5.3. АЛГЕБРАИЧЕСКИЙ ПОДХОД К КОНСТРУИРОВАНИЮ ОБРАТНЫХ ИЕРАРХИЧЕСКИХ ВЫЧИСЛЕНИЙ

Снизить сложность вывода решений и его трудоемкость можно путем замены процесса вывода формул на процесс их конструирования, если известны закономерности процедур преобразования исходной прямой зависимости на обратную.

Конструирование проще процесса вывода, ибо базируется на применении достаточно формальных правил и стандартных элементарных базовых конструкций. Эти конструкции содержат в себе только два элемента, соединенных одной из четырех арифметических операций (+, -, *, /). Каждый из элементов формул экономического профиля либо раскладывается на последующие два элемента, либо является конечной базовой конструкцией. Большинство экономических расчетов можно свести к ЭБК, число которых невелико (несколько десятков). Если предположить, что: а) интересующие нас экономические расчеты сводимы к множеству ЭБК; б) для каждой ЭБК уже известны необходимые формулы для выполнения обратных расчетов, то остается разработать правила, согласно которым процесс конструирования можно представить в виде замены одних формул другими.

Все формулы, используемые в экономической сфере, разделим на три класса: аддитивные, мультипликативные и дробные (кратные).

Формулы могут содержать в себе либо элементарные двухместные операции (арифметические), либо сочетание этих операций.

В экономике представители одного класса часто сочетаются с представителями другого класса, поэтому введем дополнительные классы: мультиаддитивные, кратноаддитивные, мультикратные и мультикратноаддитивные.

В данном исследовании основное внимание будет уделяться лишь аддитивным, мультипликативным, мультиаддитивным и кратным функциям.

Приведем примеры перечисленных классов: •

аддитивные:

Р=П+С;

Р=П+С-Т;

Р=П-С+Т-0; •

мультипликативные:

Р=П • С;

Р=П • С Т;

Р=П • С • Т - О; •

мультиаддитивные:

Р=П+А ? С;

Р=П+А ? С-Т;

Р=ПС• Т+КМ-А-В;

і кратные:

Р=П/С;

А + В А + В

Р =

Внимательный анализ приведенных примеров позволяет обнаружить блочность их построения. Блочность - это вложенность одних ЭБК в другие, которые, в свою очередь, могут рассматриваться в качестве элементарных.

Элементарными базовыми конструкциями будем считать сочетание следующих элементов:

Р=П(аУ+<т, Р=П(а)-Сф), Р=Ща) • ар),

где П(а),С(Р)- показатели Пи С, отражающие уровни достижения целей, имеющие коэффициенты приоритетности целей соответственно а и Р;

Р - результирующий показатель.

Так как значения элементов каждой из конструкций в зависимости от целей управления, могут увеличиваться или уменьшаться, то количество ЭБК для каждой операции равно 23. Общее количество вариантов для рассматриваемых операций равно не 3 • 23, а меньше, так как часть из них не имеет экономического смысла.

Приведем примеры элементарных базовых конструкций, достаточно часто используемых на практике:

Р*=П*(а)+С*ф); Р~=П+(а)+С ф); Р*=П\а)-С*ф)\ Р*=П*(а) ? С+(Р); Г=П\а)+СШ ^=Л-(а)+С*(Р); Р*=П+(а)-СШ Г=П~(а) • С*(Р); Р+=П-(а)+С+($); Р=П (а)+СШ Р=П(ауСШ Р~=П\а) • С(Р);

где Р*, Р~ - результирующие показатели уровня достижения целей: + - значение показателя должно увеличиваться,

- значение показателя должно уменьшаться. П*(а), П(а); С*(Р), С"(Р) - показатели Пи С, отражающие уровни достижения целей, имеющие соответственно коэффициенты приоритетности аир.

Каждой из конструкций соответствует свой набор формул для обратных вычислений (см. табл. 5.1-5.3). Однако базовые формулы сами по себе достаточно редки в экономических вычислениях. Как правило, они сочетаются в различных вариантах, например:

/»=Л(а)+ЖР)-С(у) • тВ данном примере можно увидеть три ЭБК: первая - это А +В, вторая - С • Т, а третья - разница между нами.

/»=Д,(а+0ЬД2(Г+*).

где Д,(а+Р)=Жа)+«Р);

Д2(у+\)=С(у)-ЦХ).

Коэффициенты относительной важности суммируются в соответствии с декомпозицией формулы на части.

Таким образом, процесс конструирования формул можно представить в два этапа: 1)

сворачивание исходной прямой функции к элементарной базовой конструкции (аддитивной либо мультипликативной с двумя аргументами); 2)

последовательное разворачивание составной ЭБК с параллельным поиском нужных формул для обратных вычислений.

Сворачивание исходной формулы есть не что иное, как замена ее части, кроме первого элемента, на новый элемент, коэффициент приоритетности целей которого пропорционален всем КПЦ, входящим в эту часть.

