3.1 Модель постоянной эластичности дисперсии

Первоначально модель постоянной эластичности дисперсии (с англ. - constant elasticity of variance, CEV) была предложена Джоном Коксом [Cox, 1975], то есть вскоре после представления модели Мертона.

Модель CEV предполагает изменение цены актива согласно следующему стохастическому дифференциальному уравнению (далее СДУ):

где: β - параметр, регулирующий взаимосвязь цены актива и волатильности. Например, на рынке акций если цена резко падает, то волатильность растет, в модели CEV β2, но они рассматривают в основном динамику цен на товарных рынках.

Получение конечной формулы для оценки опциона по модели CEV по своей сути сходно с подходом Блека-Шоулса в том, что обе модели используют риск-нейтральный подход, и что в обоих случаях СДУ цены опциона трансформируется в общеизвестное уравнение теплопроводности и решается стандартными математическими методами. Единственное принципиальное различие между расчетом опциона по модели Блека-Шоулса и CEV - закон, по которому изменяется цена актива с течением времени.

Предпосылки модели CEV следующие:

• мгновенная процентная ставка известна и постоянна;

• цена акции - это решение СДУ 3.1, которое подразумевает, что параметры δ и β постоянны и известны, и дивиденды не платятся в течение жизни опциона;

• отсутствуют транзакционные издержки, налоги, существует запрет на короткие продажи, и возможно продать любую возможную долю акции или опциона.

Вывод уравнения плотности распределения

Поскольку модель CEV является риск - нейтральной согласно Коксу и Россу (Cox, Ross, 1976), то цена актива выражается следующим образом:

где: S_t- стохастический процесс описываемый уравнением (3.2) K - цена страйк опциона

Таким образом, необходимо найти функцию распределения, описывающую развитие цены актива от первоначального момента до

момента Т.

Предположим, что непрерывный процесс X(t) является решением в котором прямые переменные x и t вводятся только через граничные условия.

Функция плотности распределения может быть решением как форвардного, так и обратного равенства Колмогорова.

Действительно, процесс изменения S_t- непрерывный с непрерывными переменными, удовлетворяющий выражению (3.2) c

первоначальными условиями B₀=0. Этот процесс имеет мгновенную

Здесь также следует учесть, что процесс S_tимеет абсорбирующий барьер, равный нулю, то есть то, что цена актива не может быть меньше нуля.

Чтобы найти функцию распределения, необходимо решить прямое и обратное равенства Колмогорова:

при граничных условиях:

где: δ (x) - дельта-функция Дирака.

Первое граничное условие следует из абсорбирующего барьера, второе - для случаев, когда f - обычная функция распределения.

Решение частичных дифференциальных уравнений следующего типа было предложено Феллером (Feller, 1951):

Это равенство аналогично форвардному равенству Колмогорова, _{x z}, х , _z Для того чтобы применить решение

Феллера для модели CEV, необходимо трансформировать процесс S_tи мгновенную среднюю, и мгновенную дисперсию, чтобы получить дифференциальное уравнение частных производных требуемой формы.

Трансформация, предложенная Коксом (Cox, 1996):для

всех β≠2.

Прямое равенство Колмогорова в данном виде может быть использовано для получения функции плотности вероятностей перехода Y_t.

Данная функция представлена в 9-й лемме Феллера как:

2b(e-^-'yY,)'∖

>C ⁽a(l - є-”) ^}(³∙¹⁶>

, . . b -b(y + Y_le^tr)^yye-^{bτ c α}

f_Y∣_y(У,”)= ^eχp( — )(

'^l,' a(e^bτ-l) a(e^by-l) Y₁

Абрамович и Стеган (Abramowitz, Stegun, 1968) представили разложение в ряд модифицированную функцию Бесселя:

Используя выражение (3.20), можно переписать функцию Бесселя в плотности распределения в выражении (3.19):

Вывод стоимости опциона для модели CEV

Для вывода СДУ для оценки опциона по модели CEV используется лемма Ито.

Пусть C_t- цена дериватива, которая зависит от цены базового инструмента S времени t. Из леммы Ито, подстановкой параметров уравнения 3.2, получается следующая зависимость:

которое является решением СДУ - выражения (3.28).

Нам известна функция плотности распределения перехода для CEV процесса (3.19), в котором μ можно заменить на г, и вид риск- нейтральной функции плотности распределения для S_τпри данной ^S_t

(3.37), получим итоговую формулу для оценки опциона колл:

Заменив в модели Мертона подход Блека-Шоулса к оценке опциона колл на активы компании на модель CEV, и реализуя модель Мертона с учетом нового подхода к оценке опциона, получим стоимость CDS, в которой будет учтен эффект улыбки волатильности. Результаты применения модели будут продемонстрированы далее.