Метод Пенга (DFA — detrended fluctuation analysis)
Как и другие фрактальные методы анализа временных рядов, метод Пенга основан на исследовании зависимости интенсивности исследуемых флуктуаций от длительности интервала наблюдения.
Особенность метода состоит в вычитании из каждого анализируемого фрагмента временного ряда линейного тренда, что позволяет повысить точность в условиях низкочастотных помех и при ограниченных объемах выборок [69,90,91]. Из существующих методов фрактального анализа метод Пенга лучше всего подходит для исследования экономических данных, так как позволяет получать устойчивые оценки размерности на фоне низкочастотных трендов и таким образом делать поправку на неизбежную во многих странах инфляцию. Это быстрый и хорошо апробированный метод, имеющий достаточно высокую точность даже при ограниченных объемах анализируемых данных.Первый шаг метода Пенга состоит в вычислении суммы с переменным верхним пределом от центрированного валютного ряда yt:
x.-ZO'.-W)
(2.1)
1=0
где (у} - среднее арифметическое обменного курса на всем промежутке
наблюдений t = Q...N. Далее в пределах этого промежутка выделяются вспомогательные временные интервалы, на каждом из которых вычисляется дисперсия d относительно локального линейного тренда:
t2) = (t2 -/і)'1 -(a+bt)^ (2.2)
f=h
Здесь Zj,Z2 - границы интервала, a,b - регрессионные коэффициенты, определяемые при линейной аппроксимации ряда на рассматриваемом интервале (см. Приложение 1).
Функция Пенга F(Az) определяется на основе усреднения значений d по совокупности интервалов шириной At = t2-tlt смещенных относительно начального момента времени на разное число шагов:
< F- + (2.3)
N *=о
где К - число интервалов усреднения. В качестве параметра сдвига использовалось значение ґ,=5. Для фрактального временного ряда зависимость F(Af) имеет вид [108]
F~AF (2.4)
Проверка степенной формы функции Пенга при анализе экспериментальных данных проводится в логарифмической системе координат.
При этом показатель а (индекс Пенга) приобретает смысл углового коэффициента:log F~cz log А/
(2.5)
Вычисление среднего значения и стандартной ошибки индекса а осуществляется по формулам линейной регрессии с применением метода наименьших квадратов [8].
Программная реализация алгоритма Пенга (см. Приложение 2), а также остальных математических методов, использованных в настоящей работе, осуществлена на языке Object Pascal в среде Borland Delphi [20].
Индекс Пенга характеризует корреляционную структуру исходного ряда у,. При а 1.5 приращения, напротив, связаны положительными корреляциями (персистентное поведение yt), и направление трендов имеют тенденцию к сохранению. Значение а=1.5 соответствует нулевым автокорреляциям и отсутствию достоверных трендов.
4' Если в ряде присутствует периодическая компонента с характерным
периодом То, то показатель наклона графика F(A/) (и, соответственно, значение а ) слева от точки TQ становится больше, чем справа. Этот критерий может использоваться для обнаружения циклических составляющих в структуре сильно нестационарных временных рядов [39].