7.3 Задача инвестирования (выбора портфеля)

Предпочтения инвестора описывается функцией типа НейманаМоргенштерна

U(x) = ?,^ О,

(98)

61

Для упрощения задачи заменим функцию и(.) ее квадратичной аппроксимацией, то есть разложением в ряд Тейлора вплоть до членов только второго порядка в некоторой точке (например, х = га). Тогда функция U(.) примет вид

с2сг2, (99)

где Сі > 0 некоторые константы, г = Е(х) — ожидаемая доходность портфеля, сг2 = var(x) — дисперсия доходности (рискованность портфеля). Эти величины вычисляются по формулам: г = Е^а/Л где rk — ожидаемая доходность kто актива (rk = Eg/Vfe) сг2 = Efci Efc2 oklok2pklk2, где crfc — корень из дисперсии (среднеквадратическое отклонение) kто актива (сг2, = Eg/^O"*; — rk)2), pklk2 — коэффициент корреляции

b! rk)(rqk2

В такой упрощенной модели выбора каждый вид акций (актив) характеризуется для инвестора всего двумя параметрами, поэтому задачу инвестирования можно и удобно рассматривать на плоской диаграмме с осями сг, г. На этой диаграмме каждый актив или портфель р активов можно изобразить точкой сгр,гр, а кривые безразличия представляют собой параболы с минимумом доходности при нулевом риске (сг = 0).

Рассмотрим произвольный портфель р = (а0,...,ак), состоящий из к+ I активов.

Ожидаемая доходность портфеля есть средневзвешенная с весами ak доход ность всех составляющих его активов: rp = Y.kak^k

Если портфель р = (ско,а:І), составлен из безрискового актива (k = 0) и неко торого другого (первого) актива, (возможно, составленного из других активов), то среднеквадратическое отклонение есть ар = а\а\. Таким образом, различные выпук лые комбинации этих активов лежат на отрезке с концами в точках (0,г0) и (сгьгі). Если можно взять кредит, то возможные комбинации лежат на луче, выходящем из (О, г0). Этот отрезок/луч — аналог бюджетной прямой. Отсюда следует, что инвестор с неприятием риска при наличии безрискового актива всегда выберет свой порт фель на луче выходящем, из (0,го), имеющем максимальный наклон. Имеется в виду максимум из всех таких лучей, содержащих какиелибо точки — рисковые активы, или точки — комбинации рисковых активов.

Пусть доходность всех активов жестко коррелирована: pklk2 = I (Vfci, k2 7^ 0). Тогда а = Y.kak&k (риски складываются с весами а, как и доходности) 40, поэтому множество возможных комбинаций активов есть их выпуклая комбинация, то есть представляет собой выпуклый многоугольник с вершинами в точках (crfc, rk), k = О,..., /. В этих условиях можно утверждать, что (а) Без кредита (неважно, при наличии или отсутствии нерискового актива) нестрого предпочитаемым всегда (и строго пред почитаемым "почти всегда") является портфель с не более чем двумя активами, сколько бы ни было предприятий (активов).

(б) При наличии нерискового актива и возможности кредита это также верно, причем один из двух активов всегда — гарантированный, а второй — актив с максимальным тангенсом наклона Sk = (rk — r0)/ak (k 7^ 0).

3) В случае некоррелированности доходностей активов, (то есть при pklk2 = 0 для fci 7^ k2) следует, что сг =

40Такое может происходить, если доходности зависят от фазы экономического цикла или другого общего параметра.

62

В отличие от предыдущего случая, риски при некоррелированности не складываются, поэтому риск при комбинировании активов будет снижен.

4) Если доходности двух активов жестко отрицательно коррелированы, то из них можно составить безрисковый портфель. Пусть, например, р12. Тогда а =

а\ — a\ai г0) войдет в портфель, т.е. ak > 0.

Докво. Функция Лагранжа для задачи инвестора: L = Y,q А^ЩС/с ®krl)+\(l—Y,k «fc)+ Zfc^o^fcQifc где А > О множитель Лагранжа для ограничения ZfcQifc < 1 ^ > О — для ak > 0. Из dL/da0 = 0 имеем r0Y,q^qu'(xq) = А, а из dL/dak = 0 имеем Y,qnqrlu'(xq) = Л vk.

Воспользуемся тем, что мат. ожидание произведения независимых случайных ве личин равно произведению их мат. ожиданий. При ak = 0 г\ и хд, а следовательно и г\ и и'(хд) независимы. Поэтому получим Y,q^lY.ql^qu''(xq) = rkY.ql^qu'(xq} = A — vk < TO ICg/Jqu'(xq). Так как /j,qu'(xq) > О, то не может быть, чтобы rk > r0