Технология производственного процесса

Объект нашего рассмотрения - экономическая система, осуществляющая производство продукции в соответствии с некоторым технологическим способом. Исходным для определения понятия производственной функции такой системы является, как указывалось в [2], понятие экономической технологии.

Обозначим через Res множество всевозможных комбинаций всех видов ресурсов, вовлекаемых в производство, и через Prod - множество всевозможных наборов выпускаемой продукции. Элементы res множества Res - физические наборы, состоящие из всех видов ресурсов, а элементы prod множества Prod - физические комплекты выпускаемой продукции по всей номенклатуре. Тогда производственная деятельность рассматриваемой системы описывается отображением Р: Res ^ Prod, которое каждому res є Res ставит в соответствие P(res) = prod є Prod.

Система показателей объемов затрачиваемых ресурсов и выпускаемой продукции в совокупности с системой цен позволяет сопоставить каждому res є Res m-вектор и є R+¹, измеряющий количества входящих в res ресурсов. Показатели, отражающие содержание набора res, являются в той или иной степени агрегированными, поэтому каждому res є Res сопоставляется вектор с относительно небольшим числом координат. Обозначим через μ отображение, сопоставляющее набору res є Res вектор х = μ(rеs) є R+; образ множества Res при отображении μ обозначим через D. Аналогично

Отметим интересный вопрос общего характера: каковы необходимые и достаточные условия на матрицу (а^·), при которых существует η-факторная технология с линейной системой цен на ресурсы?

Предположим, что отображения μ и ν допускают существование некоторой технологии τ.

На множестве Res существует естественное отношение частичного порядка: набор res! больше набора res2, если res! включает в себя res2. Такое же отношение существует и на множестве Prod. Множества Rⁿ и R частично упорядочены отношением покоординатного сравнения. Отображения μ и ν, очевидно, следует считать монотонными, если предполагать, что больший объем ресурсов (или продуктов) имеет большую оценку. Является ли монотонным отображение τ?

Монотонность τ означает, что набор ресурсов, имеющий большую μ-оценку, будучи вовлечен в производство, дает продукцию с большей ν-оценкой и является условием согласованности систем оценок ресурсов и продукции. Непосредственно из монотонности производственного процесса Р монотонность τ не вытекает даже при условии монотонности оценок μ, ν. ^[245]

Доступная информация о процессе не позволяет, однако, указать алгоритм вычисления этой функции во всех точках области ее определения. Можно построить лишь некоторый «образ» технологии, функцию, аппроксимирующую ее. Эту роль и берет на себя производственная функция. Отсюда вытекают условия, которым должна удовлетворять производственная функция данного процесса: во-первых, должен существовать алгоритм, позволяющий вычислить значение функции во всех точках области ее определения, во-вторых, производственная функция в каком-то смысле близка к технологии процесса. Формализуем эти свойства.

¹ Бинарное отношение π называется предпорядком, если оно рефлексивно и транзитивно.

дных функций τ. Как правило, наши представления о характере изменения производных не выходят за пределы гипотез о поведении первых и вторых производных функций τ. Таковы, в частности, неоклассические критерии [3], согласно которым технология возрастает по каждому аргументу и скорость этого роста уменьшается.

Обычная практика состоит в том, что качественная информация о технологии используется для выбора класса функций F, параметризованных системой параметров α1,..., α _s. Затем количественная информация используется для поиска внутри класса F функции, наилучшим образом аппроксимирующей технологию. Таким образом, отношение ρ в этом случае имеет вид

Однако исходная постановка задачи построения производственной функции как вычислимой функции, аппроксимирующей технологию, не обязательно требует подобной поэтапной схемы поиска, связанной с расчленением ρ на части, соответствующие качественной и количественной информации.

В общем случае при наличии информации о значениях технологии, ее первых и вторых производных, задачу следует формулировать как многокритериальную, предполагающую минимизацию критериев трех типов

блюдений, а критериям типов (2) и (3) приписать бесконечно большой вес и считать известным, что первые производные принимают неотрицательные, а вторые - неположительные значения, то многокритериальная задача (1)-(3) примет следующий вид: минимизировать сумму квадратов отклонений вычисленных значений от наблюдаемых при условии неотрицательности первых и неположительности вторых производных. Сохранив те же способы свертки критериев типов (2) и (3), возьмем в качестве представителя критериев типа (1) сумму минимизируемых величин δ^[246]. Тогда получим задачу минимизации суммы модулей отклонений при тех же ограничениях на производные.

Наконец, если критерии типа (1) рассматривать в качестве самостоятельных, производственная функция будет найдена как решение задачи оптимизации по Парето.

В некоторых случаях известен не только знак, но и значения производных технологии в определенных точках. Тогда критерии типов (2) и (3) выступают не в качестве ограничений, как в предыдущих случаях, а вносят свой вклад в общий критерий. Проблема знаков регрессионных коэффициентов, часто возникающая в процессе составления регрессионных уравнений, сводится к проблеме соответствия информации о ходе моделируемого процесса значениям не только функции, но и ее производных. Поэтому в большинстве случаев можно рекомендовать использовать в критерии оптимальности аппроксимации не только аргументы и значение моделирующей функции, но также аргументы и значение ее производных ¹

до второго порядка включительно. Это условие гарантирует хотя бы приблизительное качественное соответствие поведения аппроксимирующей и аппроксимируемой функций.

Признаки близости функций f и τ, выраженные условиями (1)-(3), исходят из следующего определения равенства функций: f и τ считаются равными, если в тех точках, где значения τ известны, f определена и значения этих функций равны. Из этого определения равенства легко конструируются признаки близости: функции близки, если в данных точках они принимают близкие значения. Иными словами, множество функций наделяется топологией, индуцированной множеством принимаемых значений. Возможен и другой подход к определению равенства функций, при котором за основу берутся равные значения, а равенство самих функций проверяется по совпадению аргументов, в которых эти значения принимаются. А именно, обозначим через Im f множество значений функции

^[1] Через Ef обозначено множество точек, в которых значения функции f вычислимы.

Таким образом, если при обычном подходе к близости функций топология на множество функций переносится с множества их значений, то в альтернативном случае топология индуцирована с области определения. Для краткости первый подход будем называть идентификацией по значениям, а второй - идентификацией по аргументам.

В каких случаях следует отступить от общепринятого критерия близости при поиске аппроксимирующей производственной функции? Ответ на этот вопрос определяется целью ее построения. Если производственная функция необходима для прогноза значений выпуска при наперед заданных значениях ресурсов, то критерий близости ее к технологии должен быть основан на первом подходе. Если же целью построения функции является анализ технологии, позволяющий определить такие ее характеристики, как максимум, направление роста, точки перегиба, изменение режимов производства, то следует использовать второй подход. Хотя все предшествующие рассмотрения относились к сравнению значений функций (критерий (1)), они без труда переносятся на случай сравнения значений первых и вторых производных.

3.