Глава 3. Реализация различных моделей волатильности для оценки кредитного дефолтного свопа

Модель Мертона и другие вариации структурных моделей, использующие для оценки опциона на стоимость фирмы модель Блека-Шоулса, имеют один общий недостаток: они не учитывают так называемую «улыбку волатильности» и наклон волатильности.

Как было показано, во второй главе базовая модель Блека- Шоулса предполагает, что цена базового актива изменяется по закону геометрического броуновского распределения (модель Сэмюэльсона):

где: μ - дрифт цены или ожидаемая доходность ценной бумаги

δ - волатильность ценный бумаги

dz - винеровский процесс

Из уравнения 2.2 видно, что волатильность ценной бумаги - величина постоянная, не зависящая от стайк-цены опциона, текущей цены базового актива или каких-либо других параметров. Таким образом, данная модель изменения стоимости базового актива не может в полной мере отражать реальные свойства волатильности и особенности движения цен. Следовательно, структурная модель на ее основе также не будет точно рассчитывать теоретические цены деривативов, в частности стоимость кредитного дефолтного свопа. Что и было показано во второй главе, где была реализована модель

Мертона для оценки кредитных дефолтных свопов на российские компании. Модель оказалась, во-первых, слишком чувствительной к волатильности, во-вторых, в кризисные времена при резких падениях цен и большой волатильности, кредитные риски оценивались моделью слишком высоко, а во времена относительной стабильности, теоретическая стоимость CDS стремилась к нулю.

Таким образом, в рамках исследования была поставлена задача, реализовать структурную модель с другими предпосылками относительно модели изменения базового актива, в которой опцион на стоимость фирмы оценивался бы не с помощью модели Блека- Шоулса, и где волатильность была бы величиной не постоянной, а моделируемой.

В качестве моделей динамики актива с моделируемой волатильностью были использованы модель CEV - модель постоянной эластичности вариации (с англ. Constant Elasticity of Variance) и модель SABR - стохастичные Альфа, Бета, Ро (с англ. Stochastic Alpha, Beta, Rho). В модели CEV волатильность зависит от изменения цены актива, чтобы учесть эффект «улыбки волатильности», поэтому CEV не является моделью стохастичной волатильности в полном смысле этого слова, так как она не представляет собственного стохастического процесса, моделирующего волатильность, и иногда ее называют моделью локальной волатильности. В отличие от этого в модели SABR волатильность является стохастическим процессом. Таким образом, реализуя последовательно классическую модель Мертона, CEV и SABR, можно наблюдать, как меняется точность оценки CDS от модели с постоянной волатильностью, к модели с переменной волатильностью, как промежуточным вариантом не стационарной

волатильности, заканчивая моделью со стохастической волатильностью.

Модели CEV и SABR не являются столь распространенными, изученными и используемыми на практике моделями, как модель Мертона и модель CreditGrades. Возможно, поэтому как конечные формулы, так и ход их вывода разнятся между авторами и последующими исследователями моделей. Таким образом, мы решили представить вывод итоговых формул оценки опциона для данных моделей, с учетом некоторых собственных корректировок по ходу решения.