Процедура сворачивания-разворачивания порождает проблему, связанную с изменением приоритетности одних целей по сравнению с другими. Для того чтобы выяснить источник возникновения данной проблемы, следует ответить на вопрос: что есть измерение? Обратимся к энциклопедии [229, с. 159]: «Измерение есть последовательный процесс определения отношения одной (измеряемой) величины к другой, принятой за постоянную (единица измерения); полученное в результате измерения число (выражающее такое отношение) называется численным измерением величины».

Из приведенного определения отчетливо просматривается вывод следующего характера: если между измеряемыми величинами существует отношение и если число измеряемых величин со временем из- менялось, то изменилось и отношение измеряемой величины к единице измерения, и отношение между величинами. Для того чтобы восстановить это отношение на каждом шаге вычислений, следует выполнить процедуру нормализации весов. Сущность нормализации сводится к следующему: если первоначально оценивались, например, три цели в шкале от 0 до 1, а в результате разворачивания одна цель отделилась, то оставшиеся веса должны быть переоценены в этой же шкале, но уже в отношении двух целей.

Переоценка выполняется по формуле:

где а* и а - соответственно новый и старый вес /-й цели.

Если в качестве примера использовать следующую исходную формулу:

Р - (а) ± (а),

где А\ (а) - первый элемент ЭБК;

е* (о) - оставшиеся элементы ЭБК,

то мы получим аддитивную ЭБК при условии, что ст равняется пересчитанной сумме оставшихся КПЦ.

На следующем этапе происходит разворачивание элемента 5,(ст), если он является составным.

Я,= л2+(Р)±Я2+(ц),

где Л2 (Р) - первый элемент в группе

/?2 (ц) - оставшиеся элементы группы Я ; ц - пересчитанная сумма оставшихся КПЦ.

Формально процесс трансформации прямых функций в обратные с целью получения ответов на вопрос типа «что делать?» можно представить несколькими алгебраическими операциями.

Пусть известно множество ЭБК, на котором задано отношение включения (с). Между элементами ЭБК могут существовать лишь три операции: сложения (+), вычитания (-) и умножения (*). Пусть также имеется возможность представить прямую расчетную формулу в обычном виде. Применяя скобочную запись, получим:

Р=еха,(где a - одна нз вышеперечисленных арифметических операций.

Полученная запись эквивалентна представлению с применени ем отношения «включения», т.е.:

Р=еіаД] ; Д, с (evev ej;

ДсегаДг; Д2с(е3 є)-

где Д - идентификатор оставшейся части;

a - арифметическая операция, соединяющая элемент ряда с оставшейся частью.

Введем два оператора: декомпозиции (А) и нормализации (R). Назначение оператор а декомпозиции состоит в отделении первого элемента скобочной записи и присвоении идентификатора оставшейся части:

А(еґет 0=еРД-

Оператор нормализации предназначен дня отделения первого коэффициента приоритетности целей и пересчета оставшихся КПЦ:

RK ап> = («'»,.••?.

где а'м aj - соответственно новое и старое значение КПЦ.

Операторы А и R позволяют вести итеративную операцию разворачивания исходной скобочной записи:

где J - итеративный оператор разворачивания исходной формулы.

Каждая итерация должна сопровождаться поиском коэффициентов, используемых для обратных вычислений. Операцию распознавания представим следующим образом:

n(ep.J(P)) = л,

где я() - оператор распознавания;

п. - результат распознавания на i'-й итерации.

Алгебраический подход к конструированию обратных функций проиллюстрируем следующей задачей. Допустим известна прямая составная мультиаддитивная зависимость следующего вида:

Р*=П\а)+А *(р> С+(у)+ Г(|і)+ У (Я.)- Ф\х),

где П, А, С, Т, У, Ф - показатели, отражающие экономическое состояние предприятия;

и, Р, У, ц, Л., т - коэффициенты, указывающие приоритетности целей

Применяя к ней оператор декомпозиции А и итеративную операцию разворачивания J, получим три итерации (рис. 5.2): итерация 1: J(P*) = Я+(а)+ J(D), где D=A C+T+y Итерация 1 +

А С т У ф Оу Итерация 2 АС + Г У Ф Итерация 3

УФ

Рис. 5.2. Графическая иллюстрация работы оператора декомпозиции и операции разворачивания

Так как конструкции А С и У Фявляются элементарными, поэтому работа операции /заканчивается. В результате получено пять ЭБК: 1.

Р*=П*+ D. 2.

D=Dt+Dr 3.

D= А+ • С*. 4.

D = r+Dy 5.

