3.2. Модель стохастической Альфы, Беты, Ро.

Модель стохастической Альфы, Беты, Ро (c англ. Stochastic Alpha, Beta, Rho - SABR) была получена Хеганом, Кумаром, Лешниевски и Вудманом в 2002 году [Hegan и др. 2002].

Модель SABR предполагает то, что волатильность цены актива является стохастической величиной.

поскольку процессы коррелированны, то:

где: F - форвардная цена актива

- коррелированные винеровские процессы

ρ - коэффициент корреляции

α - волатильность актива

V - параметр volvol - волатильность волатильности α β - параметр «наклона» волатильности

Расчет стоимости опциона по модели SABR

Предположим, что общая волатильность α и волатильность волатильности (“volvol”) ν - величины небольшие. Поэтому можно

представить модель SABR в следующем виде:

где: ε≪1.

Рассмотрим общий случай для C(F), и затем применим полученные результаты для степенной функции F ^Р. Предположим, что F (t) = f и а( 0 ) = а в момент времени t, тогда плотность вероятности распределения будет иметь вид:

Функция плотности вероятности распределения как функция величин T, F и A удовлетворяет прямому равенству Колмогорова:

по А дает в результате ноль, стоимость опциона выражается

формулой:

Несмотря на то, что итоговая формула в модели SABR имеет достаточно сложный вид, формула представлена в явном виде и включает в себя элементарные функции. Поэтому теоретически внедрение модели SABR в модель Блека и дальнейшая ее практическая реализация для оценки стоимости CDS не должна представлять сложностей.

3.3