3.2 Модель экономики с экстерналиями и теоремы неэффективности
гц = Ui(x,y) (і Є /), fj = fj(y,x) > 0 ( j Є J).
Задача для поиска Паретооптимума будет выглядеть так:
Uio(x,y) »• max (32)
19Английский термин "congestion tendency" перегруженность 20Проверьте "избыточность" и для произвольной /(.).
23
fj(y,x)>Q(jeJ), (33)
(* є *) (34)
Для этой экономики справедлива общая теорема о неоптимальности, аналогичная теоремам благосостояния, но противоположная по утверждению:
Теорема 4 Пусть (р, х, у) — общее (Валърасовское) равновесие экономики (32)— (34) с экстерналиями, выполнены предположения ВЫПУКЛ, ГРАД.
Если все связанные с переменной производства у^ экстерналии неотрицательные, т.е.
г^ k(x,y} > 0 (г Є /), /ryfc (х,у) > 0 (г ^ j), причем хотя бы одно из этих неравенств строгое, а с другими переменными экстерналии не связано (uityk(x,y) = 0 (г Є /, k т^ k),frtyk(x,y) = 0 (г, s Є J : s 7^ j, k Є К)) — то найдется альтернативная допустимая точка (х,у) Парето доминирующая точку (х,у) в смысле вектора полезностей: и(х,у) ^< и(х,у), и такая, что по сравнению с ней в (х,у) имеет место недостаточный объем производства товара k фирмой j в том смысле, что ykj < у1.Если же все экстерналии связанные с некоторой переменной yk отрицательные (вредные), то, аналогично, будет иметь место избыточность их производства. Верно и аналогичное утверждение о недостаточности полезного потребления х\ и избыточности вредного потребления.
При сходных предположениях, включающих условия на внутренность (х Є int(X)) и на градиенты, верна также обратная теорема: такую имеющую ненулевые экстерналии Парето оптимальную точку (х,у) экономики не удается реализовать как равновесие без координации.
Доказательство этих теорем мы опускаем, мы докажем ее лишь для конкретных примеров, сохраняя общую идею доказательства: несовпадение диф.
характеристик Парето оптимума и равновесия.Подчеркнем, что и условие, что точка х — внутренняя, и дифференцируемость существенны: без них теоремы неэффективности неверны, существуют опровергающие примеры с взаимокомпенсацией экстерналии. Неоптимальность может иногда не возникать, если часть экстерналии связанных с некоторой переменной позитивные а часть негативные: в редких (вырожденных) случаях они могут взаимокомпенсироваться. Рассмотрим
Пример 3.2 (Курильщик и некурящий). Два студента, живущие в одной комнате, имеют целевые функции HI = ui(x\,x^) и и2 = и^х^х^}, которые зависят от имеющихся в их распоряжении денег (х\ для первого, х\ для второго) и от количества выкуриваемых первым из них сигарет (х\). Второй участник — некурящий, и ди^(х\,х\}1 дх\ < 0, а у первого, напротив, диі(х\,х1}/дх\ > 0, если количество сигарет меньше 40 и диі(х\,х%)/дхі = 0, если х\ > 40. Ежедневный доход каждого равен w\ = 20. Для начальной же точки торговли в области прав на курение рассмотрим два варианта: (А) признается абсолютное право на чистый воздух: w\ = 0,u>2 = 40, либо (В) признается право свободно курить.
Если студенты не вступают в соглашение (равновесие без координации), то начальная точка будет равновесием. Покажем на ящике Эджворта с обычного (вогнутого) типа целевыми функциями, что как правило (за исключением редкого случая, когда начальная точка прав собственности лежит на Паретогранице) возникает
24
"фиаско рынка": такое равновесие не будет Паретооптимальньш. В обоих случаях А и В, в точке равновесия кривые безразличия не касаются, а пересекаются, поэтому можно осуществить Паретоулучшающий сдвиг (см. Рис.2 а).). В случае А первый может передать второму студенту часть денег за право курения нескольких сигарет. В случае В, наоборот, второй может передать первому студенту часть денег за право ограничить курение (см. Рис.2 б).)
