7.1 Предпочтения потребителя в условиях неопределенности

Функцию полезности будем обозначать Ui(.). В дальнейшем в этом разделе индекс г будем опускать. Подразумевается, что в этой целевой функции учтены как полезности для него каждого товара в каждом состоянии мира (например, зонт полезнее в дождь), так и его личные гипотезы о вероятностях событий.

Участники могут действовать по разному в условиях риска, другими словами, иметь разное отношение к риску, которое определяется формой их целевой функции.

Определение 7.1.1 Потребитель называется имеющим (строгое) неприятие риска, если его целевая функция U(.) (строго) квазивогнута, и нейтральным к риску, если она линейна.

Частный, но наиболее часто используемый и удобный для анализа случай целевой функции U есть функция аддитивная по вероятностям или, иначе, функция Неймана Морген штерна:

*q), (91)

где jjiq Є [0,1], SgA*g = 1 — гипотезы участника о вероятностях событий q є Q, и u(x*q) : ]Rl І—» ]R — элементарная функция полезности участника, не зависящая от состояний мира, а только от потребления благ как таковых. Вероятности, заложенные в функции полезности участника могут быть и ошибочными, поэтому их называют субъективными вероятностями.

Полезность по Нейману Моргенштерну, таким образом есть (субъективное) математическое ожидание полезности или просто ожидаемая полезность.

Оказывается (см. теорему из раздела XI. 6 Маленво), если наблюдаемые нами предпочтения участника удовлетворяют трем свойствам: непрерывности, выпуклости и независимости от состояния мира как такового (только от вероятности "лучших" исходов), то эти предпочтения всегда можно описать как решения оптимизационной задачи с функцией полезности НейманаМоргенштерна, подобрав подходящую элементарную функцию полезности и.

58

В терминах функции Неймана Моргенштерна переопределим отношение к риску.

Определение 7.1.2 Участник і с глобальной функцией полезности U типа Неймана Моргенштерна называется имеющим неприятие риска, если его элементарная функция полезности и() (строго) вогнута, нейтральным к риску, если она линейна, и предпочитающим риск — если она (строго) выпукла.

Определение 7.1.3 Функция и(.) вогнута, если из а Є (0, 1) следует

и(ах' + (1 а)х") > аи(х') + (1 а)и(х").

Функция и(.) квазивогнута38, если из а Є (0, 1) следует и(ах' + (1 а)х") > тт{и(х'),и(х")}.

Можно показать, что из определения неприятия риска в терминах и следует определение неприятия в терминах U, (но не обязательно наоборот). Из вогнутости и следует вогнутость U, а следовательно и квазивогнутость.

Часто используют функцию полезности, зависящую от единственного блага — денег. Количество денег, которое получает индивидуум в состоянии мира q (xq) будем называть доходом или доходностью. При этом используют следующие понятия (индекс блага опускаем).

Определение 7.1.4 Ожидаемый доход — это (субъективное) математическое ожидание дохода:

Е(х) = ? fSx*. (92)

Определение 7.1.5 Безрисковым или гарантированным называется такой потребительский набор х, что в любом состоянии мира потребитель имеет один и тот же доход: xq = Е(х).

Определение 7.1.6 Безрисковым или гарантированным эквивалентом39 данного потребительского набора х называется безрисковый потребительский набор х, дающий ту же самую полезность:

U(x) = ]Г nqu(xq) = U(x) = и(Е(х)). (93)

q&Q

Определение 7.1.7 Величина Аж называется вознаграждением за риск для данного потребительского набора х, если Е(х) — Дж является безрисковым эквивалентом х:

U(x) = и(Е(х) Дж). (94)

Для участника, характеризующегося неприятием риска, вознаграждение за риск для любого рискованного актива положительно, а доход гарантированного эквивалента меньше ожидаемого дохода.

Проиллюстрируем введенные понятия с помощью графического примера.

38Определение эквивалентно данному ранее. Эквивалентность доказывается от противного. 39Англ, certainty equivalent.

59

Пример 7.1 На Рис. 6а изображена элементарная функция полезности потребителя с неприятием риска (функция вогнута). Потребитель предполагает, что могут произойти два события (А и В) с некоторыми вероятностями (ІЛА и ІЛБ). Его потребительский набор равен х = (ХА,ХВ), где ХА и хв — доход, который получит потребитель, если произойдут события А и В соответственно.

Нетрудно догадаться, что точка (E(x),U(x)) лежит на отрезке, соединяющей точки (хА,и(хА)) и (хв,и(хв)) и делит его в отношении р,в к /ґ4. Здесь Е(х) — ожидаемая доходность набора, a U(x) — его полезность. Поскольку потребитель не любит риск, то график функции полезности лежит выше указанного отрезка, и ожидаемая полезность U(x) больше полезности ожидаемого дохода и(Е(х)). Гарантированный эквивалент х выбирается так, чтобы и(х) = U(x). Плата за риск Аж равна разности между ожидаемой доходностью и доходностью гарантированного эквивалента