидаемых значений цепы для периода времени любой длины, от tдо t+dtи после t+dt,определяется одной нормально распределенной случайной величиной [119]. Данная модель выглядит следующим образом:

где а — темп роста медианы значений цены в краткосрочном периоде,

S_t— текущее значение цены,

- текущее значение долгосрочной медианы значений цены,

s>имеет распределение Пуассона с параметром Я(г- л));

λ - количество скачков за период.

Согласно уравнению (П1.7), модель Мертона может быть преобразована в модель ГБД (П1.2), если допустить, что: 2 = 0. В этой модели присутствует также корректирующий член - λk. Скорректированный пуассоновский процесс позволяет сделать ожидаемое значение dsнезависимым от параметров скачка [95].

Модель ценообразования со скачкообразной диффузией можно разделить на две части. Первая часть описывает процесс непрерывного изменения цены, представляемой моделью ГБД с возвращением к среднему и изменяющейся временной структурой. Объединение временной структуры будущей волатильности вместе с возращением к среднему уровню позволяет описать динамику цен на природные ресурсы без выбросов. Вторая часть определяет скачкообразные разрывы, моделируемые пуассоновским процессом. Основным ограничением модели со скачкообразной диффузией Мертона применительно к энергетическим рынкам является предположение о независимости процесса непрерывной логнормальной диффузии и процесса, имеющего пуассоновское распределение. Данное предположение неверно применительно к ценам на природные ресурсы [84].

Применение модели возвращения к среднему со скачкообразной диффузией на практике обладает рядом ограничений. Во-первых, непонятно, каким образом определить размер скачка на основании исторических данных. Во-вторых, определение направления скачка на

основании исторических данных не учитывает ожиданий о дальнейшем движении. В-третьих, параметры, определяющие прыжок, не постоянны во времени. В-четвертых, значения среднего, к которому возвращается цена, различны для скачков и для обычных изменений цены. Процесс скачкообразной диффузии предполагает только одну скорость возвращения к среднему, однако скорость возвращения после некоторых шоков различна. Наконец, скачки цен на энергоносители непостоянны.

В Табл. П1.1 представлена хронология основных моделей ценообразования, разработанных за последние десятилетия. Данные модели можно разделить на три основные группы:

1. классические модели (модели возвращения к среднему уровню и геометрического Броуновского движения);

2. стохастические модели прогнозирования цен;

3. модель возвращения к среднему со скачкообразной диффузией.

R tD О

Комбинированные модели

Чтобы смоделировать достаточно сложную динамику рыночных цен на энергоносители, используются составные стохастические процессы, являющиеся комбинацией более простых случайных процессов.

Например, Шварц в работе [138] для моделирования динамики цен на энергоносители использовал стохастическую модель следующего вида:

В рассматриваемой модели рыночная цена X_tописывается уравнением броуновского движения со средним μи волатильностью σ₁, поправленным на дополнительный член δ_t, который, в свою очередь, задается процессом возвращения к среднему уровню ОС с коэффициентом возвращения к и волатильностью σ₂. Здесь jv_iи jv₂представляют собой независимые стандартные винеровские случайные процессы.

Другим примером комбинированной модели является модель, изложенная в статье Шварца и Смита [139]. В ней изменение логарифмов цен X_tпредставляется комбинацией двух процессов: процесса χ_t, описывающего краткосрочную динамику цен, и процесса ξ_t, определяющего долгосрочную динамику.

Краткосрочная динамика модели описывается процессом возвращения к среднему уровню:

В то время как долгосрочная динамика описывается процессом Броуновского движения:

Причем оба процесса коррелируют между собой: dW_χdW_ξ- ρdl.

Комбинированные модели позволяют моделировать динамику со сложным поведением. C другой стороны, оценивание параметров модели требует большего количества статистических данных, является более трудоемким, а параметры модели менее устойчивы по сравнению с более простыми традиционными моделями.

Авторегрессионные модели

Авторегрессионные модели связывают текущие значения рыночных цен на энергоносители с предыдущими значениями. В общем виде форма авторегрессионной модели выглядит следующим образом:

где