D=y* Каждая итерация сопровождается выполнением операции декомпозиции. Результаты следующие:

итерация 1: Л(а,Р,у,цД,т)=(Р'>У'>Ц'Л'>'0>

о

Р+у+ц+Х+т' где о', о - соответственно новое и старое значение КПЦ. итерация 2: Л(р'У,ц'Д',т'Му",ц",Г,т"),

о" = ^

Р' + у' + ц'+Х' + т' '

итерация 3. Л(у")ц"Л",т")=(ц'"Л'",'с'"),

Р" + у" + ц"+Г+т" '

Применив операцию распознавания коэффициентов для обратных вычислений, описанную в общем виде, к множеству ЭБК, получим: для 1-й ЭБК:

П+АП=КХП\ D+A D=K2 D; ст=Р+у+ц+Х+т;

„ a(P + AP) + aIJ-aD

/Сі =

1 П к2 =

(Р + АР)-К,П для 2-й ЭБК:

?>,+Д D=Kj />,; D+A D=KA ?>2; Є=р+у; ч/=ц+Х+т;

ці + q ' \\> + q '

A :

для 3-й ЭБК:

Л+Д /і; С+Д С=*6 С; Р" = р~; г'= ^ ;

D,(y'A - pC) + D,(y'A - pC))2 + 4р"г'Д, • A ?C(Di + АД,)

A < = 1 " 1 1 , 1 '?'?? —

2 y'DtA D\+ ДД)

для 4-й ЭБК:

7 Т * Ds

лв = •

дня 5-й ЭБК: т —-

У+АУ=К- Ф+АФ=К Ф] * =

Х + т' Х + т' ?>,(т'У - Х'Ф) + ^(^(т'У - Х'Ф))2 + 4XVD, • У ? Ф(?>3 + Д D,)

А о — — ???... 11 ?? .

2т'УЯ3 _ Д, + ДД,

Введенные операции разворачивания и распознавания позволяют вывести формулы для общего случая. Рассмотрим аддитивную зависимость вида:

D* ^A^oL^tA^ia^tA^a^t.-.tAUa^iA^aJ,

где Dq - результат сложения (вычитания), характеризуемый установкой на увеличение или снижение (знак «плюс» или «минус» в верхнем индексе);

А? - 1-е слагаемое, характеризуемое установкой на увеличение или снижение;

а. - коэффициент приоритетности і-й цели.

Далее верхние индексы опустим, так как они будут фигурировать в обратных вычислениях.

Процесс сворачивания и распознавания данной зависимости иллюстрируется рис. 5.3. © Х°1 V© V©

Рис. 5.3. Исходная аддитивная зависимость (в) и ее блочная структура (б)

На рис. 5.3 6 показана последовательность развертывания исходной функции. Аналитически результаты работы операции разворачивания можно представить следующим образом:

D=A+D- D=\AA±U\±....±\A\ d=A2±D2, D = \А3\± \А4\±....± \Av\

D =A ,-A ,

n-2 «-І л*

где D - результаты промежуточных вычислений; \а \ - число, взятое по модулю.

Результаты работы оператора нормализации следующие: а2 Р. ;

Рі=а2+аз+ +«„; а2 р2=а3+а4+ +а„; а, =-і;

г2 Р.-.'

В =а ,-кх ; а. =

~п~2 я-І я' Л где а. - исходный коэффициент приоритетности 1-й цели;

р. - нормализованный коэффициент приоритетности /'-й цели. В результате формулы для обратных вычислений приобретают следующий вид:

А2±АА=Ка2® А2; D2±bD=KD2®D-

А ±ДА =К. ®А ; D +AD ^K^&D

п п An п\ п-2 я-2 Dn-2 п-2

Здесь 0 означает умножение, если в прямой функции используется знак «плюс», и деление - если знак «минус».

Результат операции распознавания коэффициентов для обратных вычислений следующий:

РА-аДДоіДДО-сфіІ „ _Км А\-(Рй±АР0)

ЛЛІ і ! • ЛД1 І7ГІ •

МР. -а, ) N

Р2Л2-а2(/>,±А/>,)-а2[/>2[ _ Кл2 А2-(Р1 ±Щ)

2= ' ! ? ЛД2 ПТІ '

Л2(Р2-а2) N

„ -<-i(D„-2±ADn_2)-a,n_l\An

КЛп-1 =

к -КЛп-Л-У~{Р„-2± АДЯ-2)

л Г—j

KI

где КЛп - коэффициент, увеличивающий или понижающий л-й аргумент прямой функции;

К0п - коэффициент, увеличивающий или понижающий л-й промежуточный результат вычислений; I х\ - выражение, взятое по модулю.

Аналогично можно вывести общие формулы и для мультипликативных функций. В изложенном подходе конструирования выражений для подсчета прироста аргументов нами не рассматривались ЭБК с отрицатель- ными элементами. Таковые могут возникнуть в процессе пересчета узлов дерева целей в двух случаях:

а) ЭБК содержит разницу элементов, причем вычитаемое в результате пересчета становится больше первого элемента;

б) ЭБК содержит отрицательную разницу изначально (исходные данные).

Без специальных дополнительных исследований трудно прогнозировать поведение системы в таких случаях, в связи с чем в процессе конструирования обратных вычислений, как мы уже подчеркивали ранее, следует тщательно очертить границы области определения.

Изложенные теоретические основы создания систем формирования решений позволяют перейти к рассмотрению технологических аспектов их функционирования и проблем, возникающих в процессе разработки систем такого рода.