5.2. ОБРАТНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ И ИХ ОБОБЩЕНИЕ ДЛЯ КЛАССА ЗАДАЧ ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ОРИЕНТАЦИИ

Обратные вычисления есть не что иное, как вычисления с помощью обратной функции. Потребность в них возникает по той причине, что в процессе принятия решения вначале всегда формулируется цель, а уже затем отыскиваются средства для ее достижения. Цель всегда первична, средства достижения вторичны.

Однако экономические показатели, являясь количественной мерой достижения цепей, рассчитываются с помощью прямых функций. Например, рентабельность определяется на основании прибыли, деленной на себестоимость. Здесь первичны прибыль и себестоимость. Для того чтобы система могла давать советы, она должна уметь менять местами функции и аргументы, что достигается с помощью решения обратных задач. Тогда на вопрос, какие меры следует пред- принять, чтобы рентабельность увеличилась на п %, достаточно рентабельность рассмотреть не в качестве функции, а в качестве аргумента, а прибыль и себестоимость станут соответственно функциями. Если есть способ определения, каким должна быть прибыль, а какой себестоимость, чтобы обеспечивать увеличение рентабельности на п %, то этот способ и будет называться способом обратных вычислений.

Впервые систематические обратные задачи, возникающие в математической физике, были представлены в работах [217,218]. В первой из них приведена следующая теорема:

Пусть некоторая совокупность элементов {*}, образующая метрическое пространство R, непрерывно отражается на некоторую другую совокупность элементов {х*}, отражающую пространство R'. Если это отображение x'-f(x) взаимнооднозначно, непрерывно и если отображаемое пространство R компактно, то обратное отображение х=/'(х') также непрерывно.

Кроме этой теоремы, дающей общее представление об обратных задачах, для понимания процедур обратных вычислений полезно также следующее определение [217]:

Пусть некоторая совокупность элементов {*} отображается функцией f(x) на другую совокупность элементов {jc*}.- x'=f(x). Назовем это отображение взаимно однозначным в точке xff если хо ~f(хо) *f(х) для любого х, отличного от xff

Таким образом, установлены условия существования обратного отображения. Однако в экономике достаточно сложно вывести функции для обратных вычислений, так как большинство прямых функций имеют больше одной переменной. В работе [218] этот достаточно широкий класс задач, возникающих в различных отраслях науки, и в том числе в экономике, назван некорректным.

В экономике обратные вычисления стали применяться в экспертных системах для получения ответов на вопросы вида: Как сделать, чтобы...? Для того чтобы освободиться от проблем решения некорректно поставленных задач, в работах [66,162,163,187] предложено их доопределение с помощью коэффициентов приоритетности целей. Это нововведение позволило определить оператор, выполняющий функции обратного отображения.

Следует отметить, что упомянутые работы содержат описание идей и некоторых принципов. Систематические исследования, касающиеся экономических расчетов и позволяющие говорить о создании теоретических основ обратных вычислений, пока отсутствуют.

Прежде всего покажем на примере необходимость очерчивания области определения, обратившись к примеру, приведенному в [162, с.ЗЗ]. Пример иллюстрирует, каким образом можно повысить рентабельность, рассчитываемую делением прибыли на себестоимость. Допустим, рентабельность, равную 0,1 (10:100), необходимо повысить в два раза (0,2). Причем ее прирост на 0,7 должен быть реализован за счет увеличения прибыли (а=0,7) и на 0,3 - за счет снижения себестоимости (Р=0,3). Воспользовавшись формулами, приведенными в [162, с. 32, 33], получаем : К= 1,921, /С2= 1,041; это указывает на то, что прибыль должна быть увеличена до 19,21, а себестоимость снижена до 96,06.

Изменим значения коэффициентов аир следующим образом: а=0,3, Р=0,7. В этом случае коэффициент /(,=0,71, что указывает на невозможность решения задачи в такой постановке. Вывод следующий: для каждой обратной функции необходимо указать ту область определения, в которой результаты вычисления имеют смысл.

В табл.5.1-5.3 приведены коэффициенты для обратных вычислений, используемые для аддитивных, мультипликативных и кратных (дробных) прямых функций. Для того чтобы выяснить, при каких исходных данных эти функции имеют смысл, необходимо решить систему неравенств, каждое из которых отражает одно из качествен- ных требований, предъявленных к результатам расчетов (системы неравенств для различных элементарных базовых конструкций (ЭБК) приведены в приложении 1).

