Вопросы моделирования иерархических систем

В теории больших систем термин «иерархическая система» обычно употребляется без точного указания его значения. Между тем различные толкования понятия «иерархия» приводят к разночтениям.

Работа построена следующим образом. Сначала определяется принятый уровень описания реальных организационных систем, выделяются их основные компоненты и связи между ними. Затем строится модель, отражающая особенности систем, и приводится интерпретация различных компонент модели и их свойств. Указываются способы идентификации модели и спецификации ее отдельных элементов по наблюдаемым характеристикам системы. Предлагается понятие иерархии, обобщающее обычное представление о ней как о частично упорядоченном множестве, и излагается ряд результатов алгебраического анализа иерархических систем. В заключение приводится пример моделирования конкретной системы.

1. Описание моделируемой системы. В дальнейшем организационная система^[247] воспринимается как набор взаимодействующих друг с другом элементов, причем характер этого взаимодействия зависит от целей или задач, стоящих перед системой. Предполагается, что набор элементов фиксирован (рождения и смерти элементов нет), но для любого элемента из данного набора возможно присоединение элемента к системе в процессе ее функционирования или его полная изоляция.

Уровень описания таких систем определяется выбранной степенью детализации рассматриваемых процессов.

Другая важная черта организационной системы - возможность взаимодействия ее элементов друг с другом - понимается здесь как существование определенных каналов связи между элементами. Вид канала отождествляется с типом информации, для передачи которой он служит, а их общий список (два любых элемента которого считаются различными) определяется уровнем описания системы. В каждый данный момент времени структура системы характеризуется, таким образом, указанием функционирующих каналов связи между ее элементами. Связь структуры системы с задачами, стоящими перед ней, определяется следующим образом: каждая задача рассматривается как оператор преобразования системы, изменяющий связи между ее элементами. На данном уровне описания процесс решения задачи в системе проявляется лишь в «настройке» ее структуры на задачу, а не в виде полученного решения.

Системные свойства изучаемого объекта проявляются в его устойчивости относительно действия данного круга задач и возможности формирования в рамках системы из данной структуры некоторых других.

2. Алгебраическая модель организационной системы. Моделью организационной системы является четырехосновная алгебраическая си-

Перестройка системы под влиянием задач определяется анализом мнений экспертов и частично регистрацией изменений структуры системы, имевших место в действительности.

Фиг.

В сложных организационных системах, характеризующихся разнообразием связей между элементами, целесообразно рассматривать упорядоченности элементов не по одному, а сразу по нескольким признакам, выделяя общее для них понятие уровня. Такого рода соображения приводят к следующему определению, играющему центральную роль в дальнейшем изложении.

Пусть S = (X,C,ОТ,Г) - некоторая система (см. п. 2). Структура φεОТ называется иерархией, если выполнены условия:

Множество всех структур из U(X, С), являющихся иерархиями, обозначим через I(X, С).

Система S называется иерархической, если всякая ее структура представима в виде объединения конечного числа иерархий. В дальнейшем будет показано, что не всякая структура такой системы обязательно является иерархией. Системы, в которых всякая структура - иерархия, назовем строго иерархическими.

Из множества всевозможных структур иерархия выделяется определенной согласованностью состояний элементов и каналов связи. Условие I1 указывает на соответствие информационного потенциала элемента количеству информации, которая передается им другим элементам системы:, если объединение существует (что всегда

верно, если множество X конечно). Аксиома I2 означает, что если элемент X связан с элементом у каналом связи, предполагающим передачу каких- либо показателей, то ни один из этих показателей не участвует в обратном движении информации. Наконец, согласно требованию I3, в иерархии пропускная способность прямого канала связи между элементами не ниже пропускной способности опосредованного канала, проходящего через некоторый элемент у ε X. В сочетании с аксиомой I2 это означает, что в иерархии нет таких связей, которые образуют контур (фиг.

Структуру системы S можно интерпретировать как состояние системы в некоторый момент времени. Иерархические системы характеризуются тем свойством, что их состояние определяется наложением (совместным функционированием) некоторого конечного числа иерархий. В строго иерархических системах все состояния представляют собой иерархии.

В каждой иерархической системе можно указать множество структур, являющихся иерархиями и порождающих по объединению все множество M. Назовем иерархическую систему S полной, если она включает в себя все иерархии из множества I(X, С). Следующие результаты относятся к исследованию структур иерархических систем, являющихся подсистемами полной иерархической системы.

Теорема 1¹. Всякая структура иерархической системы удовлетворяет условию I1. Если множество X конечно, то система S тогда и только тогда будет полной иерархической системой, когда в ней содержатся все структуры из U(X, С), удовлетворяющие I1.

Как показывает эта теорема, условие иерархичности систем сравнительно слабое и ограничивает лишь соотношение между информационным потенциалом элемента и видом исходящих от него каналов. Поскольку объединение иерархий не всегда будет иерархией [4] (предложение 1), не всякая иерархическая система - строго иерархическая.

і

^[1] Доказательства всех приводимых результатов опускаются.

Пример, описанный в п. 5, характеризуется следующими свойствами:

1) каждая структура системы обладает иерархической оболочкой; 2) система естественным образом вкладывается в иерархическую систему; 3) полученная иерархическая система оказывается строго иерархической в силу теоремы 2.

Приведенные в работе результаты по алгебраическому анализу различных классов моделей систем нельзя считать окончательными. Основные задачи изучения систем в рамках изложенной теории можно отнести к одному из следующих направлений.

1. Вопросы идентификации систем и спецификации компонент модели. Этот класс задач связан с тем, что самый тщательный анализ реальной системы не дает возможности установить все ее потенциальные состояния, ввиду чего сопоставление системе ее алгебраической (так же, как и любой другой) модели неоднозначно. Здесь возникает проблема разработки метода определения наиболее вероятной для данной системы комбинации значений, определяющих модель параметров, в каком-то смысле аналогичного методу наименьших квадратов для спецификации параметров регрессионной модели.

2. Классификация организационных систем с точностью до изоморфизма их моделей. Решение этой задачи позволит развить общую теорию функционирования таких систем, а также расширить сферу применения имеющихся результатов анализа конкретных действующих систем.

3. Введение понятия подсистемы и операции сочленения систем, аналогичной каскадному соединению автоматов, даст возможность применить элементы структурной теории полиномов над дистрибутивными решетками к проблеме декомпозиции сложных систем на простейшие. Наибольший интерес здесь представляла бы теорема, подобная теореме Крона-Роудза для конечных автоматов [5].

4. Важный класс проблем составляют также задачи исследования структур в рамках одной изучаемой системы, в частности, дальнейший анализ иерархических структур применительно к неуниверсальным системам. Компактное описание всевозможных допустимых структур данной системы позволило бы прогнозировать ее состояние в зависимости от изменения внешних условий.

Следует отметить, что, несмотря на отсутствие достаточно развитой алгебраической теории изучаемых в работе универсальных алгебр, применение апробированных идей, методов и аппарата общей алгебры дает основание надеяться на продвижение в изучении организационных систем при помощи разработанных моделей.

По-видимому, в немалой степени этому будет способствовать то обстоятельство, что предложенная система моделирования допускает привлечение ЭВМ к анализу организационной структуры систем.