7.2 Индивидуальное равновесие условиях неопределенности

№ = Е Е Pkq^q < Е Е Pkq^q = PWI (95)

q&Q k&K q&Q k&K

Задачу потребителя можно записать следующим образом:

Ui(xi) — >• max(96)

ХІ&ВІ(Р)

По сути задача потребителя имеет тот же вид, что и раньше, только индекс блага становится двойным. Дифференциальная характеристика равновесия потребителя тоже совершенно аналогична.

Пример 7.2 (Страхование имущества). Пусть есть одно благо (деньги), страхуемый имеет капитал wl, который в случае состояния 1 (непожара) сохранится, а в случае пожара — состояния мира 2 — окажется равным w2 < wl. Страховая фирма предлагает контракт страхования по цене 7 Є [0, 1] за единицу страховой суммы, то есть если участник застрахуется на сумму у, то он должен в любом случае заплатить 7У, и вправе получить у в случае пожара.

Таким образом, если пожара не будет, то доход потребителя будет равен х1 = wl — 7У, если же пожар произойдет, то он будет иметь х2 = w2 — 7?/ + У Бюджетное ограничение вида (95) можем получить, исключив у:

Покупая страховой контракт, потребитель тем самым меняет благо "деньги в состоянии 1" на благо "деньги в состоянии 2" в отношении pl/p2 = (1 — 7)/7

Предположим далее, что потребитель имеет функцию полезности типа Неймана Моргенштерна U = (1 — р,)и(х1) + р,и(х2), такую что функция и(.) дифференцируема и вогнута (т. е. он характеризуется строгим неприятием риска), где р, — вероятность пожара. Дифференциальная характеристика равновесия потребителя как обычно имеет вид

= 17 dU/dx2 7 '

60

и(хв)

и(Е(х))

U(x)

a)

x E(x) x

в

б)

сг

Рис. 6: а) Вознаграждение за риск, б) Модель инвестора с квадратичной целевой функцией.

Отсюда в равновесии ( — 1)й(х1) = ( — 1)й(х2). Учитывая, что й(.) — возрастающая функция, можно сделать следующие выводы.

При 7 = А* (актуарно справедливая цена страховки) он всегда застрахуется на такую сумму, чтобы х1 = х2, то есть на всю сумму потенциального ущерба w1 — w2. Если цена будет высокой (^ > ц), то он застрахуется на такую сумму, чтобы х1 > х2, то есть на сумму меньшую величины ущерба. Наоборот, при ^ < ц он застрахуется на сумму, превосходящую ущерб