коэффициенты, согласно которым отыскиваются приросты аргументов функций, всегда должны быть больше единицы; •

сумма коэффициентов относительной важности всегда должна быть равна единице.

Первое требование вытекает из подхода к решению задачи поиска обратной функции. Этот подход заключается в поиске коэффициента, на который следует либо умножать, либо делить искомое значение аргумента. Если искомое значение необходимо увеличить, то в таком случае происходит умножение, и наоборот, если уменьшить - то деление.

Коэффициенты для обратных вычислений определены в табл. 5.1-5.3 следующим образом:

Я+ДЯ=Л",Я; С+АС=К?\ Я-ДЯ=Я/А"|; С-АС=С/К2,

где Я - первый аргумент прямой функции;

АЛ - прирост аргумента Я,

К[ - коэффициент, обеспечивающий прирост аргумента П,

С - второй аргумент прямой функции;

АС - прирост аргумента;

К2 - коэффициент, обеспечивающий прирост аргумента С.

Значение прямой функции Р+АР превращается в аргумент и находится с помощью коэффициентов Кх и К2, при этом первый из аргументов (П) характеризуется КПЦ, равным а, а второй - р. В табл. 5.2 использовано сокращенное выражение в=РфП-аС).

Очевидно, если мы желаем добиться правильного результата, коэффициенты К{ и К2 всегда должны быть больше единицы. Из этого правила могут быть исключения, например, если исходное значение мультипликативной функции отрицательное. Мы эти случаи не рассматриваем.

Второе требование есть не что иное, как согласованность приоритетов в достижении подцелей в определенной шкале. Нами выбрана шкала, в которой измеряются предпочтения подцелей от 0 до 1. В процессе манипулирования различными частями исходных прямых формул согласованность весов может быть утеряна. Ниже мы рассмотрим, каким образом ее можно восстановить. Формулы обратных вычислений для аддитивных функций

Таблица 5.1 № п/п Прямая функция Коэффициенты для обратных вычислений Область определения 1-й вариант 2-й вариант 1 Р*=П*( а)+СЧР) n+tJI=KJl; С+АС=КгС;

„ а{Р + АР)+ РЯ - аС /Сі — ? • • 1 Я

(Р + ЛР)-К,Р

Kl с ДРХ)

AP>Ktn-P АР>К,П-П П>0 *>i ОО а>0 а+Р=1 Р>0 ДЯ>0

АР<К1П-Р АР<К1П-П ПО К> 1 С<0 а>0 а+Р=1 Р>0 2 Я*=Я*(а)+С(Р) Р*=Я+(а)+Є(Р) Я+ДЯ=/Г,Я; С-АС=С/Ку к _-а(Р + АР)+$П +а„ ' Я(р-а)

к - с

2 (Р + ЬР)-КіП П>0 Р<1 ОО

а>0 ДР<К,Я-Я (ЬО

а<0,5 ДР<К,Я-Р Р>0,5 а+Р=1 Я<0 р>а ОО

а>0 ДР<К,Я-Я

р>о

а<0,5 ДР<К.,Я-Р Р>0,5 а+Р=1 3 Р*=П\а)+Оф) Я*=Я-(а)+Є(Р) П-ЬЛ-ШКХ; С+АС=К,С;

_п и(а-Р) 1

а(Р + АР) - РЯ - аС '

„ (.Р + Д/>)-Я/ж,

Ал 2

С Я

ЛХ) Д/^"^- -Я Р>0,5

а<0,5 ОО ДЯО

Я Я

Я<0 ДЯ> -Я Р<0,5

а>0,5 ОО ДЯО

Я

ДР>~?Г-Р № п/п Прямая функция Коэффициенты для обратных вычислений Область определения 1-й вариант 2-й вариант 4 Р-=Л'(ос)+С(Р) Л+ДЛ=Я",Л, С-ас-а кг;

ч-аС-аСР-Д/'і + рл

1 Я(р-а)

* - С ЛХ) а<0,5 РХ>,5 ОО

ДР>Р-К,Л ДР>Л-К,Л П<0 аХ>,5 Р<0,5 ОО

ДР>Р-К,Л ДР>Л-К.,Л 5 Р-=Я'(а)+С((1) П-дЛ=П/кv С+ДС=А2С;