а)
б) Рис. 2:
Пример иллюстрирует два момента. Вопервых, с теоретической точки зрения, в отличие от обыденного понимания загрязнения, экстерналии симметричны.
Если в варианте В ущерб от наличия экстерналии наносится некурящему, то в варианте А — курильщику.Вовторых, когда, как здесь, объем экстерналии измерим и издержки сделок несущественны, тогда определение прав собственности и торговля экстерналиями способны скоординировать рынок и привести к оптимуму — устранить "фиаско рынка". В этом случае экстерналии, в сущности, превращаются в обычные товары, то есть возникает рынок экстерналии.
Пример 3.3 (Внешние воздействия в производстве: общее равновесие) 21 Рассмотрим экономику в агрегированной форме: 3 товара, 1 совокупный потребитель (население в целом.) и 2 производителя: 1й сектор и 2й сектор экономики. Производитель j = 1,2 производит только jый продукт, имея возрастающую по a,j дифференцируемую производственную функцию yj = gj(a,j,y^j)(B частности, У\ = #1(01,2/2)/ то есть функция зависит от найма рабочей силы обозначаемого (—у3) = а\, и от выпуска у2 другого товара, то есть имеют место экстерналии, например, благодаря загрязнениям) и максимизирует прибыль тт.,(а, у) := р'у^ — p3a,j. Потребитель максимизирует по ж1, ж2, ж3 дифференцируемую возрастающую функцию ^(ж1, ж2, х3) от потребления двух продуктов и от свободного времени х3. Он является владельцем акций обоих предприятий, принимая доход от них как данный, и продает свое рабочее время из полного запаса принадлежащего ему времени w3 > а\ + а2 + х3, прочие запасы для простоты возьмем (wl,w2) = 0, поэтому ограничения его задачи в определении равновесия можно записать так:
О < ж, 0 < ж3 равновесия внутренняя в смысле ж > О, О С а, х3 < w3 (для других случаев включение условий на положительность ж, а в функцию Лагранжа затрудняет анализ).
Найдем дифференциальную характеристику равновесия. Функция Лагранжа для потребителя тогда имеет вид
Ь(х, ж3, Л) := Ui(xl, ж2, ж3) \(рх + р3х3 p3w3 тгі тг2).
Дифференцируя ее и упрощая полученные условия первого порядка получим, как и выше, обычную характеристику равновесия: равенство отношения предельных полезностей отношению цен (обозначим uk := du(x)/dxk, й3 := du(x)/dx3):
uk(x)/ur(x) = pk/pr (fc,r = 1,2,3)(36)
Аналогично получим для обоих производителей (обычное) равенство отношений предельных производительностей отношению цен, следовательно — и отношению предельных полезностей:
І/ЯГ (У) = Pk/P3 = uk/u3 (k = 1, 2)(37)
Сопоставим полученную дифференциальную характеристику с характеристикой оптимума, которую получим обычным путем.
Задача Паретооптимума здесь проста, т.к. потребитель один:Ui(xl,x2,x3) —>• max (38)
К jf* К / К \ /7 1 О\ ^ОО^
JL> ^^ U — ^ik\^jk'i у / \ *™ — LІ ^ /1 I *^^ J
аі + а2 + ж3 < w3, 0 < ж, 0 < а(40)
Предполагая опять, что исследуемая нами точка (р, ж, а, у) внутренняя (О С (ж, а)), пользуясь, как и ранее тем, что градиенты не равны нулю и, следовательно, теоремой КунаТаккера — найдем дифференциальную характеристику оптимума:
Из сопоставления ее с характеристикой равновесия можно заключить:
Если экстерналии нулевые: g^k(ar,yk) = 0, то система уравнений (41) которой должен удовлетворять оптимум (ж, а, у) и система (36), (37) для равновесия (ж, а, у) совпадают (если исключить цены), поэтому возможно совпадение ж = ж. Однако равновесия неоднозначно охарактеризованы решениями системы уравнений (37) и оптимумы являются решениями более полной системы уравнений чем (41)). Поэтому проще Паретооптимальность всех равновесий гарантировать здесь применением 1 й теоремой благосостояния, поскольку ее условия выполнены и рынок в этом случае — совершенный.