Я(а-Р) 1

-РЛ + а(Р-ДР)-аС' 2

С ОО ДР<0

ДРЖ,Л-Л

ДРЖ,Л-Р

Л>0

а>0,5

Р<0,5 ОО ДР<0

ДР<К.,Л-Л

ДР<К,Л-Р

по

а<0,5 Р>0,5 6 П-&Л-П/ Кх; С-АС=С/Кг;

к Я(а-Р) 1

-рл + аС-а(Р-ДЯ)'

* - С 2

(P-AP)-n/Kt оо др<о

ДР<К,Л-Л

ДР<К,Л-Я

ЛХ)

а>0,5

Р<0,5 ОО ДР<0

ДР<К,Л-Л

ДР<К,Л-Я

Л>0

а<0,5

Р>0,5 № п/п Прямая функция Коэффициенты для обратных вычислений Область определения 1-й вариант 2-й вариант 7 Г=П\ а)-СЧР) П+АП=К{П; С+АС=Кг1СI; -а(Р +АР) + рЯ - а|С| " Я(р-а)

/Г.Я-^ + Д/»)

И ЯХ) ДР<-2С

а<0,5

Р>0,5

ДР<К,Я-Я ДР<К,Я-Р Я<0 ДР<-2С

а<0,5

Р>0,5

ДР<К,Я-Я ДР<К,Я-Я 8 П+АП=КХП; С~АС=\С\/Кг, а(Р + АР)+ ЗЯ + а|С|

Лі = —1 * 1

п

к И 2

К,П-(Р + АР) ДР>0 ОО

ДР<К,Я-Я ДР<К,Я-Р П> 0 а>0

a:,>i р>о ДР>0 ОО

ДРЖ,Я-Я Я<0 а>0

?>1 р>о 9 П-АП=П/ Kv С-АС= | СI / Кг;

к Я(а-р) 1

ajcj - рЯ + а(Р - АР) •

jc М 2

Я/ЛГ,-(Р-ДР) я

ОО А?<П--^~ П

П> 0 ДР<Я--^- а>0,5

р<о,5 к>1

ДР>2Я а>0

р>о Я

ОО АР<П--?~ П

П< 0 ДР<Р-"^г а<0,5

Р>0,5 к,>1 ДР>2Я а>0

р>о

Формулы обратных вычислений для мультипликативных и кратных функций

Таблица 5.2

№ п/п Прямая функция Коэффициенты для обратных вычислений Область определения 1-й вариант 2-й вариант 10 Р*=П\ а)СЧР) Я+ДЯ=Л\Я; С+ДС= К2С;

РфП-а^ + ^в1 + 4а$РСП(Р + АР) 1

23 ПР ^ = Р + 2

КХР Я>0

ДР>К,Р-ДР АР>-Р

П

а>~ С-П К> 1 Я<0

ДР>К.,Р-ДР АР>-Р

П

К> 1 И П+АЛ=К,П; С-ДС= С/К};

P$n + aC) + -Je2-4а$РСП(Р + АР) 1

2 РЯР 2

Р + АР ЛХ)

ДР<К,Р-Р АР>-Р

к>\ 1 Я

а>~ С-Я я

а>_ С - Я

я

АР>-Р К> 1 ПХ) 12 Г=П(а)Сф) Я-ДЯ=Я//Г,; С+ДС=ЛГ2С;

Р(рЯ + аС) + д/в2 + 4аС(аС + ЗЯ )РрЯ оо

я

а>-

С-Я

Р>0

Р

АР>-Р Не найдена 1 2аС(Р + АР) 2

Р

№ п/п Прямая функция Коэффициенты для обратных вычислений Область определения 1-й вариант 2-й вариант 13 Р^П-( а)С(Р) П-АП=П/КГ С+ДС= AjC;

РфП + аС) + т}в2-4а.рРСП(Р-АР) 1

~ 2РЛР

..*,(/»-АР) 2

Р Л

а>~ С-П Р>0

ДР<^-Р

АР>-Р ОО Не найдена 14 П+АП^П; С-ДС= C/Zfj!

-РфП-аС) + ,1в2-4арРСП(Р-АР) Р>0 Л>0

ДP>P-Kf АР<Р

а>~ С-П То же 1 " 2рЛР 2

Я-АР 15 а)О(Р) П-АП=П1К,; С-ДС= С/А,;

-Я(РЛ-аС) + >/ві-4арРСЛ(Р-АР) Р п

а > ;

СР-2САР-РП

Р>АР ОО

Р

АР>Р-~^ К> 1 _ її _ 1 " 2С(Р-АР)

л- ^ 2

/Г,(Р-АР) '

Таблица 5.3

№ п/п Прямая функция Коэффициенты для обратных вычислений Область определения 1 -й вариант 2-й вариант 16 Р*=П*(а)/Оф) П+АП=КХП\ С-АС= С/К2', а + РРр

Р + АР

К2 = р+ар 2 КХР а<1+Р + Д/>-1

АРО

Р>0

АР>-Р

APАР<0 Р>0

AP>Kf-P К> 1 17 Р~=П%а)/Сф) П+АП=К^П; С+АС=КгС;

^ -Р Р. Р-АР Р

2 Р-АР АР<Р АР>К,Р-Р

а<1~7+Т

Р-АР а> \ -Р-АР аХ),Р>0 Р<0

АР>Р

АР>Р-К,Р

ДЖО

Р-АР а<1-Р-АР № п/п Прямая функция Коэффициенты для обратных вычислении Область определения 1-й вариант 2-й вариант 18 />"=Л-(а)/СЧР) П-АП=П/Кр С+АС=К2С-

к (о-Р)Р 1

(а-$Р)(Р-АР)'

к - р 2

КХ{Р-АР) Р>АР АР<Р

а>0,5 АР> Р 1- —

Р0,5

1

а>Р + 1

Р<

Р + ДР-Р2 + РДР Р>АР АР>Р а<0,5 АР> Р

р>о4

1

Р<

Р + ДР-Р2+РДР 19 />"=Л-(а)/С-(Р) П-АП=П/К], С-ДС=С/ К2,

1 а-Р/" K=Kt(P-AP)/P а>/>+1 ^

АР<Р АР<Р-^ а<р+1 ^

«<Я + 1 *.>!

АР>Р

Р

AP0 Формулы обратных вычислений для кратных функций

Оба требования, предъявляемые к результатам поиска коэффициентов для обратных вычислений, как уже упоминалось, должны быть отражены совокупностью неравенств. Обратимся к табл. 5.1 и 5.2 и построим такие неравенства для функций Р+=ГГ(а)+С (р) и Р+=ГГ(а)ЧС+(Р):

-а(Р + АР) + (3/7 + аС > 0 (1)

77(р-а)>0 (2)

-а(Р + ДР) + рЛ + аС> Л(Р-а) (3)

С> 0 (4)

(Р + АР)-К]П> О (5)

Р + АР- KtII < С (6)

*.>1 (7)

а + Р = 1 (8)

Р = П + С (9)

а > 0 (10)

Р>0 (11)

РфП - а С) + л][Р($Л - аС)р + 4арР77С(Р + Д/>) > 2р/7/> (J2)

Р(РЛ - аС) + VHP^ - аС)р + 4арР77С(Р + ДР)> 0 (13)

2РЛР>0 (14)

Р + АР> 0 (15)

(16)

Р + АР>К,Л (17)

*,>1 (18)

а + Р = 1 (19)

Р = 77С (20)

а > 0 (21)

Р>0 (22)

Мы здесь привели неравенства только для одной аддитивной и одной мультипликативной зависимости. В действительности же следует решать еще по одной системе неравенств для каждого случая, так как выражения (1) и (2), а также (12) и (13) должны рассматриваться еще и с противоположным знаком, потому что отрицатель- ные значения числителя и знаменателя (см. табл. 5.1 позиция 2 и табл. 5.2 позиция 1)не исключены.

Первое требование, высказанное выше, реализуется неравенствами (3) и (5) для первой функции и(12)и(17) - для второй.

В результате решения неравенств (1-11) получим два ответа: П> О С>0 <х + р = 1 Р = Л + С Kt> 1 а>0 Р>0 а <0,5 Р>0,5 ДР<0

ДР < К,Л - Л ДР >КХП-Р

П< 0 С>0 а + Р = 1 Р = Л + С Л", >1 а > 0 Р>0 а < 1 а >0,5 Р > 0,5

ДР <к{п-п

ДР > К,Л - Р

Приведенные в табл. 5.2 и 5.3 коэффициенты для обратных вычислений применяют для двухаргументных функций. Если аргументов больше, то можно воспользоваться обобщенными выражениями, способными избавить от трудоемких процессов вывода. Рассмотрим теоретические основы подобного обобщения.