Если же экстерналии ненулевые, то, очевидно, обсуждаемые системы уравнений несовместны, так что всегда имеем несовпадение: х ^ х.
Докажем утверждение о "недостаточности" неоптимального производства, предположив для простоты, что одна из экстерналии в равновесии (ж, у, а) положительна МЧ^УІ) > 0, а вторая нулевая: #І2(аІ,У2) = 0 (если оба внешних влияния положительны, то этот эффект еще сильнее, но доказательство несколько усложнится).
26
Построим малый допустимый сдвиг из равновесной точки, который бы повышал полезность и(.) потребителя. А именно, перераспределим дифференциально малое количество времени из отдыха в труд в первом, создающем экстерналии, секторе: dai > 0, da2 = 0, dx3 = —dai < 0. Этот сдвиг допустим в рамках баланса времени (40). Он приводит к добавочному производству товара 1 в размере dyi = gil(ai,y2)dai > 0. Это, в свою очередь, приводит к добавочному производству товара 2 в размере dyz = 921(a2,yi)gil(ai,y2)dai > 0.
Прирост полезности потребителя (полный дифференциал) есть градиент целевой функции и умноженный на вектор допустимого сдвига, то есть
du = ul(x)dyi + U2(x)dy2 + U3(x)dx3 = (42)
(ulg? + U2gfgail U3)dai > 0. (43)
Последнее неравенство верно, поскольку согласно (37) первое и третье слагаемые в скобках вместе есть ноль, а второе слагаемое положительно: непосредственные выгоды и издержки от добавочного труда dai в равновесии уравновешиваются, а косвенные не учитываются. Итак, можно построить дифференциально близкую к равновесной точку (х, у) достигнув Парето улучшения.
Тем самым мы доказали в частном случае сформулированную выше общую теорему неоптимальности и "недостаточности".
Остается открытым вопрос: является ли производство в равновесной точке недостаточным по сравнению также и с Паретооптимальной точкой у, т.е. верно ли УІ < УІ? Найти, при каких условиях на функции это верно, нелегко.
Пример 3.4 Аналогичный пример с экстерналиями в потреблении в ситуации общего равновесия приведен в Маленво (стр. 234). Рассматриваются 2 участника, 2 блага: первое — предмет необходимости, а второе — роскоши. Производство вида Y := {(у1,у2) Є 1R\ у1 + у2 < 1} означает, что оба блага могут быть произведены из одного ресурса с постоянной нормой замены. Целевые функции имеют вид щ = Ui(x], х2, х2^) (і = 1,2), причем предполагается, что полезность обоих возрастает по потреблению обоих благ, но убывает (или неизменна) по чужой второй переменной х2^) (і = 1,2), чяю выражает зависть к предмету роскоши. Пусть начальных запасов товаров нет, а доходы потребителей формируются как равные (1/2) доли прибыли единственного предприятия. Сделав обычные предположения ВЫПУКЛ, ГРАД, можно доказать утверждения: неоптимальность внутреннего равновесия без координации — если экстерналии ненулевые, избыточность вредных влияний или недостаточность полезных, найти налоги Пигу (определяемые ниже). Тонким моментом в этом является то, что направление распределения собранных налогов не безразлично для результата — оптимальным ли окажется равновесие с координацией. Более того, если мы хотим реализовать как равновесие с координацией конкретную Паретооптимальную точку х и по ней выбрали налоги, то распределение не только налогов, но и другой собственности нужно выбрать так, чтоб в координированном равновесии доходы каждого соответствовали именно точке х, в которой взяты производные определяющие налог (подобно подбору доходов во 2ТБ).
Выполнима и немного более сложная, но более реалистичная задача: подобрать налоги, чтоб при имеющемся распределении собственности и заданном принципе деления налоговых сборов (например, поровну) реализовалась какаялибо оптимальная точка